请选择 进入手机版 | 继续访问电脑版

QQ登录

只需要一步,快速开始

 注册地址  找回密码
查看: 85247|回复: 555

[美赛经验] (原创笔记)《数学模型》学习笔记(姜启源老师第三版)可作预习、辅助、大纲 - 公开欢

  [复制链接]
字体大小: 正常 放大
sdccumcm 实名认证      会长俱乐部认证 

59

主题

165

听众

5484

积分

升级  9.68%

  • TA的每日心情
    开心
    2015-9-28 12:07
  • 签到天数: 832 天

    [LV.10]以坛为家III

    2012挑战赛参赛者

    邮箱绑定达人 发帖功臣 新人进步奖 风雨历程奖 最具活力勋章

    群组MCM优秀论文解析专题

    群组2012第二期MCM/ICM优秀

    群组科学狂想曲

    群组第二届数模基础实训

    群组学术交流B

    发表于 2012-7-19 11:00 |显示全部楼层
    |招呼Ta 关注Ta |邮箱已经成功绑定
    本帖最后由 sdccumcm 于 2014-1-8 12:39 编辑
    2 z- V; T. u' R3 M6 m) A; [. v" q* a8 M3 N8 a1 i% E4 Y5 G
    《数学模型(第三版)》学习笔记

    2 ~  W4 Y2 z  L6 v写在开始% ?1 j# y: O, i9 v, B9 ~
          今天第一次归纳、复习,整理思路重点,从最后两章(除了“其他模型”)开始,想可能印象比较深刻。可实际开始总结才发现对于知识的理解和掌握还有很大差距,自己也是自学看书,非常希望各位提出宝贵意见,内容、学习方法经验上的都是.6 ]" K8 A6 b- ~( p  M" ?9 _
          整本书读下来感觉思路、数学都有很大拓展,总结起来有一下几个特点:
    ' r* j3 B/ t. P9 _3 s
    ! C0 K: o# b  W  d2 H+ ?2 M& v(一)  “实际—>模型”的建模过程很关键,本书的模型很多虽然所谓“简单”、“假设多”,但简化分析中,还真难找到比它更合适、更合理、更巧妙的建模、假设了;
    % |6 k+ u0 q- o(二)  模型求解之后的处理,许多地方似乎求解完毕可以结束,但却都未戛然而止,而是进一步“结果分析”、“解释”,目的不一,要看进程而定,有的促进了模型的改进,有的对数学结果做出了现实对应的解释(这一点建模过程中也经常做,就是做几步解释一下实际意义),也还有纯数学分析的,这些都是很重要的,在我看来,这本书中的许多模型、论文似乎到了“结果分析”这一步才刚刚开始,前面的求解似乎是家常便饭了;+ R5 X* y! k' ]6 n
    (三)  用各种各样的数学工具、技巧、思想来建模的过程,这本书读下来愈发觉得线性代数、高等数学基础的重要性,同时书中也设计到了一些(虽是浅浅涉及)新的数学知识和技巧,许多我在读的过程中只是试图了解这个思想,而推导过程未能花很多时间琢磨,但即便如此,还是让我的数学知识有了很大的拓展(作为工科专业学生)。
    0 V! H0 i+ `) L* w' w9 l* {  X% t! ]' Q7 d# W8 C
          从上周六继续自学《数学模型》开始一周,比预期的时间长了许多,但是过程中我觉得即便如此也很难领会完整这本书的内容。最近学习任务比较多,所以两天前快看完时到现在一直未能做个小结,从今天起每天做2章的小结,既是复习总结重点,也是请诸位同学指教、提意见交流——毕竟自己领会很有限。% n: c+ r* y- r/ E% J5 j
         也可以作为未读过、准备读这本书的同学的参考~
    2 X) J+ `' I: t! `" F                                                                                                                 ——Tony Sun   July 2012, TJU

    + c, b, V. d, R% B/ v( f/ x) e* T! u9 L: u9 C
    (目前已更新:全12章)
      X9 C! q. h; N! I+ ]4 K
    7 L3 F+ {" Z# f5 U- b, j  s0 q
    第1章 建立数学模型3 M  \5 X/ R( R% i6 ?1 G" ?( [/ Z1 R
    关键词:数学模型 意义 特点
       
    / g7 V& ~, M; U1 r$ H  P   第1章是引入的一章,对数学模型的意义来源,做了很好的解释。其实数学模型也是模型的一种,是我们用来研究问题、做实验的工具之一,只不过它比较“理论”、“摸不着”而已。但通常,数学模型有严谨的特点,而且我们可以根据建模实际需要改变模型,成本也比较低;同时数学模型手段之一计算机模拟也有很好的效果。4 q% g+ t$ y. f: n
       椅子在不平的地面上放稳、商人安全过河、预报人口增长这3个熟悉的例子,用简单的数学进行描述、建模分析,给数学模型一个最好的诠释:用数学语言描述事物、现象——往往增添了说服力。/ L  @% r$ E* B* W& o, L7 @: `
    ! z% m$ E! o* i6 H/ v$ }
      P2 |( q: e% _4 h3 i4 W; ^
    第2章 初等模型) n* S& C# S% V# E2 z3 A! ]
    关键词:初等数学 简化技巧 思想
    + @( b+ j& e& z  U" G* J& n
        这一章顾名思义,是一些用“初等”数学知识建立、求解的模型,虽然数学知识比较易懂,但是其中的巧妙思想确实十分重要的。
    , t. j8 B  `/ K1 ^6 K/ K8 d    如何把问题做恰当的简化,到简单的数学工具能够表示、求解的程度,本章做出了很好的例子,同时分析也很精彩。% {2 \7 O6 g. f3 B0 \
        2.1节公平席位分配,通过定义不公平程度等衡量标准,确立目标,提出Q值法。有意思的是,在考虑是否存在一个理论上公平的分配方法时,根据所提出的4个(毋庸置疑的)公理,得出的结论却是:不存在满足上述公理的分配方法。这种类似情况在本书中后面的例子也出现过。  这给我们什么启示呢?有些问题和工作,比如公平席位的分配,日常中是一定要做的,就算不能达到绝对公平也要分配,但一旦证明不存在理论上公平的分配方法时,我们还有分配的意义吗?答案不一;在这个例子中,固然是有意义的,我们自然转而寻求一个相对公平的分配方法,抑或,就是回溯查看提出的“公理”是不是那么的“公理”,看能否通过删改公理来取得更公平方案。  l& h; O! n# Y9 x# c2 A
        录像机计数器、双层玻璃功效、刹车距离等模型,均是用日常现象、基础的物理知识和巧妙简化进行的建模分析,这里每个例子中的分析,求解后的解释很重要——它们是整个模型的关键,阐述现象。% |/ ?/ X" }* d6 e
        2.7 实物交换——是后面经济学模型的雏形,无差别曲线的图形方法,确定这种曲线实际中要收集大量的数据;核军备竞赛一节,也是一个动态的变化过程,基本全是用曲线进行分析的——这里给我们一个思想,得出表达式后,许多时候我们只关注曲线的形状、趋势,因此作图分析是很好的方法,图中可以给我们很多信息(交点,截距,极限值……),而这些信息都一一对应着它们的实际意义;有些即使没有明显的含义,但也很可能为接下来的铺垫、预测作下铺垫。
    $ Q4 f* t9 T% f; ?" y# s     2.10 量纲分析与无量纲化——是另一种重要的求解方法,大致来说思想就是:仅知道变量之间的制约关系(正/负相关),系数、阶数均未知,即只能得出表达式的“形式”,要我们通过“量纲齐次性”(等式两端必须保持量纲的一致)来确定具体的表达式。这是与按理论推导建模并列的另一种方法,这一节用单摆、抛射等物理问题很好地诠释了这种方法的强大。  关键:恰当地选择特征尺度,不仅可以减少独立参数的个数,还帮助我们决定舍弃哪些次要因素。物理知识和经验是关键。/ R4 K( Z- D$ s4 F6 V# f9 z
    . ~5 w9 J' j: l: }  Q% A
    第2章小结:
    & j( k+ b! }9 B1 C( y. b, H* E    本章可以总结为“初等数学知识+巧妙简化技巧+思想”,10节涉及了不同类型的问题、数学方法,很多都是本书后面章节模型的雏形、基础。
    - A+ p6 t# f6 `0 @: a- z+ N* k
    4 V* `2 P2 G& g0 ]" K, B$ S, Y
    4 ?7 J$ M5 R9 s3 D: R3 E1 L
    第3章 简单的优化模型
    # h8 B& i- N: c关键词:简单优化 微分法 建模思想
    & Q6 K7 G; d! y
        本章与第4章连续两章都是优化、规划的问题,可以看成一类问题——内容上也是由简单到复杂。在第3章中,主要是几个简单的优化模型,可以归结到函数极值问题来求解,直接用微分法。虽然模型、数学计算难不倒,但是还是那句——建模,求解之后结果分析、结果解释的思想,是我们要学习和引入脑中的。0 g; a$ S0 l5 V; T: m

    5 R$ k. ]1 v! p  X8 e- h3.1 存贮模型
    2 @8 y+ J( P- S7 N- ^2 X( T    分不允许、允许缺货两种讨论,中间推出一个最小费用的结果——经济订货批量公式EOQ。 对存贮量函数q(t)作图,观察规律,对结果解释。* `* P8 Q6 J, N1 J6 _  V7 L$ C, o
    3.2 生猪出售时机
    2 ?9 E% {+ u# b  F/ w    关键点在于敏感性分析和强健性分析——这对于优化模型是否实用、有效是很重要的。
    7 P# G9 h; a& D1 [3.3 森林救火. ^; [+ i. \2 F5 q% Y& ?$ v" W9 |
        亮点是对火势蔓延程度dB/dt的形式作出的数条假设,以及假设对应的实际解释。只要合理、自圆其说,就是一个好的对实际问题的简化。
    , D) h6 _: \% [3.4 最优价格
    ( F, h* ]3 r; g4 I7 \) V2 u    主要是引出边际收入、编辑支出,以及经济学一条著名定律——最大利润在边际收入等于编辑支持时达到。
    ! E! b, X4 Y4 T3.5 血管分支
    - [# U3 u1 d! l  H1 ~    是很有趣的一节,用数学模型研究生理问题,我们还是只关注建模、数学的层面,而对于血管系统几何形状等生理学知识不讨论过多,用合理有力的假设代之。
    0 h: K3 I/ X( Q5 |3.6 消费者的选择
    4 t* Y" ?' O  ?! |/ V1 v! E    一个消费者买两种产品时,钱应该如何分配。分配比例使他得到最大的满意度的最优比例乘务消费者均衡,而建立消费者均衡模型的关键在于确定效用函数U(q1,q1)。
    6 I  i7 A$ a9 l/ R) m3.7 冰山运输' Y9 Y2 X. C/ n: N" Z* m
        也是很有趣的问题,考虑各种因素,基于一些假设,这节研究怎样运输冰山使费用最小。其中用实际数据建立了经验公式,二是假设冰山为球形,简化了融化规律等的计算。' K/ g( \2 A2 V

    5 x; K) i0 m3 a* X/ |. `5 e
    / v4 k0 e! F9 H; o. l
    第4章 数学规划模型
    / n# [1 E3 i4 v& G" f' ~; r% E' `; j关键词:数学规划方法 lingo/lindo软件 结果深入分析 变量个数
    * j- n& J3 A) V9 U, I1 ]8 W/ N2 U
        约束条件、可行域、目标函数,构成了常说的“数学规划”模型。本章揭示了数学规划的本质,和它与传统优化数学问题的区别:常理优化模型属于函数极值问题的范畴,但实际中更多的是决策变量数、约束个数较大,且最优解往往在边界上取得的问题,因此不能用传统的“微分法”求解——因此要引入“数学规划”方法。
    , T( [# g3 X; j8 n& a7 E/ F* z/ S' Z) P9 H
        这一章内容不少,但都是一类问题,主要点有几个:
    . N0 n% f, t3 s$ X. E4 q1. lingo、lindo求解的使用——运行结果中还有一些平时未留意的信息,可以作为结果分析来用,前两节叙述较多;
    2 w) _! Q" {0 ~- p: q2. 一些细节之处:把一句话用数学公式表达,它往往作为约束条件,如p102的式(19);8 L/ X6 b, g* |2 l2 c- d
    3. 多目标规划的处理,p109的“选课策略”——基本思想是通过加权组合形成一个新的目标,从而化为单目标规划;3 D1 R: F% V2 d+ c
    4. 同前面章节一样地,对一个问题解出结果后,问题虽然解决了,但分析并没有结束——我们要学习这种further discussion的精神,发现这个结果“恰与…相同…”之类的,不妨多问自己一句:“这是偶然的吗?”然后继续分析,得出一般的结论,这样往往能看到更多的风景,得出的结论更有含金量/启发性,而不是仅仅是解决了该个问题而已。如p109选课策略。
    * L* t$ F- i7 D( T! v5. 减少变量个数,简化模型、式子(简化起见,同时lingo对变量个数有限制),p115销售的例子。
    * S; J, J$ y$ \# x6. 求最优解时,为了减少搜索范围,加快速度,可以先去一个特殊情况求出一个可行解,然后让最优解至少优于它。
    - C, ]! A% q: G2 \. P( `4 L( l0 d0 P" W# h
    9 H! [, w8 P: M2 _% @
    第5章 微分方程模型0 A4 @/ X% g* w6 l
    关键词:动态模型 合理假设 分析预测 控制
    ' K6 F! `" D- Y" v- K2 g
        这一章是非常经典的一章,对微分方程模型作了很好的诠释、介绍,每一个模型都有丰富的价值。对于随时间连续变化的对象或状态,当我们要 1)分析变化规律;2)预测;3)研究如何控制它的时候,就要建立相应的微分方程模型。' f# n8 i; N. V* Y2 A# t% U
        自然地,这样的模型功能非常强大,也具有一般性,也自然地需要在简化假设上动脑筋——如何用数学语言能表述的东西来刻画一个实际动态过程。一个方程,有时就表示着一件事,这件事有可能还持续几十年——多么有趣而强大。& E5 i" q3 A) n: D
    " ?6 J7 t4 P& @2 V2 N1 b) B
    5.1 传染病模型) A; e* @4 h5 D" G6 L7 h& G/ x7 x
        本节是解决“传播”、“蔓延”微分方程问题的典例,模型分三部分层层递进:SI(只分为易感染着、已感染者),SIS(已感染者可以被治愈,重新变为易感染者),SIR(治愈后具免疫力,即增加了“移出者”)。可以说从基础模型到一步步递进,是对实际传染病情况的逐渐深入、全面的考虑,而其中的分析十分重要,也是本章分析得最细的章节。其中引入了“相轨线”分析法,是很有力的工具,后面多次用到,这一节有很详细的介绍。: C1 \6 d# d# p$ l" b- C
        模型改进、建模目的性方法三者配合,是本节亮点。
    ) U" Z8 o* s+ ]: f& B5.2 经济增长模型

    0 D5 h" z& }- m- p) z9 w& N1 {8 Q    通过建立产值与1)资金;2)劳动力之间的关系,来研究1)资金与劳动力的最佳分配,使效益最大;2)如何调节资金、劳动力增长率,使劳动生产率有效增长。! e) N* @5 w* u& M
        本模型虽然不长,但推导出计量经济学一重要模型——Douglas生产函数。本节给出的模型推导稍繁,但结果简明,有合理解释。3 q( f+ M0 V8 M
    5.3 正规战与游击战9 g+ i2 G  ?/ R+ e: m8 T- \
        这一节介绍了历史上用过的、经典的预测战争结局的数学模型,有传统正规战争、稍复杂的游击战,以及混合战。重点在于建模过程:如何描述战争双方的特性,如何作假设。然后用来分析硫磺岛战役。这节很好地体现了微分方程的强大。
    + P) O! Q# B' b$ u9 g+ {5.4 药物在体内的分布与排除3 r$ L  {  q+ ~3 x7 p2 }
        本节建立了房室模型,研究血药浓度的变化过程,为制订给药方案、剂量大小提供数量依据。重点在于1)模型的假设:尽管是简化,但由临床试验证明是正确的,可以接受;2)对参数的估计。
    2 @" U7 q: r& Y- B7 J# u8 v4 M先由机理分析确定方程形式,再由测试数据估计参数。
    ' v" M0 ?5 P% d% i2 r5.5 香烟过滤嘴的作用, o3 [% V$ k; I3 R% k
        看起来不易下手的一个问题,用恰当的假设,引入两个基本函数q,w,及物理学常用的守恒定律,建立出微分方程模型,从而构造动态模型。本例是经典的建模案例。! |& e# B' p6 O
    5.6 人口的预测和控制2 l% t6 U+ K" f4 Q1 M5 j- x
        本节模型与之前的区别在于:考虑年龄的分布,即除了时间外,年龄是另一个自变量。过程中重要的是数学公式中,系数、因子的实际含义要解释。
    ! \- ^  b; d; w& o4 |* U4 Z5.7 烟雾的扩散与消失8 A9 F, W( K+ z$ K/ ]
        这个模型巧妙地引入了“仪器灵敏度”指标,不仅帮助建模,而且该指标本身是客观存在的,并非虚构,这样更加有说服力。+ c" u; t$ |$ c6 V: F
    5.8 万有引力定律的发现
    / m9 d* z; V( u' T6 H# @8 [    十分有意义的一节。我们初中就熟悉的牛顿万有引力定律,是由开普勒第三定律和牛顿第二定律一同推导出的,这一节再现了这个推导过程。这个模型告诉我们:正确假设+用数学演绎建模=对自然科学研究的巨大作用。我们要学习科学家前辈们如何创造性地运用数学方法,来提升我们解决实际问题的能力。, }- W; Q# C3 u$ f& R6 |$ u, F

    ( k$ Z1 R# m) ^( A' I% H2 R$ i  |/ z5 D$ A) s& A# ^  x, I# O
    第6章 稳定性模型) n1 D# m4 M  G+ }: V
    关键词:稳定性理论 建而不解 平衡状态 趋势 相轨线

    1 @  z4 H2 I$ q& Y+ b( s" {0 J    本章是建立在上一章的基础上,在微分方程基础上引入的一种重要思想/概念,那就是——对于某些问题,我们可能不关注动态过程的每个瞬时状态,而是研究稳定状态的特征,特别是时间充分长以后的状态/趋势,从而判断是否“稳定”。这时我们往往不需要“求解”微分方程(组),即“建而不解”;而是利用“微分方程稳定性理论”直接研究平衡状态稳定性即可。# F9 W( A* X9 `( z" I# n

    ) l  v2 q2 C/ o0 I, ]2 u; u$ J# o; ]# R*6.6 微分方程稳定性理论简介& I, C8 T" M, h1 o1 y6 ^3 b
       这一节应为优先阅读的一节,介绍了如何判断一阶、二阶方程的平衡点和稳定性。数学推导稍复杂(对于未接触过的同学),重要在于了解一些概念、结论,在模型实例中来进一步理解。
    7 G5 W' v. |6 h) c8 l- H& K
    & {9 k% I  v9 u$ I6.1 捕鱼业的持续收获; b2 V! x: Z5 K2 w2 n. w
        研究捕鱼业产量、效益和捕捞过度问题,如何捕捞能获得最大收益。这个问题虽然看似只需要给出一个“捕捞量”的答案就可以了,但是模型整个过程分析中还是得出了许多结论,如经济学捕捞过度、生态学捕捞过度等概念。在稳定的前提下步步深入。- ^- {% ~; }4 q9 f# {# l' A4 B
    6.2 军备竞赛
    * _7 P3 g7 @; G- x! P    这个问题在第二章初等模型中就出现过,这里用微分方程稳定性的知识来分析。正如本节引言所说,军备竞赛因素很多,无法圆满描述,只是想告诉我们:一个复杂实际过程可以被合理简化到什么程度,得到的结果又怎样解释实际现象。
    ' A" z2 Z4 [. l! Y* w3 b* ]& L6.3 种群的相互竞争 6.4 种群的相互依存 6.5 食饵-捕食者模型
    5 }; R5 [. I+ c0 M7 q    这三节作为一个系列,用种群竞争、依存、捕食这类生物学案例来诠释稳定性模型的应用。其中,相轨线分析法再次成为主角,它的意义在于:从图中曲线上直观地看出发展趋势,且特殊点对应的意义作出解释。
    . r$ @0 U% C' s3 @9 P2 H) c+ J
    + F$ n, N# |: Z' N5 L( b7 x' j; g
    ; d7 ?2 D# B6 H8 G
    8 P, |) A( e1 L  V9 |. ~
    第7章 差分方程模型
    1 S* d) R9 N' w关键词:差分方程稳定性 离散时段 差分阻滞增长 混沌

    8 p  _/ e- x& q, p& O! h1 x    将时间离散化后,就可以建立与微分方程相对应的差分方程模型。这章与第8章讨论的是确定性离散模型。实际上有些问题既可以用连续,又可以用离散,要看目的而定。离散的一个优势在于,便于计算机求解。
    , Q9 F2 |- [& v. E1 O, N4 J, M1 p7 I! C- J
    7.5 差分方程简介:介绍差分方程稳定性的知识,判别稳定的条件。本章要用到的知识。5 q8 G3 X$ _* G  V$ T' K0 S2 F
    7.1 市场经济中的蛛网模型" }+ {" k$ T( ^1 ^- k
        先用图形法建立市场经济的“蛛网模型”,给出趋于稳定的条件,再用差分方程建模,解释结果。本节开头的“问题前瞻、介绍”部分很经典,可作为建模论文写作的参考。; ~# N- w* [, }
        本节最后对结果的解释也非常值得学习:启示我们,一些数学结果如参数前后的变大/变小,可能意味着什么,我们不要轻易放过,而是要时刻不忘解释相对应的原因。. Z+ y% _& c0 I  N7 M7 v
    7.2 减肥计划——节食与运动' [- r# }! y% r+ X4 p, A  B( g4 _5 F
        这是一个很生活的问题,主要讨论如何把一个“超重”的人减到目标的正常范围内(均以WTO颁布的体重指数BMI衡量)。
    2 m3 {! |# T, d' F2 @; \5 Y2 r, ]) [& z; S    我认为这个模型的两点仍然在建模本身:及如何将减肥计划中“减肥”这一件事量化,用数学的语言可以表达,写出差分方程。其中p208的“基本方程”式(1)是整个模型的基石,有了此式后面的工作就可以往上搭建了。注意到,式(1)其实是一个“建而不解”的方程。% f7 [& M0 U7 {1 ~
        但正如节末评注中所述,实际参数的设置会更复杂,代谢消耗系数beta也因人而异、因环境而异,所以要有更多核对。但我们先要学习的还是建模这一步。
    " I. T9 r- ~9 l4 a; e- n% L* m7.3 差分形式的阻滞增长模型. {" S0 q8 v/ j- m/ r
        此节是与之前用微分方程Logistic规律描述的“阻滞增长”规律最好的对比。有时,用离散化的时间研究比较方便,本节是很好的参考。(按:本人曾经做过用差分方程加修正,描述人数传播问题,个人认为很多情况用差分方程更好,也更“诚实”些,因为我们也只是想要每个时段的数量)
    ) q3 r& `( B! c, i    要注意的是:若用离散描述,需要说明各“时段”指代意义。推出p211的式(6)后,这个一阶分线性差分方程,也是“建而不解”,但注意:此处“不解”是指不需求通项公式,但各项的值仍要计算——用计算机递推可方便得到。我们最关心的往往是k趋向无穷时,y/x收敛情况,即平衡点稳定性的问题。这里微分、差分方程判别上有区别。
      F% a6 Q0 Q- r- `5 x    P212中,通过深入讨论和213页的数据表发现,不同的参数b下收敛情况不一,然后发现了“倍周期收敛”的规律,即存在多个收敛的子序列。然后发现当n区域无穷时,不在存在任何倍周期收敛,出现混沌现象(Chaos)。
    - H; p$ }; u: g: I    混沌的特点为对初值极度敏感,这一点在物理课中老师也提到过,许多非线性方程均是如此,即“差之毫厘,失之千里”,蝴蝶效应。4 i  @+ z4 K/ e7 t  I6 y
    7.4 按年龄分组的种群增长* @5 l% h; X4 ?# z% W
        这个模型的主要区别在于:将种群分成n个年龄组,分析各年龄组对种群总量增减的影响。这一节的数学推导稍繁。
    - Z/ \9 C4 x/ H. i( ^$ [2 f4 K. |

    5 o4 s4 q* G  s9 }" E9 I4 E! \
    第8章 离散模型
    9 t7 V* p4 R4 ^& Q0 K& ^关键词:层次分析 排名次 冲量过程 “分赃” 群体决策6 `+ P7 ]9 g; {# |/ Y
    (本章是确定性离散模型的应用、方法)
    % `8 k2 d( W8 g. m; b/ m1 |
    , ^* g. A& `. q0 ^7 Q. m# M
    8.1 层次分析模型
    + Y8 z2 k" w8 ]7 ~* v
        社会经济系统分析工具。排名、评分评价,排等级都可以用层次分析模型解决,数学知识虽然不深,但是思想十分巧妙且合理,可扩展性也很好。关键在于1)“成对比较矩阵”的确定及修正,2)特征根法求权向量的原理(重要),3)1-9比较尺度(Satty等人提出),4)一致性检验。
    % K( p  x$ L+ ?8.2 循环比赛的名次
    4 v9 I" |$ E: f8 T    这节也是对一些排名评价“难题”给出一种经典解法:邻接矩阵+得分向量。转化为计算各级得分向量s、A最大特征根&对应特征向量s。按常理一般只会想到基于原邻接矩阵的1级得分向量,若比不出则停滞了;但若将i级乘回邻接矩阵,可以“发展”到i+1级得分向量——这个思想是本模型的关键,而且简单易用易理解。
    * v. m' W$ F( v' M, T+ P    对于所谓的“下一级”得分向量定义的原理依据,或实际意义,是此思想的关键,我觉得可以接受,看上去很有道理,但未想出具体的解释,这里欢迎指教、讨论。(p246)# B% i5 K# }5 X$ {* A# r5 ~
    8.3 社会经济系统的冲量过程
    4 C9 G4 i# A0 q. q" G3 P    区别于机理分析、统计分析,冲量过程与层次分析属于“系统分析”,是近20年来发展起来的解决复杂系统的有力工具。
    3 @5 p7 ^% n. l# }9 U5 S& m1 |    这节模型研究能源系统中,各个因素的趋势、预测问题。主要工具有:带符号加权的有向图,冲量过程(类比物理“冲量“概念)。其目的无非是研究系统的“稳定性”,以及如何“调整”到稳定。这是实际问题关注的。
    , b3 B. c# r$ ^  o8.4 效益的合理分配
    & p- ]6 M# p( _    几方(大于3方)合作,已知不同子组合可获得不同收益,那么一起合作后,谁的功劳最大?也就是说,干完活后,如何“分赃”——这里是理性的、用数学推理的公平的“分赃”。
    - }. ~! T0 w% \) e6 ?$ b: W* k- n) O  L本节介绍了3类方法:Shapley值,协商解等,Raiffa解。最后用一个3方分配例子对比了这3种方法。3种方法特点在p262。是客观求各因素权重的有力途径。6 P# h& x" |9 ?% C3 S# n% ?: \
    8.5 存在公正的选举规则吗! [+ a4 F: Z+ a- m* C5 w7 x% ^
        这一节类似第2章的“公平席位”。主要讨论的是“群体决策”这一类问题。
    0 a* P5 U2 c  I    首先是简单的选举规则。
    & W7 @7 g" S" [6 E4 L    接着介绍Arrow K的工作:提出一组公理,却证明不存在满足这组公理的选举规则,但很具有启发性。( m$ ^2 U1 N- Y
        然后是联合尺度选举规则,它是一个简单易行的规则(但是对投票情况限制了,才可能满足Arrow公理)。
    6 L+ M6 }1 u( n' f0 c9 h    最后是一种与Arrow公理无关的规则——最小距离,这是一种类比思想,很巧妙地把公平转化为距离之和最小的最优化问题。% A0 I! U, d* z& \( ]

    , M6 I( E2 e4 Q4 ~' `% B% A9 r: A1 q1 p9 y9 n
    第9章 概率模型8 i# {) V: h# f: s0 D* Y8 X0 z
    关键词:随机模型 基础概率 生灭过程 数值解分析
    0 q* ^8 E- e$ G/ q2 F
        相对“确定性”模型来说,当随机因素的影响不可忽略时,就要建立随机模型。概率模型就是比较简单的随机模型,这一章用我们熟悉的概率分布、期望、方差等知识介绍概率模型怎样处理随机因素的。* o3 d5 p+ P$ {, K4 |
        关键点有:
    ( F( _/ ~' ?7 ^2 g+ J1. 如何定义随机因素相关的量。针对一个实际问题,做好定义是开始工作的根本。
    3 p. @9 d8 Z' T1 ]% k. v" s% k2. 随机概率模型一般从离散角度(一个个时段)下手,但求解中为了需要可能会转化为连续(如p274的求和转化为积分)。+ k/ n' u+ Q% \: l& Q0 F
    3. 要灵活根据实际问题,决定哪些参数应设为定值,哪些参数会变(如9.4轧钢问题,重量服从正态分布中,均方差应认为是已知的定值,而均值是可以调整的)。" V$ R: y9 I3 D. X) W/ {
    4. 一般的“生灭过程”参考9.5的随机人口模型——相比之前的人口模型,这个更加一般,考虑的因素更多,更接近实际。
    7 Y) w% q$ z7 y( c& @5. 有些模型无法解析求解,然而数值计算的结果已满足我们对问题进行分析的需要(9.6预订票策略)。
    " ~" V* d* o' V$ p+ |: o! E% n
    & G( _( C1 f/ K" r3 {
    4 w' p* w! I& C% M/ ?: g
    第10章 统计回归模型, l6 X& [$ p% U/ Y- w4 W3 B+ B
    关键词:数据拟合 MATLAB统计 残差分析 自相关 逐步回归

    , L; K1 E8 X" Q* {4 ^5 o    对于有些内部规律复杂、无法分析内在机理的问题,我们建模、拟合的通常做法就是搜集大量的数据,用统计方法建立模型——统计回归模型。: T1 \" V1 I: X
        关键点有:& Q6 \; ?8 L; R' w2 B, h
    1. 做散点图,大致判断函数趋势(比如有明显的线性增长),确定方程形式,待定系数。/ h" R5 \; R8 f  s  c
    2. 用MATLAB统计工具箱regress拟合,得出结果;重点:如何由MATLAB输出结果下结论(如置信区间不要包含零点,R^2、F)。. A# f& @9 c; P# H, T$ p
    3. (考虑实际问题制约)适当引入变量简化问题,如10.1中引入价格差(p297最后一段说明)。* `/ K5 O5 X: l+ a, X( V; Q
    4. 利用好回归变量的预测(置信)区间。
    $ d, b0 ~) C% j' ~3 o" {5. 改进回归模型:逐渐考虑回归变量之间的交互作用——在方程中引入二次项、交叉项。若MATLAB拟合输出信息表明有改进,则说明模型更符合实际。还可加上作图对比前后模型(p300)。/ }2 S0 Q* J2 i
    6. 残差分析(p305,但这页我未看懂具体做法,待交流),及分析得出的结论,我们应该怎样改进模型。0 K' g$ b# ]: [9 O
    7. p307评注内容:0-1变量法、残差分析法、异常值应剔除。
    2 t; u  I2 Q, Y$ q0 t# e& l" v8. 线性化(p309),及非线性MATLAB求解(p310);p315最后两段。/ v. I* s; ^9 j
    9. 自相关的考虑(10.4节):若存在自相关性(具有滞后性,即前期对后期有影响的时间序列),普通回归模型将失去意义。我们必须先检测是否存在自相关(D-W检验、广义差分法),同时注意若高阶自相关,则必须改进直至不存在自相关为止。
    * E! O$ [1 n# _  e2 N5 F- R' ]10. 逐步回归:因素较多时,排除次要因素,用来选择影响因素显著的变量。
    4 U' G* E8 R+ |
    8 ~0 a8 ?- }- e# l& g
    ( l$ b7 ?; s. V8 N# J! R+ e
    第11章 马氏链模型
    0 r1 v3 c- H/ P, @$ A: J: s* j关键词:离散随机过程 无后效性 转移概率 状态选取
    # w+ O: a/ a* r" s8 F3 w* x2 i% j
    基本概念
    . P/ S7 B  i! x# Q$ Z  E    这一章介绍了处理离散随机过程的重要工具——马氏链模型,及若干个应用。总体从浅到深,阐述了马氏链的主要思想。
    ! s1 m/ E/ f1 s# A9 q5 O" z7 z! Z1. 无后效性/Markov性: 系统在每个时期所处的状态时随机的,这个时期到下个时期状态按照一定概率进行转移,且下个时期状态只取决于 1)这个时期状态 2)转移概率,与以前各时期状态无关。* i- Q+ Y% f% ]$ W2 c
    2. 马氏链(Markov Chain)模型通常描述: 已知现在,将来与历史无关,具有无后效性的,时间状态均离散的随即转移过程。' S' e$ c6 I1 x5 {+ ~7 S
    3. 一些确定性系统的状态转移问题也能用马氏链处理。
    : a0 ?3 k7 s3 p# V$ y2 C  {% Q8 D# D! a
    一、健康与疾病
    3 ~) a6 o( E0 H    主要介绍马氏链基本概念、要素: 系统的状态,状态概率,转移概率,马氏链基本方程,状态概率向量,转移概率矩阵。本章讨论时齐的(转移概率与时段n无关)马氏链。/ Z9 O0 a7 ]# I9 P9 C
        同时介绍2种主要类型——
    8 D& T5 H! e3 R' @$ Z) y6 y# I    1)正则链:从任意状态出发,经过有限次转移都能达到另外的任意状态(如何判断是正则链、相应定理);& k/ I: U3 e5 e+ |
        2)吸收链:首先引入吸收状态,顾名思义吧,就是某个状态的转移概率=1,即进了这个状态就出不来了,被“吸收”掉。  吸收链是(至少)存在一个吸收状态,使马氏链从每个费吸收状态出发,能有限次到某个吸收状态。
    8 B6 c: {1 c! I$ W二、钢琴销售的存贮策略
    # Z% S1 b  R) D8 x, N3 i2 T" t    动态随机存贮。一个简化的存贮模型,关键是从中理解状态变量、需求量、转移矩阵的设置和求解。 判断转移矩阵P为正则链后,用公式求出稳态概率分布w,就是达到稳态后的情况,然后用全概率公式算出失去销售机会的可能性。 这个模型虽然简单,但却是动态存储马氏链的浅显易懂的好例子,其中结合实际问题具体分析是最值得学习的。
    ; c6 }9 T2 Y# f: N- L三、基因遗传
    5 D& M& P. G* y2 M% ]( I    用马氏链模型研究遗传过程,关键是建模的过程——即选取系统的状态,这在“随机交配”和“近亲繁殖”中需用不同的设法。  随机交配过程推导的结果是 (p^2, 2pq, q^2) 分布将保持下去,即遗传学中的Hardy-Weinberg平稳定律;然而,近亲繁殖中,得到的转移矩阵发现是一个“吸收链”——即如果近亲结婚的话,若干代繁殖终将变成全是优种/全是劣种,并保持下去。这两个结论(虽然在理想化假设下)与我们之前的认识是很一致的,从中加深了马氏链的理解。
    0 |$ E8 r4 v5 g& r$ K" z0 E4 \四、等级结构: z: k0 k0 F( @6 ]- X
        这个模型是用马氏链研究一个群体中各个个体等级分布变化情况,目标是研究等级分布变化规律,假设总人数不变。然后用某种途径让群体等级分布达到想要的稳定状态。
    ; `2 Z' K! |- V$ A: Z- S4 M    重点在于变量的设置,以及还是状态设置、模型建立过程。  建模过后,先用“调入比例”这一现实中可控的量进行稳定控制,其中有“稳定域”的构造、分析。 然后是具体如何用调入比例,进行动态调节,实则转化为了一步步优化问题,动态调节的过程是一步接一步的,有重复循环的操作规律。这里也很好地体现了马氏链的“离散”特性,以及给编程创造了机会。) x1 W' G& T1 ?; `1 |
    五、资金流通
    + V2 h% l2 Y0 E4 T* |3 ?    基本与等级结构一样,一系列推导最后总结出步骤,先判断稳定能否达到,若能达到,则由公式算出每年应如何投放资金。  与等级模型不同在于:各地区资金进出可正可负;所有地区资金总和可以变化。
      r  ]' C2 F! b; W1 T: k3 B* ^1 B9 G1 a4 A
    第11章小结:
    8 V6 @! F9 F! H) ], J    虽然只有短短5节,但是几个模型由浅入深,循序渐进,学习中有逐渐清晰的感觉。过程的推导复杂度适中,具体问题具体分析的思想很经典。这章算是马氏链模型的基础,虽是基础但案例、思想也足够典型,是今后解决离散随机过程很有力的工具。7 k. o& q7 ]' k; e, V9 {

    8 X: ?2 M/ ~& f! z6 _) ?9 n
    第12章 动态优化模型
    8 B6 r% z8 M1 i' G/ |关键词:泛函极值 变分法 动态规划 最短路

    2 T( m( Z0 ~2 K, _+ ?+ Q0 `基本概念
    ( ~2 M+ S# P1 X- S1 F    本章介绍动态优化,优化目标,虽然优化目标仍然是数值,但最优策略是一个函数。连续过程归结于求泛函的极值问题(几个模型中一直体现),方法有古典变分法、最优控制论。几个例子都是能用古典变分法解决的,而离散过程则用动态规划求解。( j# @; U4 h: w% X. `% {( h9 ~' \4 G

    / y, x3 V6 Q7 X- y    第一节先用“速降线”和“短程线”两个17世纪末的物理模型引出变分法基本概念,和后面要用的结果;同时介绍泛函、泛函极值概念。: g8 F. r; ^# H& ~
        这一章的数学知识、推导比较繁杂(尤其是对于没接触过泛函等概念的学生),2、3、4、5节(生产计划制订、国民收入增长、渔船出海、赛跑速度)均是连续动态优化的典型问题,许多都是归结于泛函极值的问题。尤其是“渔船出海”,实属一个经济学的典例,这个经济策略分析中再次很好地体现了数学技巧、实际问题结合的巧妙。" Z! x2 H) y, r
        第6节多阶段最优生产计划属于离散动态优化,用动态规划求解,转化为最短路问题,当中对最短路问题的算法做出了详细解释。 分别对确定需求、随机需求的生产计划制订方法给出了推导思路。
    , D8 w6 `0 R. ~% f9 ?. |: x3 D6 B" a/ F

    8 O' d4 _- p: _- T; p, B
    $ Z. K/ K; G& w4 J+ N& g      一点自己的感想。笔记总结得不大好,但我的物理老师说过:做比不做强!因此我只好硬着头皮小结了~  望指教!
    0 S* o! N1 U. v! Z. P   7 Y  S; s1 o" _2 L# h
           自己的其他感想、学习心得,
    欢迎交流
    0 L- A* F( L& K( A: t5 qMCM论文精析课程小结——2012.5.20
    1 \9 [. C: I! X3 L& f6 z: a) k  r点上希望的蜡烛——每年一度的聚会,记2012全国大学生数模竞赛1 |8 j; K, [/ ~" o
    2013MCM, 平淡不平凡

    7 {0 _. o, C% p% ^( p$ W% B! R  l. J4 `/ O; ^" s) f3 N) y
    附:感谢你认真阅读(或扫视)完这篇学习笔记性质的稿子,感谢你的兴趣,同时期待你能在建模学习中获得启发、更上一个台阶。对于短期/初期体验竞赛的同学,了解一些简单概念和思维,就像这本书中略读一些章节,再编一些经典的算法程序,是很好的敲门砖;对于长期学习建模的同学,固然要找机会夯实基础("内功"),也建议在学习过程中多思考,不仅是为了抓住知识的主干,更是为了发掘自己的兴趣,获得对自己今后读研、工作的启发。
    , L+ h) N' {8 @1 U4 P    本人现为一大四学生,在竞赛一线活跃度肯定不如各位,但之前的9次建模课题、4次竞赛的确给我帮助很大:开阔视野、团队合作、实际技术、责任意识。 知识学了就会有用的,不管是由于一阵没用而生疏,还是一直在加深印象。我一直相信这一点,并希望各位共勉,珍惜本科的时光,给自己多一些充实(英文中用"enrich"较合适)——因为不像金钱钞票或实物,这些知识能力、包括好的身体素质,是别人带不走的。
    . J9 `4 B& \& L                                                                      ——2013年12月20日

    1 ?# q& `" x( m" {6 h4 m; g# W7 z! E  l7 t, w
    6 r: t# f& ^1 z3 N
    关于论坛体力:如果是刚加论坛准备长期学习,而下载体力不够的同学,可以给我发信息/回复帖子/加好友,写明大概需要多少点(如50)及下载资料类型,我可以直接转给你。  或者我记得可以用支付宝转账,好像1元对应30点;或者平时签到/分享帖子/写日志 都可以加不少(但不建议连续水回复一个帖子多次)。)

    5 m% M/ a2 O9 b" x$ T% x
    $ {9 O  ]6 a- o6 ?; J" O9 B
    poster_04.jpg

    《数学模型(第三版)习题解答》.pdf

    2.97 MB, 下载次数: 746, 下载积分: 体力 -2 点

    《数学模型(第三版)》.pdf

    18.98 MB, 下载次数: 1909, 下载积分: 体力 -2 点

    好书,可以考虑买本来学~

    优化Lingo笔记.pdf

    1.1 MB, 下载次数: 382, 下载积分: 体力 -2 点

    这个仅是一点书的截图

    《LINGO和Excel在数学建模中的应用》.pdf

    17.05 MB, 下载次数: 1406, 下载积分: 体力 -2 点

    推荐!前两章!

    回帖推荐

    sdccumcm 查看楼层

    今天决定比计划提前做完总结,本来晚上已经写好,但数学中国一直上不上,换几种网也是很卡,直到较晚才上。 粘贴上发表后,却发现板式很多地方不好,由于是用代码编辑的字体,所有标题都要重新设置一次。这里也想请教下各位有没有简便的方法啊(在数学中国写帖子的时候,设置字体格式,不用那个代码)。刚才反复看效果、改了10多次……

    点评

    13506769794  超给力的!!!  发表于 2021-8-13 14:06
    13506769794  。。。。。。。。。  发表于 2021-8-13 14:05
    13506769794  。。。。。。。。。  发表于 2021-8-13 14:04
    周少侠在江湖  很不错,鼓励共享  发表于 2017-7-27 16:26
    阳光照耀的日子  确实不错  发表于 2016-6-10 11:53
    zan
    已有 4 人评分体力 收起 理由
    总有以后 + 20 一次很好的学习
    mcm-dlu-edu + 80 很不错的,鼓励共享。
    woaixueshumo + 180 很不错的,鼓励共享。
    darker50 + 4 赞一个!

    总评分: 体力 + 284   查看全部评分

    本帖被以下淘专辑推荐:

    • · 数学|主题: 8, 订阅: 0
    Learn from yesterday, live for today, hope for tomorrow. 借鉴昨天,活在今天,憧憬明天。
    sdccumcm 实名认证      会长俱乐部认证 

    59

    主题

    165

    听众

    5484

    积分

    升级  9.68%

  • TA的每日心情
    开心
    2015-9-28 12:07
  • 签到天数: 832 天

    [LV.10]以坛为家III

    2012挑战赛参赛者

    邮箱绑定达人 发帖功臣 新人进步奖 风雨历程奖 最具活力勋章

    群组MCM优秀论文解析专题

    群组2012第二期MCM/ICM优秀

    群组科学狂想曲

    群组第二届数模基础实训

    群组学术交流B

    欢迎讨论啊

    点评

    白加黑  第一次参加,有种无从下手的感觉,怎么办??  详情 回复 发表于 2015-7-13 22:11
    回复

    使用道具 举报

    sdccumcm 实名认证      会长俱乐部认证 

    59

    主题

    165

    听众

    5484

    积分

    升级  9.68%

  • TA的每日心情
    开心
    2015-9-28 12:07
  • 签到天数: 832 天

    [LV.10]以坛为家III

    2012挑战赛参赛者

    邮箱绑定达人 发帖功臣 新人进步奖 风雨历程奖 最具活力勋章

    群组MCM优秀论文解析专题

    群组2012第二期MCM/ICM优秀

    群组科学狂想曲

    群组第二届数模基础实训

    群组学术交流B

    sdccumcm 发表于 2012-7-23 23:17 3 n6 R0 F8 P6 f% t
    欢迎讨论啊

    - F3 ?  z( f( c; H/ m  B  P( i欢迎提意见~

    点评

    sdccumcm  ………………………………  发表于 2012-7-24 09:19
    回复

    使用道具 举报

    sdccumcm 实名认证      会长俱乐部认证 

    59

    主题

    165

    听众

    5484

    积分

    升级  9.68%

  • TA的每日心情
    开心
    2015-9-28 12:07
  • 签到天数: 832 天

    [LV.10]以坛为家III

    2012挑战赛参赛者

    邮箱绑定达人 发帖功臣 新人进步奖 风雨历程奖 最具活力勋章

    群组MCM优秀论文解析专题

    群组2012第二期MCM/ICM优秀

    群组科学狂想曲

    群组第二届数模基础实训

    群组学术交流B

    回复

    使用道具 举报

    雾柳        

    0

    主题

    6

    听众

    578

    积分

    升级  92.67%

  • TA的每日心情
    开心
    2015-6-9 15:19
  • 签到天数: 165 天

    [LV.7]常住居民III

    自我介绍
    .。。。。。。。。

    社区QQ达人

    群组小草的客厅

    群组学术交流A

    群组学术交流B

    回复

    使用道具 举报

    sdccumcm 实名认证      会长俱乐部认证 

    59

    主题

    165

    听众

    5484

    积分

    升级  9.68%

  • TA的每日心情
    开心
    2015-9-28 12:07
  • 签到天数: 832 天

    [LV.10]以坛为家III

    2012挑战赛参赛者

    邮箱绑定达人 发帖功臣 新人进步奖 风雨历程奖 最具活力勋章

    群组MCM优秀论文解析专题

    群组2012第二期MCM/ICM优秀

    群组科学狂想曲

    群组第二届数模基础实训

    群组学术交流B

    雾柳 发表于 2012-7-25 10:56 , V1 e7 n. K- Y+ [  Z/ \3 W
    是要多多回复
    . F( x) p4 F& I2 U% Q
    呵呵~~~~
    回复

    使用道具 举报

    雾柳        

    0

    主题

    6

    听众

    578

    积分

    升级  92.67%

  • TA的每日心情
    开心
    2015-6-9 15:19
  • 签到天数: 165 天

    [LV.7]常住居民III

    自我介绍
    .。。。。。。。。

    社区QQ达人

    群组小草的客厅

    群组学术交流A

    群组学术交流B

    sdccumcm 发表于 2012-7-25 12:44 ; ^/ `) {2 W7 B) @* C8 z& w
    呵呵~~~~

    ! L) r& d6 X& N1 K) j/ j不太好笑耶
    回复

    使用道具 举报

    sdccumcm 实名认证      会长俱乐部认证 

    59

    主题

    165

    听众

    5484

    积分

    升级  9.68%

  • TA的每日心情
    开心
    2015-9-28 12:07
  • 签到天数: 832 天

    [LV.10]以坛为家III

    2012挑战赛参赛者

    邮箱绑定达人 发帖功臣 新人进步奖 风雨历程奖 最具活力勋章

    群组MCM优秀论文解析专题

    群组2012第二期MCM/ICM优秀

    群组科学狂想曲

    群组第二届数模基础实训

    群组学术交流B

    雾柳 发表于 2012-7-25 15:31
    & v, @" H8 m' l) O: B. O不太好笑耶
    5 r& d* A1 q) k% \2 T6 M
       额……
    / l) [0 X  m$ G, [欢迎提出宝贵意见啊,有问题直接指出哈~~~
    回复

    使用道具 举报

    sdccumcm 实名认证      会长俱乐部认证 

    59

    主题

    165

    听众

    5484

    积分

    升级  9.68%

  • TA的每日心情
    开心
    2015-9-28 12:07
  • 签到天数: 832 天

    [LV.10]以坛为家III

    2012挑战赛参赛者

    邮箱绑定达人 发帖功臣 新人进步奖 风雨历程奖 最具活力勋章

    群组MCM优秀论文解析专题

    群组2012第二期MCM/ICM优秀

    群组科学狂想曲

    群组第二届数模基础实训

    群组学术交流B

    今天决定比计划提前做完总结,本来晚上已经写好,但数学中国一直上不上,换几种网也是很卡,直到较晚才上。; C7 j/ m6 ]4 G/ l* n  u
    粘贴上发表后,却发现板式很多地方不好,由于是用代码编辑的字体,所有标题都要重新设置一次。这里也想请教下各位有没有简便的方法啊(在数学中国写帖子的时候,设置字体格式,不用那个代码)。刚才反复看效果、改了10多次……

    点评

    sdccumcm  额……………………………………………………………………  发表于 2012-7-27 09:46
    回复

    使用道具 举报

    sdccumcm 实名认证      会长俱乐部认证 

    59

    主题

    165

    听众

    5484

    积分

    升级  9.68%

  • TA的每日心情
    开心
    2015-9-28 12:07
  • 签到天数: 832 天

    [LV.10]以坛为家III

    2012挑战赛参赛者

    邮箱绑定达人 发帖功臣 新人进步奖 风雨历程奖 最具活力勋章

    群组MCM优秀论文解析专题

    群组2012第二期MCM/ICM优秀

    群组科学狂想曲

    群组第二届数模基础实训

    群组学术交流B

    sdccumcm 发表于 2012-7-26 23:25 1 |/ h! B) P. f
    今天决定比计划提前做完总结,本来晚上已经写好,但数学中国一直上不上,换几种网也是很卡,直到较晚才上。 ...

    ( l! O& S2 q- P& M大家多多包涵!
    回复

    使用道具 举报

    您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册地址

    qq
    收缩
    • 电话咨询

    • 04714969085
    fastpost

    关于我们| 联系我们| 诚征英才| 对外合作| 产品服务| QQ

    手机版|Archiver| |繁體中文 手机客户端  

    蒙公网安备 15010502000194号

    Powered by Discuz! X2.5   © 2001-2013 数学建模网-数学中国 ( 蒙ICP备14002410号-3 蒙BBS备-0002号 )     论坛法律顾问:王兆丰

    GMT+8, 2024-3-29 18:50 , Processed in 0.627016 second(s), 109 queries .

    回顶部