为什么离散的度量空间到任何一个度量空间的任何映射都是连续的？

ab_extra

这个是点集拓扑讲义习题中的一个证明题，是第三版的50页。

* r( y' W+ _: {# |- u; t: o问题是离散的度量空间中的点都是孤立点，它映射成的函数应该是一个一个的点，即点函数，如何连续？
. p: p  J% z% [) R% n- B请高手点拨。

dushichuanxing

设X为离散的度量空间，Y为离散空间，f为X到Y的一个映射。要证f连续，只需证对于Y中的任一开集C的原像A也为开集即可。易知A为X的一个子集，下证X的任一子集A均为开集。设A为X中一些点的并集，由于X为离散度量空间，故对A中任何一个点x，都存在一个delta_x>0，使得d（x，y）>delta_x对X中任意点y成立。每一个B（x，delta_x）均为开集，将它们都并起来也为开集，而它们的并集即为A，故A为开集，得证。

ab_extra

dushichuanxing 发表于 2012-7-12 12:27
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你说的这个我知道，但我疑惑的是这个连续映射的概念和一般（比如高等数学中）的连续映射的概念不一样？那里的连续函数的定义域必须是连续的。而这里离散的点作为定义域，按照上面你证的那个是连续的，但和之前说的那个不一致，感觉难道两个连续的意思不一样吗？

dushichuanxing

我觉得这个地方不要用直觉去理解，数学当中有些东西其实是和直觉不一致的，如果按照你上面说的是不是对于离散的点作为定义域的情况就无法定义连续这个概念了呢？高等数学当中处理的的确多是定义域连续的情况，但这里在度量空间中处理的是更为一般的情况，对于离散的点作为定义域的情况也可以定义连续的概念，而这个概念在点集拓扑中都是使用开集来刻画的。书的48页也提到了“度量空间之间的一个映射是否是连续的，或者在某一点处是否是连续的，本质上只与度量空间中的开集有关”。所以可以把这里的用开集刻画的连续概念看成是高等数学中连续概念的一种推广。