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东北大学校内选拔赛

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丁羽珊

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东北大学第七届大学生数学建模竞赛暨2010年全国大学生数学建模竞赛校内选拔赛试题Ａ题　足球点球大战

南非世界杯开赛在即，虽然目前我国足球运动水平差强人意，但作为世界第一运动的足球运动仍吸引亿万球迷的眼球。而比赛中的点球大战更是扣人心弦、摄人心魄的时刻。守门员可以通过在球门线左右移动、张开双臂、鱼跃等动作进行扑救，能否扑到点球和守门员的技术水平、身高和反应速度等相关。而罚球的球员能否射入点球和他射门的力度、角度和球的线路等有关。

这方面国外有关专家进行了研究，2009年3月下旬，利物浦约翰莫里斯大学的体育运动科学总监蒂姆．凯布尔教授公布了一项号称“完美点球方程式”的方法，理论上球员只要按“完美点球方程式”罚点球，命中率就是100%。

问题：不考虑心理战等其他人为因素的影响。在遵守比赛规则的前提下分别从守门员和罚球员的角度建立你的数学模型说明如何有效地扑救点球和射入点球。

足球场地主要数据：

场地：长105米、宽68米；

球门：长7.32米、高2.44米;

大禁区(罚球区)：长40.32米、宽16.5米，在底线距离球门柱16.5米；

小禁区(球门区)：长18.32米、宽5.5米，在底线距离球门柱5.5米；

中圈区：半径9.15米；

角球区：半径1米，距离大禁区13.84米；

罚球弧：以点球点为中心，半径9.15米的半圆;

点球点：距离球门线11米

Ｂ题　足球比赛的名额分配和决赛赛制安排

足球世界杯自1930年第1届在乌拉圭开战以来，近耄耋之年。比赛规模和影响范围逐渐扩大，至今各大洲均有代表队参赛。各大洲参赛的名额和赛制也在不断地发生变化。

98年以来名额变化情况如下：

98年：亚洲3.5，欧洲15（1个东道主），南美5（1个卫冕冠军），非洲5，中北美3，大洋州0.5

02年：亚洲4.5(2个东道主)，欧洲14.5（1个卫冕冠军），非洲5，南美4.5，中北美3，大洋州0.5

06年：亚洲4.5，欧洲14（1个东道主），非洲5，南美4.5，中北美3.5，大洋州0.5

2010年的最新方案：世界杯参赛队维持32队不变，其中东道主南非直接晋级决赛圈。此外31个席位中，欧洲将得到13个直接晋级决赛圈的席位，非洲则有5席。中北美和加勒比海地区分到了3.5席，南美洲继续是4.5席，南美预选赛第5名将与北美第4争夺一张入场券。亚洲仍然保持4.5席，大洋洲0.5席，亚洲区第五名将与大洋洲第一名争夺一个决赛圈席位。

名额分配是由各大洲的足球发展水平、上一次杯赛的成绩等决定的，同时还要兼顾促进足球欠发达地区（中北美区、亚洲区、非洲区和大洋洲区）的发展。

足球世界杯决赛阶段赛制变化如下：

1986—1994年：1986年墨西哥世界杯再次恢复了1974年以前的赛制，所不同的是多了一个阶段的淘汰赛。24支参赛队分成六个小组，每个小组的前两名和成绩最好的四个小组第三晋级16强，然后就开始淘汰赛，经过八分之一决赛、四分之一决赛、半决赛和决赛，决出最后的冠军。1990年意大利世界杯和1994年美国世界杯沿用了这个赛制。

1998年至今：1998年法国世界杯的参赛队增加到了32支，赛制在前三届的基础上，又有微弱的调整：32支球队分成8个小组进行单循环赛，每个小组的前两名进入16强，然后的比赛流程就和前三届完全一样了。

2010南非世界杯的赛制跟以往没有区别，32支球队按世界排名分为4个档次，然后分为8个小组，进行单循环积分赛，小组赛每支球队比赛三场，然后积分多的前两名出现，后两名淘汰掉。接下来就是16强的淘汰赛，交叉淘汰的，A组第一对B组第二，如此类推，一直到产生总冠军。

问题：在目前竞赛规则不变的前提下，建立你的模型解决以下问题。

（１）目前世界杯各大洲参赛名额分配是否合理？如果你认为不合理，那么如何安排合理？无论哪种分配方案都要保证比赛的质量或精彩程度不受到太大影响，以确保吸引力不会有明显的减低。

（２）由于赛制的安排，在比赛中经常会出现强队过早遭到淘汰的情况，也就是说进入下一轮比赛队伍的实力，未必比已被淘汰的队伍强。为了使这种情况出现最少，在考虑比赛时间和运动员运动量变化最小的条件下，安排赛制并说明其合理性。

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