数学建模社区-数学中国
标题:
谈谈连乘积和哈代-李特伍德公式的关系
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作者:
大傻8888888
时间:
2018-10-3 21:50
我们知道哈代与李特伍德的哥德巴赫猜想个数猜测公式如下：
5 w* g& w, f" w
r(N)～2c∏[(p-2)/(p-1)]N/(lnN)^2 其中∏[(p-2)/(p-1)]中的p|N，√N≥p＞2 c是拉曼纽扬系数
$ ~/ j5 S* T/ c* F8 l& j
如果p不整除N.则上式成为：
4 D; G: d! d4 c! y+ g( ~; w( a
r(N)～2cN/(lnN)^2
! q3 F0 t) V2 d$ _8 I: g7 k6 r6 F% B
根据梅滕斯定理，可以知道：
# ~1 q7 a4 I- r; ?( R% v# |
∏(1-1/p)～2e^(-γ)/lnN 其中2≤p≤√N e^(-γ)≈0.56146
+ W( I! P. R8 ^0 V+ k' o2 @
因为素数定理：
0 R, v; j. v7 J1 N$ Y: v
π(N)～N/lnN
& ~# N0 }+ F/ \" _, m
所以有：
, X* o/ d2 w% b" W7 x! L8 u
π(N)～N∏(1-1/p)/2e^(-γ) 其中2≤p≤√N
5 g! r. e6 U: i% \3 ^4 \
也就是说想用∏(1-1/p)表示素数的个数必须乘以1/2e^(-γ)才能得出正确的值
5 C, v& Z* \) p% B( f
同样如果用∏(1-2/p)表示哥德巴赫猜想的个数就需要乘以[1/2e^(-γ)]^2才能得出正确的值这是因为
5 U- ], _9 r3 \6 ^! u4 ]+ v4 c
(1/2)∏(1-2/p)=(1/2)Π(1-1/p)(p-2)(p-1)=(1/2)Π(1-1/p)(1-1/p)[1-1/(p-1)^2]
6 y9 @# K/ r: Q, m: ?& m
=2Π(1/2)(1-1/p)(1/2)(1-1/p)[1-1/(p-1)^2] 其中2＜p≤√N，
9 b3 @! a! G- d, |; y8 e
所以
4 j: v; h. A: B3 i! U8 j5 {3 i! r% A
r(N)～( N/2)∏(1-2/p)[1/2e^(-γ)]^2=2cN∏[(1-1/p)^2][1/2e^(-γ)]^2=2cN/(lnN)^2
|" ~% z3 E$ z: M3 V: b
上面其中(1-2/p)里2＜p≤√N (1-1/p)里 2≤p≤√N
0 S1 V4 |+ _) U" K) D/ o
如果p|N，则
@7 f6 f" H7 ~0 _' W! ^) R. J% {2 E
r(N)～2c∏[(p-2)/(p-1)]N/(lnN)^2
( L! T5 r7 A% h& T: n; d3 `8 I
至此关于哈代与李特伍德的哥德巴赫猜想个数的猜测得以初步证明
. c! g' v/ Y2 |# |6 Q! k% h8 R7 B
+ D9 M! O3 T! S$ R4 \4 L; V3 C9 B
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