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- 王彦会,男,爱好数学,研究哥猜等素数问题多年。
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(对必然性证明的补充)
为何只有素因子完全相同,才会使2个数列中的素数合数正好交互出现?
这个证明如下:
令X=N(N+1)-5,Y1=4X+1,Y2=4X+3,当Y1=4X+1某项能被P整除时,记为Y1=4X+1=PX,而对应的另1个数列的对应项为Y2=4X+3=PX+2则不能被P整除,若2数列素因子完全相同,记为Y1=4X+1=P1*P2*P3*……*PX+A,Y2=4X+3=P1*P2*P3*……*PX+A+2,显然对应项除以相同因子余数不能同时为0,
则不能同时为合数,素数合数交错出现,但也可以同时为素数。
(补充:由于合数周期性的规律出现,在2个数列中的相位不同,就是节拍不同,尤其在1个数列中有连续素数出现的时候,另1个数列中的连续素数的节拍是不同的,若对应项不是连续合数,就可能出现素数对,换句话说,在某1数段,由于节拍错位,2个数列中的素数个数之和与合数个数之和是不相等的,不可能合数和素数正好完全交互出现,且此时合数对不允许出现,多余的素数与另1数列中的素数构成素数对是必然的,也就是在此数段素数个数之和大于合数个数之和,尤其在数列的初始阶段素数密度相对较高,素数对存在是必然的。)
还有1种情况,设2数列有同1个素因子P1,若在上1排数列的1个周期内有2项能被P1整除,下1个数列在对应的1个周期内可能只有1项能被P1整除,由于节拍错位,上下排数列能被P1整除的项不会对应在一起,若周期大于3,剩余项就可能构成素数对,这种情况是必然存在,也是素数对存在的重要原因,若P1是数列中的1项则若与它对应的是素数,也可以构成素数对,也是成为素数对的1种情况。更本质的原因是,由于上下排数列的合数个数不同,导致上下排素数个数不同,1个素数因子在1个周期内最多占4个合数位,由于素因子大多不是连续的奇数,差大于等于4,且合数有许多是因子多于2个,这样的合数会占位重合,所以增加素因子,素数位不减少反而会增加,上下排素因子相同时,由于对应项不能为合数对,而2者周期相同故同1周期内总是上下排素数个数之和多于合数个数之和。
对于所有这样的数列总体来说,更本质的原因是,由于上下排数列的合数个数不同,导致上下排素数个数不同,1个素数因子在1个周期内最多占4个合数位,由于素因子大多不是连续的奇数,差大于等于4,且合数有许多是因子多于2个,这样的合数会占位重合,所以增加素因子,素数位不减少反而会增加,上下排素因子不同时,除了对应项为合数对外,剩余的项在同1数段总是上下排素数个数之和多于合数个数之和,所以孪生素数对必然存在。
如下面这2个数列:
Y1=(N+3)(N+2)-5=7,15,25,37,51,67,85,……
Y2=Y1 - 2 = 5,13,23,35,49,65,83,……
在上一排能被7整除的项在1个变化周期内只有1项,而下1排对应周期内有2项,且3项都不是对应项,剩余项都可能产生素数,如13,15,而15 是3*5,若是素数就是素数对,而5,7是1对孪生素数,因为7虽然能被7整除而本身是素数。
再看下面这个例子:
Y1=(N+1)(N+2)-3=3,9,17,27,39,53,……
Y2=Y1-2 = 1,7,15,25,37,51,……
上1排在1个变化周期内能被3整除的有2项,下1排在对应周期内只有1项,且3项都不是对应项,由于周期为3没有剩余项,虽然各数列都含有素数但不能形成素数对。所以,上面的公式P1必须大于3,这是1个重要条件!
再看下面这个例子:
Y1=(N+1)(N+2)-3=3, 9,17,27,39,53,……
Y2=Y1+2 = 5,11,19,29,41,55,……
上1排含有素因子3,下1排没有素因子3,所以,上一排有某素数P1,而成为后面项的因子时,下1排可能不含有该因子。故2数列素因子不会完全相同。
由于素因子是越来越大,每个周期中只有2项能被该因子整除,素数项永远存在,不可能全部为合数项,则据上面规律在这样2个数列中素数对永远存在。
所以孪生素数必然存在。若出现1个不同的素因子,则情况被破坏,就可以出现同时为合数的情况。
设Y1=4X+1=P1*P2*P3*……*P*Q1X1+A,Y2=4X+3=P1*P2*P3*……*P*Q2*X2+B,
由于Q1≠Q2,则能被Q1整除的项和能被Q2整除的项循环出现周期不同,2者大部分情况不会正好是对应(相同位置),可以有某点相同,所以对应的情况是少数,而当刚开始出现合数对时,孪生素数对比它反而是多数,若某点出现合数对,则可以周期出现。
(补充:合数对的出现,可以大量抵消合数,使合数稠密度对素数对的影响减少,合数的出现是周期性的,规律的,不影响素数对出现的可能性,则必然性增大。剩余的数对不会再有合数对,同时素数密度相对提高了,由于2数列的素因子不完全相同,合数的出现周期不同,同样,在某1数段,素数个数之和多于合数个数之和,素数对存在。事实上说白了,正是素数的不规则出现,才使它与周期性的非常规律的合数,不能正好在2个数列中完全交互出现,使素数对存在成为必然。而素数的不规则性,是由于在2个数列中,素数因子不完全相同造成的。因为在同1个数列中,素数和合数的位置是互补的,当1个位置出现素数,不可能再变成合数。)
若对应项同时不能被P1,P2,P3,……P,Q1,Q2整除,则对应项成为素数对,就是说,这就证明了,不是仅不能否定素数对的可能性,而是确定素数对是必然存在的,且只要素数在2个数列中是无穷多,素数对将无穷多!
( 综合上述,说了这么多“必然性”,不是越描越黑,而是越描越白,越辨越明!)
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