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请教王树禾教授

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张彧典        

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    [LV.2]偶尔看看I

    自我介绍
    从1979年开始,潜心研究世界数学名题四色问题的人工证明,去年由科学出版社出版了《四色问题探秘》小册子。

    群组学术交流A

    发表于 2014-5-31 12:02 |显示全部楼层
    |招呼Ta 关注Ta
    王树禾教授在他的《图论》(2004年出版)第99-100页中,有定理5.6的证明,8 w+ B" `5 {, i/ k" K7 ?8 r
    现在转载如下:
    8 w/ h8 T5 M. E: y0 s0 U3 S" q5 w
    定理5.6 (Wernicke 1904){5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。
    2 R1 ^% J+ F$ h
        证明:令T是一个不含二次、三次和四次顶的三角剖分。我们约定,开始时K次顶所带电荷
    1 D8 h0 d6 H- B为6-K,由定理5.5,T上各顶总电荷为 ∑(6-K)Pk=12,其中Pk是k次顶的数目,,而K≥5.
    4 n3 E- e, x9 x0 w
                                                    k ) z2 _. z5 a/ C5 M8 C: u
        把带一个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的相邻顶输送1/5个电荷。
    # [2 A) l3 u- ]$ u+ v! a3 M0 g/ D    如果不存在5次顶与5次顶或者5次顶与6次顶相邻的想象,每个5次顶必有5个开始带负电荷
    8 P& I$ O/ N3 D6 I4 I0 f6 c的相邻顶,即5次顶与7次以上的顶相邻,最后5次顶上的电荷变成0.

    * e8 B0 n: i# j5 x9 x& U    考虑K≥7的顶,即使这种顶的相邻顶都是5次顶,这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的! |5 d1 A* Z# V8 N  R, S( z
    总电荷为
    & \# [, O; v' p& n                  (6-K)+ K/5=6+K/6-K=(36-5K)/6<0,     【我把这个算式记为(1)】6 n. p' T! z4 t
    于是T上的总电荷量是负的,不是12,矛盾。证明{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是/ H" B( |% z% h
    不可避免集。
    - Y8 ], ?9 X( ?: |4 y! i6 b[证毕]
    6 a+ d7 r3 p' \* h2 |, P+ z4 [: Y$ R/ L3 g/ U% m7 `" g  J! }
        在以上证明中我们发现, (1)式第一个等号前后数字5和6不一致,

    $ P# ^: c. \% j2 u) e) f' K# [( o    如果(1)式中的分母都是5的话,(1)式应该是
    1 T, l6 ]$ l/ L; M; V! |3 p0 p      (6-K)+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 ,只有当K大于7时才有(1)< 0,这又表明开# q0 V( q3 Y  Y+ ^3 j- j' O
    头“考虑K=7”有问题了。! r% S0 r: ~% [) n' l
        [ 野花回复:应该是 k/6 ,]
    * ?. {  ?/ y4 Z- E' q) i, q      如果确定是k/6,那么(1)式为
    % H5 h& X, ^5 p( s5 y   (6-K)+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6<0,其中
    " G$ @) f1 A2 Q% C0 z* H5 ^    把k=7带入(36-5K)/6时,得2 b/ ^# k) J1 j, C( ^
        ( 36-5x7)/6=1/6>0,显然与(1)式的值小于0矛盾,所以说明开头所设应该为k>7# K# z2 O  p) y: g" F9 z$ o
    才对。但是这样一来,定理5.6中的构形就不是两个而是三个了。

    % a6 E; s- [' Q* w2 z7 z& s4 |4 h5 C: }4 d# m* e, t
        那么(1)式究竟是什么样呢?是不是:9 }0 n3 t, b& w
         (6-K)+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 1  (1-1)
    3 D3 q7 q: X4 {1 w5 p: p( I或者+ C  S; e$ r, U3 ]& M) }
        (6-K)+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6 < 1, (1-2)/ T. h0 P7 J; z' ^  Q8 c' W& T
    因为只有在这两种情形下,所设K≥7才有意义。 ' D- W: I& ]5 E2 j6 E8 Q0 S2 w7 {; r
        如果千真万确 是
    (1-1) 或者(1-2)  的话,对于(1)式,我们可以仿照证明定理5.6的思路:, H8 y" b% w& r, F6 V
        考虑K≥6的顶,即使这种顶的相邻顶都是5次顶,这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带
    6 ~  E$ x4 `' {1 @5 l的总电荷为
    ' m& Q. x; \9 H) a  f
                (6-K)+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 2   % r8 P6 a; i; y6 d) v) @
       或者
       (6-K)+ K/6=6+K/6-K=(30-4K)/6 ≤ 1,+ W# f' ~" N$ d9 c2 E: B9 a
       于是T上的总电荷量< 2 ,不是12,矛盾。证明定理5.6中只有第一种构形就够了。
    1 N0 v! Q" z2 L- l1 H& R   这是因为,比较考虑“K≥6”与“K≥7”的证明,只是前者比后者多考虑了K=6的情形,由于
    ; w& t& T) v( ^- N* k6次顶是中性的,它既不需要发出电荷,也不需要吸收电荷,所以可以完全不考虑它的存在,即没有, m4 W. I) G9 e4 ~
    必要考虑5次顶与6次顶相邻的构形了。

    ( }/ M! j3 f: N# v# L9 q     如果这个仿照证明成立的话,就说明我在《数学学习与研究》2011(21)发表的《与阿/ a3 k2 z6 G& H
    沛尔-哈肯证明四色定理商榷》文中的分析是正确的。(在我的搜狐博文《 Wernicke   第四不可. v% ~, [- V9 E9 F+ W
    避免构形的简化》中有所修改)。

    0 S. ~/ y4 b) I6 r+ s    我的认识对不对,请王教授指导.% I2 z, X: ~$ `8 D# H
                                                                         2014.04。098 t& L7 b$ E3 J
       [野花回复:从这段内容看,此教材太差劲了!!!]
    7 a' f1 o  E# r; w% R/ L( G7 {0 w4 ~' a/ x" i7 v
    ) h- L0 k: A  [7 ~$ Y4 A
    zan
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