线性规划——运输问题（产销平衡）

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运输问题（产销平衡）
9 A1 D' `7 O! N; s  某商品有m 个产地、n 个销地，各产地的产量分别为a1,a2,…am ，各销地的 需求量分别为b,…bn , , 1 L 。若该商品由i 产地运到 j 销地的单位运价为 cij ，问应该如何调 运才能使总运费最省？
' _: _% h) @. v! u9 E8 e  _
  解：引入变量 xij ，其取值为由i 产地运往 j 销地的该商品数量，数学模型为
8 G( }7 f/ f7 @6 g; e
                                         
          显然是一个线性规划问题，当然可以用单纯形法求解。

  对产销平衡的运输问题，由于有以下关系式存在：

其约束条件的系数矩阵相当特殊，可用比较简单的计算方法，习惯上称为表上作业法（由 康托洛维奇和希奇柯克两人独立地提出，简称康—希表上作业法）
7 }6 |! m5 y. r
例题：

- L8 T. J& Z+ c  某公司有三个加工厂A1，A2.A3生产某产品，每日的产量分别为：7吨、4吨、9吨；该公司把这些产品分别运往四个销售点B1，B2、B3、B4，各销售点每日销量分别为：3吨、6吨、5吨、6吨；从各工厂到各销售点的单位产品运价如表4-1所示。问该公司应如何调运这些产品，在满足各销售点的需要量的前提下，使总运费最少？

解析： 典型的产销平衡问题，将已知数据做成表格如下：


! N6 o' G% s6 J8 v" e将所有数据列成表格会更加清晰，根据题意可以得到目标函数的表达式如下：
$ F6 `" q1 d; @" W$ h8 H4 l: J5 p
然后将已知约束关系整理如下：

; i, q. f' D3 A可见题目中并没有不等式约束关系，同时也没有约束上界ub。
. @% h! b% P& l! B1 Q  [3 M8 lMatlab 程序实现
clc;clear                                %清空数据防止干扰
f=[3;11;3;10;1;9;2;8;7;4;10;5];        %价值向量
aeq=[ones(1,4),zeros(1,8);                %线性等式约束        构造矩阵
5 e% {$ u* k, p* @    zeros(1,4),ones(1,4),zeros(1,4);
    zeros(1,8),ones(1,4);
    1,zeros(1,3),1,zeros(1,3),1,zeros(1,3);
' t) R) Z0 F. x+ R' D. J* ~    0,1,zeros(1,2), 0,1,zeros(1,2), 0,1,zeros(1,2);
    zeros(1,2),1,0, zeros(1,2),1,0, zeros(1,2),1,0;
    zeros(1,3),1,zeros(1,3),1,zeros(1,3),1];
beq=[7;4;9;3;6;5;6];                        %线性等式约束
5 h2 U7 V& h5 A" Z; d+ E4 k& z[x,y]=linprog(f,[],[],aeq,beq,zeros(12,1))        %求解
题目答案：
2 v$ H5 y2 z3 tx=[0;0;5;2;3;0;0;1;0;6;0;3]
2 E6 [# H* B( @. My=85


# O/ v* X# L9 F$ p