考研数学迷之知识点——什么是连续？

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考研数学迷之知识点——什么是连续？

        摘要：学过高数的同学应该都知道连续，小编一直觉得连续听起来是个很简单的概念，但其实又很迷，有点说不清道不明。今天就来好好分析一下连续是什么，希望可以帮助大家理解的更透彻。

　　连续---是我们微积分学中，对极限的第一个应用。从它字面意思或是深入到几何意义就是说，函数的图像是连绵不断的。
　在我们考研当中，对这个概念也是亲睐有加，在选择题中反复出现。
　　►首先，所谓连续即“极限值=函数值”
     这一个等式包含了三个方面，1、函数必须在该点处有定义；2、函数必须在这个点附近存在极限；3、是前面1、2两点的内容必须相等。

　　同时满足这三个条件，才叫做函数在某点处连续。看到，判断函数连续，要先求极限。

　　所以，如何求函数在该点处的极限值或是用极限存在的充要条件(左右极限存在且相等)，是一个隐含的知识点。

　　►其次，我们自然会问，会不会有不连续的点呢？
       答案当然是肯定的，不连续的点就是我们所说的---间断点。
　　那么所谓“不连续”就是不能同时满足连续的三个条件的点，即1、函数在该点处没有定义；2、若函数在该点有定义，但函数在该点附近的极限不存在；3、虽然函数在该点处有定义，极限也存在，但是二者不相等。
　　对于间断点，根据左右极限存在与否，我们把它分为两类。
　　若左右极限都存在的间断点，称为第一类间断点；若左右极限相等，这个间断点称为第一类间断点中的可去间断点；若左右极限不相等，这个间断点称为第一类间断点中的跳跃间断点。

　　若左右极限中至少有一个不存在(包含极限等于无穷的情形)的间断点，称为第二类间断点；若其中一个极限是趋于无穷的，这个间断点就称为无穷间断点；若极限是在两个常数之间来回振荡的，就称为振荡间断点。
　　►最后，对于连续性最重要的应用或者是说考研中的一个小难点，就是闭区间上连续函数的三个性质：最大最小值定理、零点定理、介值定理。
　　对于上面的知识点，我们看看在考研中是怎么考察的。
　　对于连续的概念，难度上属于简单知识点。
　　首先，在十五年前，对于连续性的考查，更多的是给一个分段函数，然后判断分段点处函数的连续性，这是一个基本题型，只需判断连续的三个条件即可，其实主要是考查求函数某点处左右极限的值。

　　然后，进入20世纪，考查又倾向于在选择题当中，给一个函数，让大家来判断这个函数有多少间断点，间断点的类型是什么，这个又比之前考查的更高一层。
　　在逻辑推理题中，考查零点定理，介值定理，通常，考查介值定理的时候也会用到最值定理。
　　我们归纳题型知道，判断方程根的情况的时候，一般用零点定理；题干中包含好几个函数值相加的时候，一般用介值定理。具体在证明题中怎么用，会在专门的证明题专题中讲解。