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发表于 2017-4-14 07:43
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2017第十届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛第一阶段赛题发布:无体力赛题下载地址:www.tzmcm.cn
2 B# T8 v0 ?0 k3 L% |% g. @1 |$ O' t; m
5 L2 `# r' p' Z
& {9 X' j. b4 X$ x" V
A题 安全的后视镜
8 W) ]" F+ Q, B. @5 ^/ s% D( `2 T: T汽车后视镜的视野对行车安全非常重要. 一般来说, 汽车的后视镜需要有" v0 s: K& f0 f& e# C
良好的视野范围, 以便驾驶员能够全面地了解车后方的道路情况. 同时, 后视
; V6 E7 b8 L+ h: y8 e4 \0 B$ @镜也要使图像的畸变尽可能小, 以使驾驶员能够准确地判断距离.+ V9 N5 f% L5 Z% Q1 O+ D+ g8 R, U; U
如果汽车的后视镜使用平面镜, 图像没有畸变, 对距离的判断十分准确.9 P7 o4 q. _, q' x3 ~+ `, A
但是当镜面大小受限时, 视野相对较小. 如果使用凸面镜, 可以以较小的镜面0 ]: A, _# k* O( P& [/ C2 O
获得更加宽广的视野, 但是图像存在畸变, 很难准确判断镜中物体与自己的- A2 M3 o* _& [+ @! y {( l
距离. 有的镜面是由平面镜和凸面镜拼合在一起组成, 意图兼顾两者的优点." d+ e1 U: i2 G" F
但事实上, 驾驶员在观察后视镜时, 两者很难同时看清. 较受欢迎的做法是构
: F, `7 X$ }; Z造一个变曲率的后视镜, 使后视镜可以兼顾两者的优点, 也降低了观察和距2 p; p# v7 _: N' r- T6 r0 `9 |
离判断上的难度. 目前市场上有售不同设计的变曲率后视镜. 最常见的是一& Z& I2 T( ?, l) f: a
种双曲率后视镜, 内侧接近平面镜, 外侧则是一个凸面镜, 在它们之间进行了
! d9 J0 `3 a9 C4 M, M% T9 L平滑的过渡. 图 1 是两个例子, 为了便于驾驶员对距离进行判断, 镜中由虚线7 K, j, p( }6 k1 A5 D) C
或细实线示意了不同曲率的镜面间的分界线. 它们的具体设计有所区别, 性7 X; |2 a$ P b" ?. P( f5 H
能也会有所不同.
8 [1 G' V# V q9 ~! L第一阶段问题: 对典型的小型家用轿车而言, 共有三面后视镜, 左右车门的+ Q8 T) w% n8 I# |
外侧各装一面外后视镜, 车内正中还有一面内后视镜. 假设两面外后视镜都
1 s, ~( r/ P3 a1 U8 M) j$ g1 J设计成如图 1 所示的双曲率后视镜, 请你建立相应的数学模型, 对外后视镜; d; D; }; V8 y
给出优化的设计方案, 包括镜面的曲面外形以及分界示意线的位置. 并以一7 `1 T6 }( {8 ^! Z5 u3 P: z/ s
种现有的轿车为例 (可自选), 给出具体的计算结果, 镜面的轮廓可以沿用现有4 a# ~) {! M4 S H
的设计. 由于我们只做理论上的研究, 所以在设计时暂不需要考虑和遵循相- l( T- G. w& W/ ]7 u8 d" \) ~
应的国家标准.
2 f; {" S* G, F$ S3 E1
# P/ T6 j2 X& y图 1: 变曲率后视镜的例子; S; l8 F1 d& j4 {. g# }- [8 p2 y
- j, z! Q6 q' Z2 c
9 f6 P: k+ U# Q' t( {6 dB题 岁月的印记4 \ X: M4 H- N1 v# E9 \
对同一个人来说, 如果没有过改变面容的疾病、面部外伤或外科手术等经
( c- b- B& _% h1 F$ w4 t历, 年轻和年老时的面容总有很大的相似性. 人们在生活中也往往能够分辨
* e2 T) s$ `3 R* G9 Z, g. V出来两张不同年龄段的照片是不是同一个人. 当然, 年龄段相差越大, 识别起3 ^! y3 ?& x8 @) s: ~) Q! s0 F
来也就越困难.3 R/ z. y; r! J6 S( h* w' b. r
第一阶段问题: 请你建立合理的数学模型, 当我们给出两张不同年龄段的面
# L, w& b# D* ?" f( c部照片时, 可以通过算法来自动识别是不是同一个人. 为简单起见, 我们可以
! }8 k9 w7 N; h- B# F假设两张照片都是标准位置和标准光线下拍摄的, 例如都是一寸证件照.' @+ U/ E( ^' X! N; t
6 X, s# a" b+ e) E0 Q+ X" m/ d" z: D. e' w! [' C
C题 移动端考研产品的春天真的到来了吗?. P! r" m1 \0 q* J
2017 年的全国硕士研究生招生考试共有 201 万人报名参加,比去年增加9 F. B: t1 y0 y2 M
了 24 万名考生,增加 13.56%。看起来新一轮的考研热潮即将到来,而考研教+ e3 p$ z; M3 `* d! K4 f
学和培训的市场也发生了巨大的变化。移动互联网时代的到来,使得许多考6 S& D8 @5 p* d$ Y7 c
研教学活动转移到了手机等移动互联网平台。现在的线上学习市场中,纷纷
2 v' A& [1 [: B7 ~$ f, T3 z涌现了依托于移动互联网的产品,如教学 app,手机题库,单词本,错题本或
% n! G) F5 U3 W2 S; @: L依托于现有移动端视频平台的直播课程等。移动端产品的使用人数较 PC 端# K. C9 z- H! V: f5 C/ V
更高,使用时长更长。国内某知名考研网站为了深入了解移动端考研产品的( ^3 i; M4 y0 X3 [3 J- ?4 l
市场占有率和发展趋势,开展了网上问卷调查,问卷格式如附件 1 所示。共收5 @) e2 `1 E6 w1 h
集有效问卷 38182 份,我们从中随机抽取出 10000 份样本形成了附件 2。请
% Z1 T* _4 O6 R6 F" y; u3 h: t你建立合理的数学模型解决如下问题。$ ]" W4 j, _% p+ X: c+ A- a m; p$ z
第一阶段问题:
( }* ]1 q7 F M k+ J! @$ q$ f1. 请依据附件 2 中的数据进行数据挖掘,找出影响移动端考研产品发展! N: [2 G3 ]# @: V7 ~+ C& |! S. @
的主要因素。
0 ~8 S$ q+ [8 W3 Z2. 请估计移动端考研产品的合理价格区间,预测移动端考研产品的潜在 {9 r* |! D- C, q
市场占有率。! c% {- f% l9 ` g$ Y9 `
3. 请选择一个高校相对较多的城市作为研究对象,充分考虑经济、社会
' q" R; ?0 o+ I" o+ ~4 @1 `情况和考研教育的特点,评价移动端考研产品投放的可行性。- }+ F. i0 L0 ^7 s
7 n' @: \/ I: YD题 教室的合理设计
2 [8 f% A" m1 f! L5 [: h(本题仅限中学组和专科组选用)
- }1 `3 H! w0 z1 v4 F% v某培训机构租用了一块如图一所示的场地,由于该机构开设了多种门类( Q' p- v" X$ y7 e2 z# h
的课程,所以需要将这块场地通过加入一些隔墙来分割为多个独立的教室和
. q# q' S% x. @ O9 \# o+ _活动区。请你建立有效的数学模型,为该机构完成合理的教室设计。对设计
U! j5 T: Q' B& r2 v分别提出了三项要求,分列在下面的问题中。 2 i- l+ O& U" S9 A
第一阶段问题:+ S* A n8 ?2 L9 f
1. 需要分割出 4 个能容纳至少 30 个座位的教室,2 个能容纳至少 4 个* X* F/ a, V _ g- w2 P8 B
座位的接待室,不少于 10 平方米的储物空间,不少于 10 平方米的休息区,不% P! W q; W3 _; I) l6 A c2 d5 t
少于 5 平方米的前台接待区。教室之间,教室与接待室之间的出入不能相互
+ m6 o) i1 Y; u) C0 |( I' ~影响。假定每个座位占用的空间为 0.8 平方米,每个教室的第一排和黑板之7 U- b' N% a' P# D. r
间的距离不能小于 1.5 米。门的开关需要占用 0.6 平方米。为了简单起见,在* r3 r2 ]( k9 Z& ^
设计中可以忽略墙占用的面积。
6 @2 T, d I1 s: {4 u2 H8 p0 y2. 在要求 1 的基础之上,考虑让教室能容纳的座位数尽可能的多。
5 W3 f* O" r R* [9 s0 R2 f/ `3. 在要求 1 的基础之上,考虑分割出尽可能多的能容纳 30 个座位的教% ]$ |& o0 `+ I, ^
室。) h, y6 ~+ ~9 m7 h+ P
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