试证四色猜想

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试证四色猜想

摘要：对每一幅正规地图的四着色，作者另辟蹊径，采用独特的思维方式和研究方法，找到了恰当的切入点，利用肯普定理、数学归纳法和反证法等，严谨、简明地证明了四色猜想。

关键词：四色猜想；肯普定理；数学归纳法；着色模式H；捆绑法；反证法

一  四色猜想

画在一张纸（或地球仪）上的每一幅正规地图，只需四种颜色，就能使有共同边界的国家着不同的色（正规地图有三条限制：1，每个国家必须连成一片；2，两个国家的共同边界必须是条线，而不能是一点或一些孤立的点；3，没有一个国家包围其它国家，也没有三个以上的国家相遇于一点）。

二  背景简介

画在一张纸（或地球仪）上的每一幅正规地图，国家个数n∈N﹡,随着n值增大，做“四色”研究一直是令人头大的事。1976年，美国数学家利用计算机证明了四色猜想，但不少数学家称机器证明如一本电话簿等，其正确性深受质疑。对于书面证明，从1852年问世至今，对国家个数的值推进有限，未彻底解决，一直在挑战人类智慧，它与费尔马大定理和哥德巴赫猜想一起，成为了世界近代三大数学难题。纵观国内外对四色猜想的研究，160多年来，或用传统的方法，或用一些新方法，几乎要转化为与其相关的等价命题，并建立一套较完整的理论，不少“证明”是十分繁难的长篇论著。在国内，对四色猜想的研究持续进行，欲力图破解，为国争光，使得有的人把一生都奉献于此，甚至有的官科还得到了国家自然科学基金等资助。但由于种种原因，迄今为止，还没有证明得到国际数学界普遍承认，其深层次问题恐怕是由于选择的方法“法力”有限，导致其繁难程度不可想象。科学是求实的，数学科学更是严谨的。

三 引理

引理1  在每一张正规地图中，至少有一国具有与两个、三个、四个或五个国家有共同边界，不存在每个国家都有与六个或更多个国家有共同边界的正规地图；也就是说，有一国与两个、三个、四个或五个有共同边界的国家组成的一组“构形”是不可避免的，且每一张正规地图至少含有这四种构形中的一个。

引理2  若一张正规地图含有两个、三个或四个构形，则四色猜想成立。

引理3  以某C国为中心，设与C有共同边界的国家个数为m，对这m个国家着色，若m是偶数，则用1与2相间着色；若m是奇数，则用1与2相间着色，最后一国着色3。把这种关于与国C有共同边界的国家的着色的模式记为H，简称为着色模式H（1、2、3、4为颜色代码，不会混淆。引理1、2由肯普提出并证明，肯普在证“五个”构形中被赫伍德指出是错的，且无法弥补。引理3实为圈着色最优原则）。

四 证明四色猜想

证明：众所周知，对画在一张纸（或地球仪）上的每一幅正规地图着色，要使有共同边界的国家着不同颜色，四种颜色是必需的。下面给出其严谨、简明的证明，涉及的示意图集中附于文后。

Ⅰ若这n﹙n∈N﹡﹚个国家是连成一片的。

由引理1和引理2知，对含有两个、三个或四个构形的情形肯普已证明，故，欲证四色猜想成立，只需证“五个”构形符合四着色要求即可。下面就来证明它。

（1）当n=12（不能小于12）时，每个国家与自身有共同边界的国家个数恰好都是5，与“中心”C国有共同边界的有五个国家，其外围的国家数依次是5、1，如图一。对这12个国家着色，根据引理3，先构建关于中心国C（可任取）的着色模式H,把前四个国家用1与2相间着色后，第五个国家着色3；其次，缘着着色模式H，按符合四着色要求向外围的6个国家逐个着色；再次，C国着色4。这时，四色猜想成立。

（2）假设n=k（k∈N, k≥12）时，四色猜想成立，且是在满足引理3的着色模式H下，并按（1）的程序和要求对地图完成四着色。也就是说，在具有“五个”构形的地图上任取一国C作为中心国，根据引理3构建关于C的着色模式H，类似（1）分三步对地图完成四着色。例如，不妨取一个与自身有共同边界的国家个数是五的C国作为中心国，对这五个国家，前四个国家用1与2相间着色，第五个国家着色3，构建着色模式H；其次，缘着着色模式H，按符合四着色要求向外围的k-6个国家逐个着色；再次，C国着色4。如图二，且都符合四着色要求。

那么，当n=k+1时，因在“五个”构形中，每个国家与自身有共同边界的国家个数都不小于5，故，可任取两个有共同边界的国家，将其视为一个国家E ，这时，与E国有共同边界的国家个数仍不小于5。否则，在这两个国家中必存在与自身有共同边界的国家个数小于5，这与“每个国家与自身有共同边界的国家个数都不小于5”矛盾（如图三）。这样处理后的国家个数是k，仍满足“五个”构形的条件与归纳假设。故，不妨先取一个与自身有共同边界的国家个数是五的T国，再取一个与T有共同边界的A国,将其视为一个国家O。根据引理3，构建关于O的着色模式H，当m为偶数时（与A国有共同边界的国家个数是不小于5奇数），第一步着色同引理3，第二步着色与归纳假设的第二步着色方法类似，第三步，对O国即T与A着色，分别着色3、4即可，符合四着色要求，如图四。当m为奇数时（与A国有共同边界的国家个数是不小于6的偶数），一般可顺利着色，若遇到T与A中有一国“无法着色”（如图五），本质上是着色模式的换色处设置不当所致（仅示意图五这几个国家也无法着色）。事实上，可通过调整着色模式予以解决，见图六。与T、A有共同边界的国家个数前者是5（含A），后者是不小于6（含T）的偶数。以A为中心国重新构建着色模式H，H的着色是1与2相间，T不妨着色1，将原模式中余下的两个国家中的任一国与T视为一个国家，这时国家个数是k。根据归纳假设，第二步和第三步着色都符合四着色要求，且把A着成与原模式中最后余下的一国同色，但不能是1或2，因与原模式中最后余下的一国有共同边界的国家已着色1与2，故，A不妨着色3。随后将T换为色4，仍符合四着色要求。这就是说，当国家个数n＝k+1时，四色猜想也成立。到此，归纳完成。

Ⅱ若这n（n∈N，n≥2）个国家不是连成一片的。

这时，这幅地图的n个国家至少由两片组成，且每一片的国家个数（至少有一个）和位置关系无论怎样，根据Ⅰ的论证每一片的国家着色都符合四着色要求，即四色猜想成立。

综上所述，对国家个数为n（n ∈N﹡）的每一幅正规地图，四色猜想都成立；且成为四色定理（四川省岳池县白庙职中 陈陶）。

    附：证明示意图(图粘不上，抱歉。在百度或360输入“出师表大叔，巧证四色猜想”，进入博客即可见图)
  注：本文今上午投稿中科院《科学智慧火花》，先前所投的《巧证四色猜想》目前仍处于处理中（已近10个月）。

                                2014年11月4日

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wenxinzi

谢谢楼主，脑洞大开