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高等代数

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发表于 2014-4-12 16:34 |只看该作者 |倒序浏览

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随着高等教育大众化浪潮的到来, 随着多媒体手段的广泛运用, 教学对象、教学方式和教学手段都发生了很大变化. 怎样根据学生的实际情况进行教学? 怎样合理选择现代教学手段? 怎样克服教学时数的不足? 笔者一直在考虑这些问题. 最近几年, 结合精品课程建设, 笔者尝试对高等代数课程作了一些教学改革, 并在此基础上撰写了本书.  ^  I$ c' ]$ S! v  N; t
撰写本书的主要依据是由教育部牵头修订的针对高等师范专科学校数学专业的《高等代数教学大纲》. 总体构思如下.
- k4 [' C  s& {8 }! T' _ 1. 为了让学生有比较充足的时间扎实地学习这门课程, 在教学大纲允许、不误学生考研的前提下, 减少了传统教材中的一些内容, 主要减去的有传统教材中打*号的内容, 整章减去的有λ-矩阵和抽象代数简介.4 I* t( F! O% v3 _2 G' J
2. 由于目前中学数学教材及其侧重点发生了很大变化, 因此需要补充学生尚未学过或粗略学过的一些内容.
- b5 X& G$ L  [! J# w" y! {: m 3. 考虑到高等代数的内容比较抽象, 初学者较难入门, 因此有必要适当添加一些背景材料(如有关的历史、对一些重要问题的分析或评述等), 同时需要补充较多例题, 并尽可能把教材写得详细一些.
! T' q7 _4 j, {+ u9 \& [7 U 4. 除安排基本练习题外, 适当添加了一些简单题, 以便学生能够比较深刻地理解有关概念. 同时适当添加了一些提高题, 以便学有余力的学生进一步探索.
" i& X4 J9 T$ I3 b 5. 用通俗的语言, 在基本不出现抽象术语的前提下, 把抽象代数的一些观点渗透到教材中去, 以便学生能够比较深入地了解所学内容.
; f0 R$ N9 a) V/ z4 |; T2 c4 _( W% R 6. 各章节的编排尽可能遵循历史发展的先后顺序. 矩阵一章之前的内容尽可能按原始的思维方式来叙述, 这一章之后的内容尽可能用矩阵的语言来叙述. % n+ W( O5 C, ~$ h
下面分章介绍本书教材改革的概况.
; f0 N" o+ d- `! o% u4 U3 V: O 安排了预备知识一章, 统一介绍一些常用概念和符号, 以便读者查阅.
& ~. v1 w' J& j2 p9 ]& @$ H" x* Q! t 在一元多项式一章中, 减去了多元多项式和对称多项式两节, 增加了部分分式一节.
3 f' }4 n! x1 s) q 在行列式一章中, 与排列有关的内容作了调整, 主要介绍后面要用到的排列的奇偶性, 补充了行列式的计算一节.
# c" v) Z- P4 V& N9 T 在线性方程组一章中, 采用对矩阵连续作行初等变换的方式来定义矩阵的行秩, 进而定义矩阵的列秩和矩阵的秩. 减去了结式与判别式一节, 增加了矩阵的相抵标准形等概念, 简化了n元向量组线性相关性的各种讨论. 2 e7 M( O% r0 q
在矩阵一章中, 增加了几种特殊类型的矩阵一节, 比较详细地介绍了矩阵的各种运算规律以及分块矩阵的各种应用. 由于矩阵可以用来表示一些特殊映射, 因此把映射的内容挪到本章作为最后一节, 并列举了一些这样的特殊映射, 以便为后面的章节作准备.3 N* j1 J  {3 e
在线性空间一章中, 按照抽象代数的观点, 对有关内容作了比较严谨的论述. 从这一章起, 尽可能用矩阵来讨论各种问题, 因此本书后半部分与传统教材有较大差异.
* ?$ w6 q$ m4 Z* h 线性映射一章的内容比较抽象, 是全书的难点之一. 为了让学生能够更深刻地理解各种概念, 列举了较大量的例子, 在行文方面也尽可能写得详细一些.) A$ n+ j( N/ }5 U" n
在欧氏空间一章中, 减去了酉空间和酉变换等内容, 比较深入地探讨了无限维子空间正交补的存在性等问题, 比较系统地介绍了欧氏空间的同构映射与正交变换之间的联系与区别.
6 v' K9 D/ C8 ?  ^ 考虑到二次型不是线性型, 因而把二次型的内容作为本书最后一章. 由于二次型的理论起源较早, 不用矩阵这一工具, 多数问题也可以进行讨论, 而且这样做还比较直观, 因此这一章的行文风格改为以二次型为主, 以矩阵为辅.
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