趣谈数学建模-从女生角度建模分析男生追女生

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yihao

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发表于 2010-5-11 06:56 |只看该作者 |倒序浏览

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摘要：
每一个女生都渴望找到自己心中的白马王子，找到自己一生的幸福。但是面对追求者们，女生应该是选择还是拒绝，怎样才能以最大的可能找到自己的Mr. Right 呢？在这篇文章中我们运用数学中概率论的知识对女生选择追求者的这一过程进行数学建模，得到女生的选择的最优策略，最后对结果进行简单的讨论。

关键词：
炮灰模型排列选择

模型假设：
众所周知生活中涉及到感情的事情是很复杂的，把所有可能影响的因素都考虑到几乎是不可能的。为此我们先对现实进行简化，并做出一些合理的假设，考虑比较简单的一种情况。
假设一个女生愿意在一段时间中和一位男生开始一段感情，并且在这段时间中有N 个男生追求这位女生。说明：这里的N 不是事先确定的，每个女生根据自身条件，并结合以往的经历和经验，猜测确定这个数字N 。比如其它各方面都相同的两个女生，一般来说，PP 的女生就要比不PP 的女生N 值相对要大一些。在适合这个女生的意义上，假设追求者中任何两个男生都是可以比较的，而且没有相等的情况。这样我们对这N 个男生从1 到N 进行编号，其中数字越大表示越适合这个女生。这样在这段时间中，女生的Mr. Right 就是男生N 了。现在问题变成面对这N 个追求者应该以怎样的策略才能使得在第一次选择接受的男生就是N 的可能性最大，注意到这N 个男生是以不同的先后顺序来追求这位女生的。
为了将实际复杂的问题进行简化，我们做出下面几条合理的假设：

1、 N 个男生以不同的先后顺序向女生表白，即在任一时刻不存在两个或两个以上的男
生向这位女生表白的情况的发生，而且任何一种顺序都是完全等概率的。
2、面对表白后的男生，女生只能做出接受和拒绝两种选择，不存在暧昧或者其它选择。
3、任一时刻，女生最多只能和一位男生谈恋爱，不存在脚踏多船的情况。
4、已经被拒绝的男生不会再次追求这位女生。

基于上述假设，我们想要找到这样一种策略，使得女生以最大的概率在第一次选择接受的那个男生就是N ，i.e. Mr. Right 。
先考虑最简单的一种策略，如果一旦有男生向女生表白，女生就选择接受。这种策略下显然女生以1/N 的概率找到自己的Mr. Right 。当N 比较大的时候，这个概率就很小了，显然这种策略不是最优的。
基于上面这些假设和模型，我们提出这样一种策略：对于最先表白的M 个人，无论女生感觉如何都选择拒绝；以后遇到男生向女生表白的情况，只要这个男生的编号比前面M 个男生的编号都大，即这个男生比前面M 个男生更适合女生，那么女生选择接受，否则选择拒绝。
下面以N=3 为例说明：
三个男生追求女生，共有六种排列方式：
1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1
如果女生采用上述最简单的策略，那么只有最后两种排列方式选择到Mr. Right ，概率为2/3!=1/3 。
如果女生采用上面我们提出的策略，这里我们取M=1 ，即无论第一个人是否优秀，女生都选择拒绝。然后对于之后的追求者，只要他比第一个男生更适合女生就选择接受，否则拒绝。基于这种策略，“1 3 2 ”、“2 1 3 ”、“ 2 3 1 ”这三种排列顺序下女生都会在第一次做出接受的选择时遇到“3 ”，这样我们就把这种概率增大到3/3!=1/2 。
现在我们的问题就归结为，对于一般的N ，什么样的M 才会使这种概率达到最大值呢？（在这种模型中，前面M 个男生就被称为“炮灰”，无论他们有多么优秀都要被拒绝）

模型建立：
在这一部分中，根据上面的模型假设，我们先找到对于给定的M 和N(1<M<N) ，女生选择到Mr. Right 的概率的表达式。
1 到N 个数字进行排列共有N! 种可能。当数字N 出现在第P 位置（M<

<=N ），如果使上述策略在第一次选择接受时遇到的是N ，排列需要满足下面两个条件：
1、 N 在第P 位置
2、从M+1 到P-1 位置的数字要比前M 位置的最大数字要小

运用数学中排列组合的知识，不难知道符合上面两个条件的排列共有

这样对于给定的M 和N ，P 可以从M+1 到N 变化，求和化简后得到给定M 和N 共有

种序列符合要求。
由此得到女生选择接受时遇到Mr. Right 的概率为
。

模型求解：（不感兴趣的话可以直接跳过这部分推导）

这一部分中我们求解使这个表达式取得最大值时M 的值。
记函数，且设自变量取值为M 时，函数取得最大值。
因此：

所以M 应满足

我们知道，当x>0, In(1+x)< x ;
当x-->0, In(1+x) ~ x 。

所以由左不等式

所以：

当N 比较大时，同理由右不等式可得M ≈N/e ，以上e 为自然对数。

若记[x] 为不大于x 的最大整数，由以上推导我们可猜测当M 取[N/e] 或[N/e]+1 时，该表达式取得最大值。
用MATLAB 仿真，上述结论正确。

结果分析：

由上述分析可以得到如下结论：为了使一个女生以最大的概率在第一次选择接受男生时遇到的正是Mr. Right ，女生应该采用以下的策略：
拒绝前M=[N/e] 或者[N/e]+1 个追求者，当其后的追求者比前M 个追求者更适合则接受，否则拒绝。

“打战的时候，很多士兵身先士卒，跑到前线勇往直前。通常来说，走在最前面的，都会给大炮打中（古代的大炮像象个球一样滚过来的）成为灰烬。而后来的士兵，就踏着炮灰走到胜利，所以成为别人利益的牺牲品的人就叫炮灰.。”-------- 百度上关于炮灰的解释
在本篇文章中介绍的“炮灰模型”中，前M个男生就成了炮灰的角色，无论其有多么优秀，都会被拒绝。

朋友，如果你追求一个女生而遭到拒绝，看完这篇文章后你会突然发现，也许这不是你的的错，也许你真的很优秀，只是很不幸，你成了“炮灰”。

zan