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简证四色猜想

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    [LV.7]常住居民III

    自我介绍
    倾情数学,致力创新。

    社区QQ达人

    发表于 2015-1-29 20:36 |显示全部楼层
    |招呼Ta 关注Ta
    简证四色猜想
    摘要:对每一幅正规地图四着色,作者另辟蹊径,采用独特的思维方式和研究方法,找到了恰当的切入点,利用德.摩根定理、肯普定理、数学归纳法和反证法等,严谨、简明地证明了四色猜想。
    关键词:四色猜想;德.摩根定理;肯普定理;数学归纳法;着色模式H;捆绑法;反证法
      四色猜想
    画在一张纸(或地球仪)上的每一幅正规地图,只需四种颜色,就能使有共同边界的国家着不同的颜色(正规地图有三条限制:1,每个国家必须连成一片;2,两个国家的共同边界必须是条线,而不能是一点或一些孤立的点;3,没有一个国家包围其它国家,也没有三个以上的国家相遇于一点)。
      背景简介
    画在一张纸(或地球仪)上的每一幅正规地图,国家个数n∈N﹡,随着n值增大,做“四色”研究一直是令人头大的事。1976年,美国数学家利用计算机证明了四色猜想,但不少数学家称机器证明如一本电话簿等,其正确性深受质疑。对于书面证明,从1852年问世至今,对国家个数的值推进有限,未彻底解决,一直在挑战人类智慧,它与费尔马大定理和哥德巴赫猜想一起,成为了世界近代三大数学难题。纵观国内外对四色猜想的研究,160多年来,或用传统的方法,或用一些新方法,几乎要转化为与其相关的等价命题,并建立一套较完整的理论,不少“证明”是十分繁难的长篇论著。在国内,研究四色猜想持续进行,欲力图破解,为国争光,有的人不惜将一生都奉献于此,甚至有的官科还得到了国家自然科学基金等资助。但由于种种原因,迄今为止,还没有证明得到国际数学界普遍承认,其深层次问题恐怕是由于选择的方法“法力”有限,导致其繁难程度不可想象。科学是求实的,数学科学更是严谨的。
    引理
    引理1  不可能有五个国家处于这样的位置,其中每个国家都和其余四个国家相邻(德.摩根定理。邻国,即有共同边界的国家)。
    引理2  在每一幅地图中,至少有一国的邻国个数不大于五(肯普定理)。
    引理3  C国为“中心”,设C的邻国个数为m,对这m个国家着色,若m是偶数,则用12相间着色;若m是奇数,则用12相间着色,最后一国着色3。把这种关于C国的邻国的着色的模式记为H,简称为着色模式H1234为颜色代码,不会混淆。引理3实为“圈”着色最优原则)。
    证明四色猜想
    证明:众所周知,对画在一张纸(或地球仪)上的每一幅正规地图着色,要使相邻国着不同颜色,四种颜色是必需的。下面给出其严谨、简明的证明,涉及的示意图集中附于文后。
    Ⅰ若这n﹙n∈N,n≥1﹚个国家是连成一片的。
    ①在这n个国家中,若不存在邻国个数小于四的国家,即每个国家的邻国个数都不小于四。由引理1知,满足这个条件的国家个数不小于六。
    (1)当n=6时,每个国家的邻国个数恰好都为四,其中,“中心”A国有四个邻国,与这四个国家都相邻的是R国,如图一。对这六个国家着色,根据引理3,先构建关于A国(可任取)的着色模式H,把A国的四个邻国用1与2相间着色;其次,缘着着色模式H,按符合四着色要求向外围的国家逐个着色,外围国家只有R国,着色3或4;再次,A国着色3或4。这时,四色猜想成立。
    (2)假设n=k(k∈N, k≥6)时,四色猜想都成立,且是在满足引理3的着色模式H下,并按(1)的程序和四着色要求对k个国家完成着色。也就是说,在这幅地图上任取一国作为中心国A,根据引理3,构建关于A的着色模式H,模式中的国家个数是奇数(不小于五)或偶数(不小于四)(这是因为每个国家的邻国个数都不小于四),如图二、图三,类似(1)分三步依次对k个国家完成着色,且都符合四着色要求。
    那么,当n=k+1时,因每个国家的邻国个数都不小于四,故,可任取两个相邻国家P和Q,将其视为一个国家E ,这时,E国的邻国个数仍不小于四。否则,在这两个国家中必存在邻国个数小于四的国家,这与“每个国家的邻国个数都不小于四”矛盾(如图四)。这样处理后的国家个数是k,仍满足相应的条件与归纳假设。由引理2知,满足每个国家的邻国个数都不小于四的条件的正规地图,必有一个国家的邻国个数是四或五,故,不妨取两个相邻的国家P和Q,且P的邻国个数是四或五,将其视为一个国家E,构建关于E的着色模式H。若E的邻国个数是不小于四的偶数,根据归纳假设,k个国家符合四着色要求,且P和Q不妨着色3。将P换为色4,k+1个国家也符合四着色要求(如图五)。若E的邻国个数是不小于五的奇数,一般可顺利着色,如果遇到P和Q中有一国“无法着色”,本质上是着色模式的换色国的位置设置不当所致(仅示意图的几个国家也无法着色),如图六,可通过调整着色模式予以解决。事实上,ⅰ,若P的邻国个数是四,则Q的邻国个数是不小于五的奇数(含P),将原着色模式中着色3(或4)的国家和P视为一个国家,新构建关于Q的着色模式T,不妨P着色2,如图七,根据归纳假设,k个国家符合四着色要求。这时,原模式中余下的一国显然只能着色3(或4),不妨Q也着色3(或4)。将P换为色4(或3),k+1个国家也符合四着色要求。ⅱ,若P的邻国个数是五,则Q的邻国个数是不小于四的偶数(含P),新构建关于Q的着色模式T,不妨P着色1,如图八,将原模式中余下的两个国家中的任一国和P视为一个国家,根据归纳假设,k个国家符合四着色要求。这时,原模式中最后余下的一国显然只能着色3(或4),不妨Q也着色3(或4)。将P换为色4(或3),k+1个国家也符合四着色要求。这就是说,当国家个数n=k+1时,四色猜想也成立。到此,归纳完成。
    ②在这n个国家中,若存在邻国个数小于四的O国。
    1)当n=12时,四色猜想显然成立。
    2)假设n=k ( kN, k≥2)时,四色猜想都成立。
    那么,当n=k+1时,暂不考虑O国,对其余的k个国家着色,根据归纳假设或①的论证(即除O国外,无论是否有邻国个数小于四的国家),其着色都符合四着色要求,又因为O国的邻国个数小于四,所以,O国的邻国着色不超过三种颜色,从而,O国至少可用第四种颜色着色。这就是说,当n=k+1时,四色猜想也成立。到此,归纳完成。
    Ⅱ若这n(n∈N,n≥2)个国家不是连成一片的。
    这时,这幅地图的n个国家至少由两片组成,且每一片的国家个数(至少有一个)和位置关系无论怎样,根据Ⅰ的论证每一片的国家着色都符合四着色要求,即四色猜想成立。
    综上所述,对国家个数为n(n ∈N﹡)的每一幅正规地图,四色猜想都成立;且成为四色定理(四川省岳池县白庙职中 陈陶)。
        附:证明示意图(《简证四色猜想》和《试证四色猜想》的图粘不上,抱歉。在360或百度输入“出师表大叔,巧证四色猜想”,进入博客可见图,两文前几天提交中科院《科学智慧火花》,原《巧证四色猜想》仍在处理中,已近10个月。)
                                                             
                                                                                                                        

    & e& A3 g& r1 C

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    gwc1995824  啦啦啦~~~我是默认签名(*^__^*)  发表于 2015-2-2 21:49
    zan
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