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[LV.10]以坛为家III
2012挑战赛参赛者
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本帖最后由 sdccumcm 于 2014-1-8 12:39 编辑
( J6 M; p5 D; @! y/ a" D 1 M3 |# P5 o2 I3 }, Q3 Q
《数学模型(第三版)》学习笔记
( z' I. ~# O; o L 写在开始 * V* y. e9 H0 e( x# f! b
今天第一次归纳、复习,整理思路重点,从最后两章(除了“其他模型”)开始,想可能印象比较深刻。可实际开始总结才发现对于知识的理解和掌握还有很大差距,自己也是自学看书,非常希望各位提出宝贵意见,内容、学习方法经验上的都是.+ {# J% v( N' r+ q2 d9 t9 T
整本书读下来感觉思路、数学都有很大拓展,总结起来有一下几个特点:3 S7 _: `; E/ C
: s" d/ r& ^& _; U, H1 F- T
(一) “实际—>模型”的建模过程很关键,本书的模型很多虽然所谓“简单”、“假设多”,但简化分析中,还真难找到比它更合适、更合理、更巧妙的建模、假设了;$ P* Q" Q* c) E5 q, x" C
(二) 模型求解之后的处理,许多地方似乎求解完毕可以结束,但却都未戛然而止,而是进一步“结果分析”、“解释” ,目的不一,要看进程而定,有的促进了模型的改进,有的对数学结果做出了现实对应的解释(这一点建模过程中也经常做,就是做几步解释一下实际意义),也还有纯数学分析的,这些都是很重要的,在我看来,这本书中的许多模型、论文似乎到了“结果分析”这一步才刚刚开始 ,前面的求解似乎是家常便饭了;
% ]2 Q$ i8 i) H4 v7 L" p3 M (三) 用各种各样的数学工具、技巧、思想来建模的过程,这本书读下来愈发觉得线性代数、高等数学基础的重要性 ,同时书中也设计到了一些(虽是浅浅涉及)新的数学知识和技巧,许多我在读的过程中只是试图了解这个思想,而推导过程未能花很多时间琢磨,但即便如此,还是让我的数学知识有了很大的拓展(作为工科专业学生)。
+ `. g2 R( D! t2 s- q7 B/ p0 G ; i X3 |) |4 m: k
从上周六继续自学《数学模型》开始一周,比预期的时间长了许多,但是过程中我觉得即便如此也很难领会完整这本书的内容。最近学习任务比较多,所以两天前快看完时到现在一直未能做个小结,从今天起每天做2章的小结,既是复习总结重点,也是请诸位同学指教、提意见交流——毕竟自己领会很有限。7 R3 a( j5 W- k. B
也可以作为未读过、准备读这本书的同学的参考~ & B/ @3 r1 {. i# I
——Tony Sun July 2012, TJU
/ Q+ O' J/ j4 i3 z" l
6 N0 V6 d* I* \# A& b' ? (目前已更新:全12章)
# q- J& ?6 J2 ]: R% J# i; v ' T8 K: H# B& G$ ?; U5 K
第1章 建立数学模型 + F6 c5 u4 X8 ~9 C
关键词:数学模型 意义 特点
$ U; E6 B* Z" m+ ^% }" X
第1章是引入的一章,对数学模型的意义来源,做了很好的解释。其实数学模型也是模型的一种,是我们用来研究问题、做实验的工具之一,只不过它比较“理论”、“摸不着”而已。但通常,数学模型有严谨的特点,而且我们可以根据建模实际需要改变模型,成本也比较低;同时数学模型手段之一计算机模拟也有很好的效果。
, {$ u+ P, y% o8 ?+ F; ?' [' v 椅子在不平的地面上放稳、商人安全过河、预报人口增长这3个熟悉的例子,用简单的数学进行描述、建模分析,给数学模型一个最好的诠释:用数学语言描述事物、现象——往往增添了说服力。3 D" y+ e# I v0 |4 ?. {+ W5 b
) R1 @, G9 r, j2 D: Q 0 Q& k/ b/ H! q6 j" y
第2章 初等模型 : h4 `) f6 Y" ?" `
关键词:初等数学 简化技巧 思想
5 `/ ]3 X1 e# O U9 b 这一章顾名思义,是一些用“初等”数学知识建立、求解的模型,虽然数学知识比较易懂,但是其中的巧妙思想确实十分重要的。. W0 S" Z7 H) S$ r" q! c
如何把问题做恰当的简化,到简单的数学工具能够表示、求解的程度,本章做出了很好的例子,同时分析也很精彩。, v; g' M4 b: _0 ?8 X# m. y6 i
2.1节公平席位分配 ,通过定义不公平程度等衡量标准,确立目标,提出Q值法。有意思的是,在考虑是否存在一个理论上公平的分配方法时,根据所提出的4个(毋庸置疑的)公理,得出的结论却是:不存在满足上述公理的分配方法。这种类似情况在本书中后面的例子也出现过。 这给我们什么启示呢?有些问题和工作,比如公平席位的分配,日常中是一定要做的,就算不能达到绝对公平也要分配,但一旦证明不存在理论上公平的分配方法时,我们还有分配的意义吗?答案不一;在这个例子中,固然是有意义的,我们自然转而寻求一个相对公平的分配方法,抑或,就是回溯查看提出的“公理”是不是那么的“公理”,看能否通过删改公理来取得更公平方案。
4 O" L) u4 X# z+ e# `' ~ 录像机计数器、双层玻璃功效、刹车距离等模型,均是用日常现象、基础的物理知识和巧妙简化进行的建模分析,这里每个例子中的分析,求解后的解释很重要——它们是整个模型的关键,阐述现象。
$ R; Y$ N* h1 f; [ 2.7 实物交换 ——是后面经济学模型的雏形,无差别曲线的图形方法,确定这种曲线实际中要收集大量的数据;核军备竞赛一节,也是一个动态的变化过程,基本全是用曲线进行分析的——这里给我们一个思想,得出表达式后,许多时候我们只关注曲线的形状、趋势,因此作图分析是很好的方法,图中可以给我们很多信息(交点,截距,极限值……),而这些信息都一一对应着它们的实际意义;有些即使没有明显的含义,但也很可能为接下来的铺垫、预测作下铺垫。, f9 W; s" c: U$ |
2.10 量纲分析与无量纲化 ——是另一种重要的求解方法,大致来说思想就是:仅知道变量之间的制约关系(正/负相关),系数、阶数均未知,即只能得出表达式的“形式”,要我们通过“量纲齐次性”(等式两端必须保持量纲的一致)来确定具体的表达式。这是与按理论推导建模并列的另一种方法,这一节用单摆、抛射等物理问题很好地诠释了这种方法的强大。 关键:恰当地选择特征尺度,不仅可以减少独立参数的个数,还帮助我们决定舍弃哪些次要因素。物理知识和经验是关键。
8 p( S7 N) h3 b0 e1 ~; M% @7 A % ^$ Z- k, C T& T- J' m2 _
第2章小结:
3 n9 S( a5 j0 n1 G( M: _ 本章可以总结为“初等数学知识+巧妙简化技巧+思想 ”,10节涉及了不同类型的问题、数学方法,很多都是本书后面章节模型的雏形、基础。
3 E; X: M- {- I! {/ w4 r& _0 k
. v+ l% U# h/ M& [
3 P4 V* @ [, ^( I U( L6 `7 q% m( e 第3章 简单的优化模型
8 ^" O6 L3 m- O$ u( S7 e0 ^3 m 关键词:简单优化 微分法 建模思想
- j8 {1 K, S( N3 w5 l. Z
本章与第4章连续两章都是优化、规划的问题,可以看成一类问题——内容上也是由简单到复杂。在第3章中,主要是几个简单的优化模型,可以归结到函数极值问题来求解,直接用微分法。虽然模型、数学计算难不倒,但是还是那句——建模,求解之后结果分析、结果解释的思想,是我们要学习和引入脑中的。
. `: v8 Q& H# F + s9 ?$ U* z/ W( M3 m3 ]0 ~0 V3 m
3.1 存贮模型
4 } B; f @" A# |9 M. Z 分不允许、允许缺货两种讨论,中间推出一个最小费用的结果——经济订货批量公式EOQ。 对存贮量函数q(t)作图,观察规律,对结果解释。
7 {. M; `! T7 \% L* ^ p( a 3.2 生猪出售时机 & A- D! g! M- M
关键点在于敏感性分析和强健性分析——这对于优化模型是否实用、有效是很重要的。- g4 Q# K6 N: m; m: f1 ~5 V
3.3 森林救火
5 H/ _' p* i4 W) I) E 亮点是对火势蔓延程度dB/dt的形式作出的数条假设,以及假设对应的实际解释。只要合理、自圆其说,就是一个好的对实际问题的简化。! K7 n! D2 a; K5 w9 J9 Y
3.4 最优价格 * F; c/ O- k& V# r1 ^+ I1 J( c) c
主要是引出边际收入、编辑支出,以及经济学一条著名定律——最大利润在边际收入等于编辑支持时达到。3 H# O0 `$ p3 T# K1 c# n1 @4 W2 |
3.5 血管分支
( e; P% a/ M& `. h. c 是很有趣的一节,用数学模型研究生理问题,我们还是只关注建模、数学的层面,而对于血管系统几何形状等生理学知识不讨论过多,用合理有力的假设代之。$ [( E* s) b3 V3 i' V
3.6 消费者的选择 : F. o& a9 M1 c! |% B! K- o$ R
一个消费者买两种产品时,钱应该如何分配。分配比例使他得到最大的满意度的最优比例乘务消费者均衡,而建立消费者均衡模型的关键在于确定效用函数U(q1,q1)。& r B B4 L" f4 p! f# M
3.7 冰山运输 \1 ~. I+ b+ S
也是很有趣的问题,考虑各种因素,基于一些假设,这节研究怎样运输冰山使费用最小。其中用实际数据建立了经验公式,二是假设冰山为球形,简化了融化规律等的计算。
T$ z7 O" V! q3 R' e$ l* L. q
! e8 I2 t0 g7 U5 y) v# o; L
9 s+ O$ M! P. ]8 H& n! P 第4章 数学规划模型
8 B6 j2 M; D( z& D, y$ x3 k 关键词:数学规划方法 lingo/lindo软件 结果深入分析 变量个数
* L# D) N& z) F8 L C; Z1 T& q 约束条件、可行域、目标函数,构成了常说的“数学规划”模型。本章揭示了数学规划的本质,和它与传统优化数学问题的区别:常理优化模型属于函数极值问题的范畴,但实际中更多的是决策变量数、约束个数较大,且最优解往往在边界上取得的问题,因此不能用传统的“微分法”求解——因此要引入“数学规划”方法。
, T; Q* h9 y3 L, E
; p* Y7 M- ^: d; L! {3 ~ 这一章内容不少,但都是一类问题,主要点有几个:
! @% c! q0 F! c, X 1. lingo、lindo求解的使用——运行结果中还有一些平时未留意的信息,可以作为结果分析来用,前两节叙述较多;7 P6 O# v% c* B5 `9 q
2. 一些细节之处:把一句话用数学公式表达,它往往作为约束条件,如p102的式(19);
2 `, j$ {8 \! P1 O. N 3. 多目标规划的处理,p109的“选课策略”——基本思想是通过加权组合形成一个新的目标,从而化为单目标规划;7 A' K* P6 ~( k( G
4. 同前面章节一样地,对一个问题解出结果后,问题虽然解决了,但分析并没有结束——我们要学习这种further discussion的精神,发现这个结果“恰与…相同…”之类的,不妨多问自己一句:“这是偶然的吗?”然后继续分析,得出一般的结论,这样往往能看到更多的风景,得出的结论更有含金量/启发性,而不是仅仅是解决了该个问题而已。如p109选课策略。
! b5 z$ p( I0 d( G4 X, I0 |, C 5. 减少变量个数,简化模型、式子(简化起见,同时lingo对变量个数有限制),p115销售的例子。) ?/ n+ {+ Y( }9 k" p: ~
6. 求最优解时,为了减少搜索范围,加快速度,可以先去一个特殊情况求出一个可行解,然后让最优解至少优于它。4 G g# N6 n. A7 g/ z" V( i, k
! ]) n2 P M7 p& v& @3 d* D & l& X1 n9 A0 ^7 Y5 h, I" K
第5章 微分方程模型
! N+ d6 w: `3 j0 Z6 ^, | 关键词:动态模型 合理假设 分析预测 控制
- E6 Y" E: y! D b8 p3 B 这一章是非常经典的一章,对微分方程模型作了很好的诠释、介绍,每一个模型都有丰富的价值。对于随时间连续变化的对象或状态,当我们要 1)分析变化规律;2)预测;3)研究如何控制它的时候,就要建立相应的微分方程模型。
1 T% ?0 o( [" b/ C 自然地,这样的模型功能非常强大,也具有一般性,也自然地需要在简化假设上动脑筋——如何用数学语言能表述的东西来刻画一个实际动态过程。一个方程,有时就表示着一件事,这件事有可能还持续几十年——多么有趣而强大。
& m6 }8 ]( S3 v2 A+ \ 7 q- [4 W. |7 X( A
5.1 传染病模型
! w3 E8 `1 k" A 本节是解决“传播”、“蔓延”微分方程问题的典例,模型分三部分层层递进:SI(只分为易感染着、已感染者),SIS(已感染者可以被治愈,重新变为易感染者),SIR(治愈后具免疫力,即增加了“移出者”)。可以说从基础模型到一步步递进,是对实际传染病情况的逐渐深入、全面的考虑,而其中的分析十分重要,也是本章分析得最细的章节 。其中引入了“相轨线”分析法,是很有力的工具,后面多次用到,这一节有很详细的介绍。
* |. z0 T: H4 _" j6 ]8 T5 W 模型改进 、建模目的性 、方法 三者配合 ,是本节亮点。
" @4 z4 N+ d9 Y+ |7 z# v0 m# Q* k 5.2 经济增长模型1 x8 s& \9 a- h1 I% T7 t0 C
通过建立产值与1)资金;2)劳动力之间的关系,来研究1)资金与劳动力的最佳分配,使效益最大;2)如何调节资金、劳动力增长率,使劳动生产率有效增长。
. C6 m( _2 X& [5 d' U+ }9 ]5 ]$ p 本模型虽然不长,但推导出计量经济学一重要模型——Douglas生产函数。本节给出的模型推导稍繁,但结果简明,有合理解释。
1 [1 y0 }% S/ o 5.3 正规战与游击战 0 ^* ^+ n$ t- o
这一节介绍了历史上用过的、经典的预测战争结局的数学模型,有传统正规战争、稍复杂的游击战,以及混合战。重点在于建模过程:如何描述战争双方的特性,如何作假设。然后用来分析硫磺岛战役。这节很好地体现了微分方程的强大。! Q2 B' P4 g; y* ?
5.4 药物在体内的分布与排除 4 W; @% C+ G2 s& @$ n& C8 C3 e+ y
本节建立了房室模型,研究血药浓度的变化过程,为制订给药方案、剂量大小提供数量依据。重点在于1)模型的假设:尽管是简化,但由临床试验证明是正确的,可以接受;2)对参数的估计。
/ Y8 C- M' q/ X) w 先由机理分析确定方程形式,再由测试数据估计参数。
2 z* K6 W2 z' T7 R 5.5 香烟过滤嘴的作用
! X% i2 A5 y; M. J h. p 看起来不易下手的一个问题,用恰当的假设,引入两个基本函数q,w,及物理学常用的守恒定律,建立出微分方程模型,从而构造动态模型。本例是经典的建模案例。
" L* Z5 W R W, {" @, P7 v 5.6 人口的预测和控制 ( l. c8 W, W# `2 r
本节模型与之前的区别在于:考虑年龄的分布,即除了时间外,年龄是另一个自变量。过程中重要的是数学公式中,系数、因子的实际含义要解释。6 p4 c% j$ K7 e3 `2 w# K
5.7 烟雾的扩散与消失 . \" Q4 Q4 v& X" r# @& C
这个模型巧妙地引入了“仪器灵敏度”指标,不仅帮助建模,而且该指标本身是客观存在的,并非虚构,这样更加有说服力。+ n0 v* N. \7 I% G0 t, z1 x
5.8 万有引力定律的发现 # x2 i I% C- j4 ~4 \1 V& W
十分有意义的一节。我们初中就熟悉的牛顿万有引力定律,是由开普勒第三定律和牛顿第二定律一同推导出的,这一节再现了这个推导过程。这个模型告诉我们:正确假设+用数学演绎建模=对自然科学研究的巨大作用。我们要学习科学家前辈们如何创造性地运用数学方法,来提升我们解决实际问题的能力。
: t( e' b! @) n0 p $ E: ?0 i) D2 I" Z
- P2 y+ C9 w- P7 u4 o; { 第6章 稳定性模型
/ i4 }: o, V( N# L8 l4 ` 关键词:稳定性理论 建而不解 平衡状态 趋势 相轨线
2 e/ t4 S) C8 u1 x& A% n- x1 O& e
本章是建立在上一章的基础上,在微分方程基础上引入的一种重要思想/概念,那就是——对于某些问题,我们可能不关注动态过程的每个瞬时状态,而是研究稳定状态的特征,特别是时间充分长以后的状态/趋势,从而判断是否“稳定”。这时我们往往不需要“求解”微分方程(组),即“建而不解”;而是利用“微分方程稳定性理论”直接研究平衡状态稳定性即可。9 X1 k* k& j. S/ w# F9 F/ j
( D8 K. V7 @9 w s" i% t+ M X *6.6 微分方程稳定性理论简介
5 \8 ?7 }& U. }, C 这一节应为优先阅读的一节,介绍了如何判断一阶、二阶方程的平衡点和稳定性。数学推导稍复杂(对于未接触过的同学),重要在于了解一些概念、结论,在模型实例中来进一步理解。9 {. \. p5 E' a6 i: j# C. I$ ?) Z
; T. a, {) V# b+ r- ?- t7 J- S 6.1 捕鱼业的持续收获
9 T6 t- g4 C4 j; n% ]& Z 研究捕鱼业产量、效益和捕捞过度问题,如何捕捞能获得最大收益。这个问题虽然看似只需要给出一个“捕捞量”的答案就可以了,但是模型整个过程分析中还是得出了许多结论,如经济学捕捞过度、生态学捕捞过度等概念。在稳定的前提下步步深入。
4 f1 l' H( ^* J i5 d" `9 I3 p) B 6.2 军备竞赛
8 A, z! N: S' T a0 R! Y. h+ M8 X! c& r 这个问题在第二章初等模型中就出现过,这里用微分方程稳定性的知识来分析。正如本节引言所说,军备竞赛因素很多,无法圆满描述,只是想告诉我们:一个复杂实际过程可以被合理简化到什么程度,得到的结果又怎样解释实际现象。( a) p+ x( Z+ F4 ~% P
6.3 种群的相互竞争 6.4 种群的相互依存 6.5 食饵-捕食者模型 4 f6 |# b+ \0 n; U! W: ?) M
这三节作为一个系列,用种群竞争、依存、捕食这类生物学案例来诠释稳定性模型的应用。其中,相轨线分析法再次成为主角,它的意义在于:从图中曲线上直观地看出发展趋势,且特殊点对应的意义作出解释。 ! {( T: r$ C" P
( Y% L& [$ ? i( z0 y8 [
& s0 ]% X* ]+ H0 w+ |- K+ t
: ~% y$ H; `: X# F, _5 S, Y 第7章 差分方程模型
3 h, F5 a' a- \$ ^; W 关键词:差分方程稳定性 离散时段 差分阻滞增长 混沌
6 W( ~8 q# s4 W* C$ x& f 将时间离散化后,就可以建立与微分方程相对应的差分方程模型。这章与第8章讨论的是确定性离散模型。实际上有些问题既可以用连续,又可以用离散,要看目的而定。离散的一个优势在于,便于计算机求解。
+ a4 d9 M4 k' I
! t8 H7 @# h% k: ^7 B0 s* l; _6 s 7.5 差分方程简介: 介绍差分方程稳定性的知识,判别稳定的条件。本章要用到的知识。% |3 `- q9 m. f2 X B5 B' u
7.1 市场经济中的蛛网模型 + ]: q$ C; f4 o' F1 n9 `7 {
先用图形法建立市场经济的“蛛网模型”,给出趋于稳定的条件,再用差分方程建模,解释结果。本节开头的“问题前瞻、介绍”部分很经典,可作为建模论文写作的参考。 O- c% z4 V8 L# I; @, |# ^
本节最后对结果的解释也非常值得学习:启示我们,一些数学结果如参数前后的变大/变小,可能意味着什么,我们不要轻易放过,而是要时刻不忘解释相对应的原因。( X. t- E( T7 c: [$ a
7.2 减肥计划——节食与运动 ) C5 x& `! Y! L0 P9 U3 b$ |
这是一个很生活的问题,主要讨论如何把一个“超重”的人减到目标的正常范围内(均以WTO颁布的体重指数BMI 衡量)。
9 b" a y' w5 U 我认为这个模型的两点仍然在建模本身:及如何将减肥计划中“减肥”这一件事量化,用数学的语言可以表达,写出差分方程。其中p208的“基本方程”式(1)是整个模型的基石,有了此式后面的工作就可以往上搭建了。注意到,式(1)其实是一个“建而不解”的方程。
1 @2 f4 j. o' k: |( ]" L9 v 但正如节末评注中所述,实际参数的设置会更复杂,代谢消耗系数beta也因人而异、因环境而异,所以要有更多核对。但我们先要学习的还是建模这一步。
1 g( X. }4 h$ H' V) Z! b 7.3 差分形式的阻滞增长模型
( ?3 }3 Z0 I1 R 此节是与之前用微分方程Logistic规律描述的“阻滞增长”规律最好的对比。有时,用离散化的时间研究比较方便,本节是很好的参考。(按:本人曾经做过用差分方程加修正,描述人数传播问题,个人认为很多情况用差分方程更好,也更“诚实”些,因为我们也只是想要每个时段的数量)2 `1 L+ p" g- G0 S2 [% p
要注意的是:若用离散描述,需要说明各“时段”指代意义。推出p211的式(6)后,这个一阶分线性差分方程,也是“建而不解”,但注意:此处“不解”是指不需求通项公式,但各项的值仍要计算——用计算机递推可方便得到。我们最关心的往往是k趋向无穷时,y/x收敛情况,即平衡点稳定性的问题。这里微分、差分方程判别上有区别。- @" Z3 _, y0 {) b
P212中,通过深入讨论和213页的数据表发现,不同的参数b下收敛情况不一,然后发现了“倍周期收敛”的规律,即存在多个收敛的子序列。然后发现当n区域无穷时,不在存在任何倍周期收敛,出现混沌现象(Chaos)。
' [, f. f1 t9 {' Z+ p 混沌的特点为对初值极度敏感 ,这一点在物理课中老师也提到过,许多非线性方程均是如此,即“差之毫厘,失之千里”,蝴蝶效应。
2 [ X7 O+ S! q" \( K! H 7.4 按年龄分组的种群增长
6 I3 g- {: u0 I. G% A4 L5 e/ t 这个模型的主要区别在于:将种群分成n个年龄组,分析各年龄组对种群总量增减的影响。这一节的数学推导稍繁。
9 I1 |; Y( Z; s# y+ k
* @, K( t) L. p3 ]( Z ( _6 t' A% Y R# y0 v7 n
第8章 离散模型 - A; ^" ], P- ~7 m
关键词:层次分析 排名次 冲量过程 “分赃” 群体决策
( d* H9 M7 T# F1 o$ \2 P ?" C (本章是确定性离散模型 的应用、方法)
/ X1 Z B: d' V7 N
" i b6 h* J% v& p3 X
8.1 层次分析模型
1 ~$ j% a4 K$ m( ~! s, J% \0 H! | 社会经济系统分析工具。排名、评分评价,排等级都可以用层次分析模型解决,数学知识虽然不深,但是思想十分巧妙且合理,可扩展性也很好。关键在于1)“成对比较矩阵”的确定及修正,2)特征根法求权向量的原理(重要),3)1-9比较尺度(Satty等人提出),4)一致性检验。
+ A! v& A+ b6 k6 i% b8 Y
8.2 循环比赛的名次
0 V7 R/ n; B H2 ^5 i& } e' I9 \ 这节也是对一些排名评价“难题”给出一种经典解法:邻接矩阵+得分向量。转化为计算各级得分向量s、A最大特征根&对应特征向量s。按常理一般只会想到基于原邻接矩阵的1级得分向量,若比不出则停滞了;但若将i级乘回邻接矩阵,可以“发展”到i+1级得分向量——这个思想是本模型的关键,而且简单易用易理解。
% Y! e3 y/ p* p# D 对于所谓的“下一级”得分向量定义的原理依据,或实际意义,是此思想的关键,我觉得可以接受,看上去很有道理,但未想出具体的解释,这里欢迎指教、讨论。(p246)
# d& b7 g1 {1 L u/ k# F( I5 T& }0 _: Y
8.3 社会经济系统的冲量过程 ) N3 }7 Z# k& v' @8 b) r
区别于机理分析、统计分析,冲量过程与层次分析属于“系统分析”,是近20年来发展起来的解决复杂系统的有力工具。
2 i9 K8 H! I5 D7 J, ] 这节模型研究能源系统中,各个因素的趋势、预测问题。主要工具有:带符号加权的有向图,冲量过程(类比物理“冲量“概念)。其目的无非是研究系统的“稳定性”,以及如何“调整”到稳定。这是实际问题关注的。
& L* F7 y5 x9 G
8.4 效益的合理分配 9 @) @; o; p, x7 V
几方(大于3方)合作,已知不同子组合可获得不同收益,那么一起合作后,谁的功劳最大?也就是说,干完活后,如何“分赃”——这里是理性的、用数学推理的公平的“分赃”。
- K( D8 d) W, x; ^! _% s
本节介绍了3类方法:Shapley值,协商解等,Raiffa解。最后用一个3方分配例子对比了这3种方法。3种方法特点在p262。是客观求各因素权重的有力途径。
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8.5 存在公正的选举规则吗 ' B" [, `4 J7 E( R8 z) X* y
这一节类似第2章的“公平席位”。主要讨论的是“群体决策”这一类问题。
5 l( N$ n% P' Q9 N. x
首先是简单的选举规则。
7 ^5 F' B! Y* W! }2 ~* e- x# b* p 接着介绍Arrow K的工作:提出一组公理,却证明不存在满足这组公理的选举规则,但很具有启发性。
/ Q+ G: U9 C; U
然后是联合尺度选举规则,它是一个简单易行的规则(但是对投票情况限制了,才可能满足Arrow公理)。
: q( u4 c% ^ m$ w2 E& }
最后是一种与Arrow公理无关的规则——最小距离,这是一种类比思想,很巧妙地把公平转化为距离之和最小的最优化问题。
6 v7 i( b- q" Q$ x1 G
$ z& T6 Z& b* K- R) A# h5 x' \" \ x
5 |* j' i9 F" f6 F2 c8 ~
第9章 概率模型 4 ^" E3 }" g) z
关键词:随机模型 基础概率 生灭过程 数值解分析
' T+ l. M$ @4 S2 _4 ? 相对“确定性”模型来说,当随机因素的影响不可忽略时,就要建立随机模型。概率模型就是比较简单的随机模型,这一章用我们熟悉的概率分布、期望、方差等知识介绍概率模型怎样处理随机因素的。! T) x! @& p* x' t
关键点有:
/ V2 \, B4 G+ L+ N1 j4 c 1. 如何定义随机因素相关的量。针对一个实际问题,做好定义是开始工作的根本。5 x! V( k- Z N( k* e
2. 随机概率模型一般从离散角度(一个个时段)下手,但求解中为了需要可能会转化为连续(如p274的求和转化为积分)。
1 V$ S' [& l. w. V- X, S 3. 要灵活根据实际问题,决定哪些参数应设为定值,哪些参数会变(如9.4轧钢问题,重量服从正态分布中,均方差应认为是已知的定值,而均值是可以调整的)。
( _% S$ G1 u; _' g) e 4. 一般的“生灭过程”参考9.5的随机人口模型——相比之前的人口模型,这个更加一般,考虑的因素更多,更接近实际。+ E' z- s1 E% F; G! }$ Q
5. 有些模型无法解析求解,然而数值计算的结果已满足我们对问题进行分析的需要(9.6预订票策略)。7 z) @" \- N0 H: y
4 ]/ z) c2 H$ g% Z F+ a
; l) _( T+ `( k 第10章 统计回归模型
- Q0 P) z+ l. [ X6 @& m2 H- O 关键词:数据拟合 MATLAB 统计 残差分析 自相关 逐步回归
3 }7 |1 W1 N6 v7 o/ E4 c 对于有些内部规律复杂、无法分析内在机理的问题,我们建模、拟合的通常做法就是搜集大量的数据,用统计方法建立模型——统计回归模型。* h5 F2 c J8 }: }
关键点有:% h k; D6 j9 M, k$ v
1. 做散点图,大致判断函数趋势(比如有明显的线性增长),确定方程形式,待定系数。
' }1 n4 V6 l# d' n1 Y; o 2. 用MATLAB 统计工具箱regress拟合,得出结果;重点:如何由MATLAB 输出结果下结论(如置信区间不要包含零点,R^2、F)。
* _7 e+ G U3 Z0 A' D9 Q& i 3. (考虑实际问题制约)适当引入变量简化问题,如10.1中引入价格差(p297最后一段说明)。# X2 l7 P8 N) ^/ ?! |, m( Z
4. 利用好回归变量的预测(置信)区间。
( p8 @" @" ^# M& p$ V 5. 改进回归模型:逐渐考虑回归变量之间的交互作用——在方程中引入二次项、交叉项。若MATLAB 拟合输出信息表明有改进,则说明模型更符合实际。还可加上作图对比前后模型(p300)。% m5 g% L0 o9 B, b* R
6. 残差分析(p305,但这页我未看懂具体做法,待交流),及分析得出的结论,我们应该怎样改进模型。4 d* O$ M9 o1 m* t8 a: Y- v
7. p307评注内容:0-1变量法、残差分析法、异常值应剔除。& w2 H, S ^9 U Z+ a- D" ]
8. 线性化(p309),及非线性MATLAB 求解(p310);p315最后两段。) F& A8 Y6 }7 N
9. 自相关的考虑(10.4节):若存在自相关性(具有滞后性,即前期对后期有影响的时间序列),普通回归模型将失去意义。我们必须先检测是否存在自相关(D-W检验、广义差分法),同时注意若高阶自相关,则必须改进直至不存在自相关为止。+ @7 c( n) w" A. T: W# O. M
10. 逐步回归:因素较多时,排除次要因素,用来选择影响因素显著的变量。1 S4 g' `; K3 B
. x- |3 p% J: P {" d r$ W 4 a0 E6 ~ z! L4 N4 ^- b9 _* ^7 f
第11章 马氏链模型
# F# k2 A$ p* U2 H6 _1 T/ z% N 关键词:离散随机过程 无后效性 转移概率 状态选取
5 v8 j. `5 d* W
基本概念 & p, N, g' r/ f0 ^
这一章介绍了处理离散随机过程的重要工具——马氏链模型,及若干个应用。总体从浅到深,阐述了马氏链的主要思想。
/ \, L. |: f8 m- n" p9 l& ]8 g% X/ f' f 1. 无后效性/Markov 性: 系统在每个时期所处的状态时随机的,这个时期到下个时期状态按照一定概率进行转移,且下个时期状态只取决于 1)这个时期状态 2)转移概率,与以前各时期状态无关。
+ [& E2 u% _: I' C; E( C 2. 马氏链(Markov Chain) 模型通常描述: 已知现在,将来与历史无关,具有无后效性的,时间状态均离散的随即转移过程。
0 V1 U: b2 _2 b. Z/ I( B* `$ E 3. 一些确定性系统的状态转移问题也能用马氏链处理。
7 v/ h, O6 |6 W0 s8 { X $ C1 ]) }: ~) B2 D! U
一、健康与疾病
4 h( E: k5 N8 V9 |+ r# ^1 |8 y 主要介绍马氏链基本概念、要素: 系统的状态,状态概率,转移概率,马氏链基本方程,状态概率向量,转移概率矩阵。本章讨论时齐的(转移概率与时段n无关)马氏链。
^ N& l+ L' r4 _: Y; | 同时介绍2种主要类型——3 b' V! m7 y( }" j
1)正则链 :从任意状态出发,经过有限次转移都能达到另外的任意状态(如何判断是正则链、相应定理);6 }6 h7 T5 L+ h9 l5 e' l5 Z
2)吸收链 :首先引入吸收状态,顾名思义吧,就是某个状态的转移概率=1,即进了这个状态就出不来了,被“吸收”掉。 吸收链是(至少)存在一个吸收状态,使马氏链从每个费吸收状态出发,能有限次到某个吸收状态。
' d, a3 N1 H d 二、钢琴销售的存贮策略
+ @$ x! I9 u) F3 v! E: z! z 动态随机存贮。一个简化的存贮模型,关键是从中理解状态变量、需求量、转移矩阵的设置和求解。 判断转移矩阵P为正则链后,用公式求出稳态概率分布w,就是达到稳态后的情况,然后用全概率公式算出失去销售机会的可能性。 这个模型虽然简单,但却是动态存储马氏链的浅显易懂的好例子,其中结合实际问题具体分析是最值得学习的。
4 H7 c) s6 l, c! s: } 三、基因遗传
7 k+ v) z" C R 用马氏链模型研究遗传过程,关键是建模的过程——即选取系统的状态,这在“随机交配”和“近亲繁殖”中需用不同的设法。 随机交配过程推导的结果是 (p^2, 2pq, q^2) 分布将保持下去,即遗传学中的Hardy-Weinberg平稳定律;然而,近亲繁殖中,得到的转移矩阵发现是一个“吸收链”——即如果近亲结婚的话,若干代繁殖终将变成全是优种/全是劣种,并保持下去。这两个结论(虽然在理想化假设下)与我们之前的认识是很一致的,从中加深了马氏链的理解。
* Y5 E( b1 A* l6 u( z3 ?3 h& \ 四、等级结构
1 K e8 q; x+ M 这个模型是用马氏链研究一个群体中各个个体等级分布变化情况,目标是研究等级分布变化规律,假设总人数不变。然后用某种途径让群体等级分布达到想要的稳定状态。
, y% r0 n! p% y; C& i 重点在于变量的设置,以及还是状态设置、模型建立过程。 建模过后,先用“调入比例”这一现实中可控的量进行稳定控制,其中有“稳定域”的构造、分析。 然后是具体如何用调入比例,进行动态调节,实则转化为了一步步优化问题,动态调节的过程是一步接一步的,有重复循环的操作规律。这里也很好地体现了马氏链的“离散”特性,以及给编程创造了机会。4 ^8 l, A# u$ d5 T1 m2 C/ S+ m
五、资金流通 3 j+ b1 D: V( ?: p$ Q, |: V
基本与等级结构一样,一系列推导最后总结出步骤,先判断稳定能否达到,若能达到,则由公式算出每年应如何投放资金。 与等级模型不同在于:各地区资金进出可正可负;所有地区资金总和可以变化。. A* h% f8 j- I/ E/ k
6 G1 o3 I1 X( h/ P 第11章小结: ) R) v7 c, e- _4 {3 s* f
虽然只有短短5节,但是几个模型由浅入深,循序渐进,学习中有逐渐清晰的感觉。过程的推导复杂度适中,具体问题具体分析的思想很经典。这章算是马氏链模型的基础,虽是基础但案例、思想也足够典型,是今后解决离散随机过程很有力的工具。
8 E8 n0 ]: v# I% \2 ^
& L. ^" f; S) T6 R6 z. s6 n& D 第12章 动态优化模型
+ b$ [. p6 {# Y) [) t8 U 关键词:泛函极值 变分法 动态规划 最短路
2 h( L# Q5 A" ^8 s0 L/ ^ 基本概念 ) F! J+ ]0 u: u8 \* U- J
本章介绍动态优化,优化目标,虽然优化目标仍然是数值,但最优策略是一个函数。连续过程归结于求泛函的极值问题(几个模型中一直体现),方法有古典变分法、最优控制论。几个例子都是能用古典变分法解决的,而离散过程则用动态规划求解。# P8 ?* \9 B! i$ y+ i2 W. ]7 E
4 b+ _( w6 L6 W9 D8 c: Y+ T+ c: [
第一节先用“速降线”和“短程线”两个17世纪末的物理模型引出变分法基本概念,和后面要用的结果;同时介绍泛函、泛函极值概念。9 f, l5 c* M+ k Y4 q
这一章的数学知识、推导比较繁杂(尤其是对于没接触过泛函等概念的学生),2、3、4、5节(生产计划制订、国民收入增长、渔船出海、赛跑速度)均是连续动态优化的典型问题,许多都是归结于泛函极值的问题。尤其是“渔船出海”,实属一个经济学的典例,这个经济策略分析中再次很好地体现了数学技巧、实际问题结合的巧妙。
" X% m" p& t4 U U 第6节多阶段最优生产计划属于离散动态优化,用动态规划求解,转化为最短路问题,当中对最短路问题的算法做出了详细解释。 分别对确定需求、随机需求的生产计划制订方法给出了推导思路。$ ?8 d$ s7 `. h0 w' U& F% b
( k$ z" @) x' h, p8 \
+ k% y7 c; S2 d# b$ v
Z- }( K; i/ V8 g8 Q S; f) R$ }* I 一点自己的感想。笔记总结得不大好,但我的物理老师说过:做比不做强! 因此我只好硬着头皮小结了~ 望指教! , u; J& o; D3 e' s
2 ]3 B' m3 P1 i
自己的其他感想、学习心得, 欢迎交流 :
6 ?! }. z. [9 p, a4 c MCM论文精析课程小结——2012.5.20
9 E- w: k0 R7 u 点上希望的蜡烛——每年一度的聚会,记2012全国大学生数模竞赛
' I' Y7 h) S+ x |& j* [ 2013MCM, 平淡不平凡 7 v: l0 V0 ?$ c* p+ e+ x
8 |" \8 ^3 N/ ^9 E/ F' G \* r2 E" n* |
附: 感谢你认真阅读(或扫视)完这篇学习笔记性质的稿子,感谢你的兴趣,同时期待你能在建模学习中获得启发、更上一个台阶。对于短期/初期体验竞赛的同学,了解一些简单概念和思维,就像这本书中略读一些章节,再编一些经典的算法程序,是很好的敲门砖;对于长期学习建模的同学,固然要找机会夯实基础("内功"),也建议在学习过程中多思考,不仅是为了抓住知识的主干,更是为了发掘自己的兴趣,获得对自己今后读研、工作的启发。 " j* _5 ~) O# |4 P
本人现为一大四学生,在竞赛一线活跃度肯定不如各位,但之前的9次建模课题、4次竞赛的确给我帮助很大:开阔视野、团队合作、实际技术、责任意识。 知识学了就会有用的,不管是由于一阵没用而生疏,还是一直在加深印象。我一直相信这一点,并希望各位共勉,珍惜本科的时光,给自己多一些充实(英文中用"enrich"较合适)——因为不像金钱钞票或实物,这些知识能力、包括好的身体素质,是别人带不走的。6 A/ f9 C6 C6 }
——2013年12月20日 ( G8 x% o7 H4 g& g. y2 {+ w3 v
$ q- _1 g, v% h* K- I
$ Y0 i8 C7 {+ n (关于论坛体力 :如果是刚加论坛准备长期学习,而下载体力不够的同学,可以给我发信息/回复帖子/加好友,写明大概需要多少点(如50)及下载资料类型,我可以直接转给你 。 或者我记得可以用支付宝转账,好像1元对应30点;或者平时签到/分享帖子/写日志 都可以加不少(但不建议连续水回复一个帖子多次 )。)
( [7 h3 D, I8 I 1 _7 Q" g! O' j
回帖推荐
sdccumcm 查看楼层
今天决定比计划提前做完总结,本来晚上已经写好,但数学中国一直上不上,换几种网也是很卡,直到较晚才上。
粘贴上发表后,却发现板式很多地方不好,由于是用代码编辑的字体,所有标题都要重新设置一次。这里也想请教下各位有没有简便的方法啊(在数学中国写帖子的时候,设置字体格式,不用那个代码)。刚才反复看效果、改了10多次……
zan
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