线性规划——运输问题（产销平衡）

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运输问题（产销平衡）
7 m4 I) j# j$ U" a; ?$ u  某商品有m 个产地、n 个销地，各产地的产量分别为a1,a2,…am ，各销地的 需求量分别为b,…bn , , 1 L 。若该商品由i 产地运到 j 销地的单位运价为 cij ，问应该如何调 运才能使总运费最省？

  解：引入变量 xij ，其取值为由i 产地运往 j 销地的该商品数量，数学模型为

                                         
% B7 Z. j) g% Y/ ^          显然是一个线性规划问题，当然可以用单纯形法求解。

  对产销平衡的运输问题，由于有以下关系式存在：

其约束条件的系数矩阵相当特殊，可用比较简单的计算方法，习惯上称为表上作业法（由 康托洛维奇和希奇柯克两人独立地提出，简称康—希表上作业法）
5 e' ?/ j/ I7 u) {( N
+ m% M7 e' g& ?+ y& n例题：
4 M% @* a, b% `" E. s$ O: b( P
. m1 R6 B  N* w4 J# n1 X5 i/ I  某公司有三个加工厂A1，A2.A3生产某产品，每日的产量分别为：7吨、4吨、9吨；该公司把这些产品分别运往四个销售点B1，B2、B3、B4，各销售点每日销量分别为：3吨、6吨、5吨、6吨；从各工厂到各销售点的单位产品运价如表4-1所示。问该公司应如何调运这些产品，在满足各销售点的需要量的前提下，使总运费最少？
8 y6 i: Z+ P# ]7 s5 L) q
: C5 @- L+ i, r. z0 x! @) ^解析： 典型的产销平衡问题，将已知数据做成表格如下：
2 _5 \* K" \0 a. ?" W8 X
/ M0 ^- }5 }$ D) g8 z1 h
, r2 R; }/ T: `. _( m将所有数据列成表格会更加清晰，根据题意可以得到目标函数的表达式如下：
- J) T: K2 e: A+ q
然后将已知约束关系整理如下：

可见题目中并没有不等式约束关系，同时也没有约束上界ub。
% x1 _5 @) H  nMatlab 程序实现
8 F1 Q0 v0 t( X4 rclc;clear                                %清空数据防止干扰
f=[3;11;3;10;1;9;2;8;7;4;10;5];        %价值向量
: e! ]4 T  n# Q) K2 yaeq=[ones(1,4),zeros(1,8);                %线性等式约束        构造矩阵
+ ~% y2 q( u9 i; _2 ^% h  F0 X' e+ {  P    zeros(1,4),ones(1,4),zeros(1,4);
    zeros(1,8),ones(1,4);
( f. `7 z8 J$ L7 a8 N    1,zeros(1,3),1,zeros(1,3),1,zeros(1,3);
    0,1,zeros(1,2), 0,1,zeros(1,2), 0,1,zeros(1,2);
! p3 Z; ^! A  d$ J- M6 G    zeros(1,2),1,0, zeros(1,2),1,0, zeros(1,2),1,0;
    zeros(1,3),1,zeros(1,3),1,zeros(1,3),1];
+ n/ h2 V8 w  B6 e- @9 q: Rbeq=[7;4;9;3;6;5;6];                        %线性等式约束
  p3 {8 p3 V$ J- D5 ~[x,y]=linprog(f,[],[],aeq,beq,zeros(12,1))        %求解
题目答案：
& n3 o8 X( ^. }& C4 p9 X( {) u+ tx=[0;0;5;2;3;0;0;1;0;6;0;3]
y=85