数学建模社区-数学中国
标题:
谈谈连乘积和哈代-李特伍德公式的关系
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作者:
大傻8888888
时间:
2018-10-3 21:50
我们知道哈代与李特伍德的哥德巴赫猜想个数猜测公式如下：
6 [6 f% d/ q/ q$ d) G! _
r(N)～2c∏[(p-2)/(p-1)]N/(lnN)^2 其中∏[(p-2)/(p-1)]中的p|N，√N≥p＞2 c是拉曼纽扬系数
, |+ X* Y7 T% b! c- ^! d# j
如果p不整除N.则上式成为：
1 R, v# c6 J& l8 }! J/ F
r(N)～2cN/(lnN)^2
" I$ {' H% L* y* o, U2 ?9 a
根据梅滕斯定理，可以知道：
( X& b! L/ N) F; E5 ?0 v
∏(1-1/p)～2e^(-γ)/lnN 其中2≤p≤√N e^(-γ)≈0.56146
' \/ G3 w! s7 V- A# P1 f+ V
因为素数定理：
2 ^/ v/ ]6 z+ Y7 |0 Z l0 E
π(N)～N/lnN
/ |' ~1 k* a3 y
所以有：
& C p) g8 E- V: ]9 N3 q
π(N)～N∏(1-1/p)/2e^(-γ) 其中2≤p≤√N
( w3 r: ~* s7 a) M) W
也就是说想用∏(1-1/p)表示素数的个数必须乘以1/2e^(-γ)才能得出正确的值
$ D A* J1 s' H0 H1 }
同样如果用∏(1-2/p)表示哥德巴赫猜想的个数就需要乘以[1/2e^(-γ)]^2才能得出正确的值这是因为
/ v( p5 w8 _: a
(1/2)∏(1-2/p)=(1/2)Π(1-1/p)(p-2)(p-1)=(1/2)Π(1-1/p)(1-1/p)[1-1/(p-1)^2]
; Q( N' L0 l6 G" M. q
=2Π(1/2)(1-1/p)(1/2)(1-1/p)[1-1/(p-1)^2] 其中2＜p≤√N，
7 D- T" n0 v u0 w1 \
所以
, \3 s$ Z6 |' y" N. n. e% Y
r(N)～( N/2)∏(1-2/p)[1/2e^(-γ)]^2=2cN∏[(1-1/p)^2][1/2e^(-γ)]^2=2cN/(lnN)^2
7 e; H }0 y. k1 [6 C1 Y
上面其中(1-2/p)里2＜p≤√N (1-1/p)里 2≤p≤√N
7 l" _; r) `2 W
如果p|N，则
- V; Z( s7 t/ T/ M: O
r(N)～2c∏[(p-2)/(p-1)]N/(lnN)^2
2 Q/ p) S" x$ e3 n% `, N
至此关于哈代与李特伍德的哥德巴赫猜想个数的猜测得以初步证明
+ R( A) q1 ?" T) C/ H# I
' m9 w7 A5 q! Y* h/ W' ]
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