哥德巴赫猜想和孪生素数猜想的证明

wangzc1634

哥德巴赫猜想和孪生素数猜想的证明

任何人都知道：数学证明都须要定理，而该题没有现成的定理可用，我们要证明它必须首先推出必要的定理。定理，指固定不变的原理，必须具备的条件：推导要正确，经得起检验，无一例外。其实，证明不是主要目的，目的在于扩展数学知识，研究相关内容。

本文的证明方法：最低底线。如果，没有突破最低底线的偶数，说明证明方法是正确的；如果，最低底线随着范围的不断扩大而稳步（指没有反复）的增长，说明命题是正确的。

一，哥德巴赫猜想

哥德巴赫猜想，不小于6的偶数，可以表示为两个奇素数之和。

因为，不小于6的偶数，指大于4的所有偶数，而不是人类目前所能及的某一段偶数，即，必须证明大于4的所有偶数中的任意一个偶数，都能表示为两个奇素数之和。所以，本文的每一步都涉及所有偶数。

素数，只能被1和自身数整除的整数，叫素数。(自然数1不是素数)。

素数的辨别：

与素数相对应的是合数。合数，除了能被1和自身数整除外，还能被其它数整除的整数，叫合数。

如，任意合数D，除了能被1和自身数整除外，还能被其它的数整除，这里的其它数，必然有约数是√D以内的素数。反过来，如果任意整数A，如果A不能被√A之内的所有素数整除，那么，A就是素数。这就是素数的辨别。

素数的特性：素数是不能被其它素数整除的数，这就是素数的特性。

例：109，

因，√109≈10，我们把任意数根号以内的素数，叫做它的小素数(下同)，即109的小素数为：2，3，5，7，因为，109不能被2，3，5，7整除，所以，我们断定109是素数；又根据素数的特性，因109是素数，所以，它是不能被109以外的任意一个素数整除的整数，即，一旦确定109是素数后，我们马上就能断定：它是不能被小于109的任意素数整除的数。

余数相等原理：在等式A＋B＝M中，令任意小素数为X，那么，A/X的余数＋B/X的余数＝M/X的余数。

例，在7＋11＝18中，在等式两边同时除以3的余数相等，7/3余1，11/3余2，18/3余0，即1＋2＝3，(3/3余0)。这就是余数相等原理。

偶数的素数对原理：

当A，B都是奇素数时，A＋B＝M，我们称A＋B为M的素数对。

人们在探讨偶数时，要针对偶数M，既要考虑A是否是素数，又要考虑B是否是素数，即，必须站在三个方面看问题，大有顾此失彼的感觉，我们能不能省略一个方面，只站在偶数M和A的角度看问题呢？这就必须研究偶数的素数对原理。

下面说：A能组成M的素数对，是指A是素数，M-A也必然是素数，A＋(M-A)为M的素数对。(并不是说A这一个数能组成M的素数对)。

令大于4的任意偶数为M，我们把偶数分为三段：√M内的整数，√M到M-√M内的整数，M-√M到M内的整数。

当A,B都是素数时，A＋B＝M，我们称A＋B为M的素数对。在实践中，M的素数对有两种情况：含小素数组成的素数对，不含小素数组成的素数对。

如偶数68，因√68≈8，即68的小素数为2.3.5.7，68＝7＋61＝31＋37，7＋61属于含小素数组成的素数对，31＋37属于不含小素数组成的素数对。大多数偶数都存在含小素数组成的素数对，个别偶数不存在含小素数组成的素数对，如992就没有含小素数组成的素数对。

在本文(下面)，我们只研究不含小素数组成的素数对，如果，不含小素数组成的素数对哥德巴赫猜想都成立，那么，包括含小素数组成的素数对哥德巴赫猜想就更加成立。

在A＋B＝M中，当A存在于√M之内时，那么，B必然存在于M-√M到M之中；当A存在于√M到M-√M之内时，那么，B必然也存在于√M到M-√M之内。即，我们只研究在√M到M-√M之内是否存在M的素数对。

在A＋B＝M中，对于A，B是否是素数，我们统一用√M之内的素数为小素数，作为辨别依据。

如偶数104，√104≈10，即小素数为：2，3，5，7，最大的小素数为7，那么，在大于7，小于11*11＝121之内的整数，只要不能被2，3，5，7整除，即可以判断为素数。那么，大于7，小于104包括在这之内，也同样能够用小素数2，3，5，7进行判断是否是素数；又因为，在大于7，小于104这一段的素数都大于7，依据素数的特性，素数是不能被小于它的素数整除的数，即也适应用不能被小素数2，3，5，7整除来进行判定是否是素数。

在√M到M-√M之内的任意素数A，A是素数的条件是：A不能被√M之内的所有素数整除；B是素数的条件，按理来说也是一样的。不过，我们换一个角度来看，更有利于后面的证明。

B是素数的条件：因为，B＝M-A，令小于√M的任意素数为X，当M/X的余数不与A/X的余数相同时，则B/X的余数不为0，即，当A除以M的所有小素数的余数，不与M除以M的所有小素数的余数一一对应相同时，M-A必然是素数。

即，当A除以M的所有小素数的余数，既不为0，也不与M除以M的所有小素数的余数一一对应相同时，A必然组成偶数M的素数对。这就是偶数的素数对原理，也叫素数对定理。

说点题外话，正确的数学定理，是可以反过来使用的：

例一，因为，104＝3＋101＝7＋97＝31＋73＝37＋67＝43＋61，√104≈10，31＋73，37＋67，43＋61都是不含小素数组成的素数对，即31，37，43，61，67，73都存在于10到104-10之中，所以，31，37，43，61，67，73除以小素数2，3，5，7的余数，都具备：既不余0，也不与104除以小素数2，3，5，7的余数的余数一一对应相同。

例二，素数47，√47≈6，47的小素数为2，3，5，按照素数的特性，我们也可以将最大的小素数推进到43都可以。我们令最大的小素数为11，在大于11*11，小于13*13这一段任意取一个偶数，132，因为，47是素数，有132-47＝85，所以，85除以小素数2，3，5，7，11的余数，必然不与132除以小素数2，3，5，7，11的余数一一对应相同。

偶数的分类：

前面不是说所有偶数吗？我们将所有偶数按除以小素数的余数组合进行分类：

所有偶数除以2都余0，即，所有偶数按小素数2分，只能分为1类偶数；

所有偶数除以2，3，除以2都余0，只有一类(后面不再涉及除以2)，除以3的余数有0，1，2.为3类偶数。其余数循环周期为2*3＝6，即2＋6N，4＋6N，6＋6N。

所有偶数除以3，5，余数组合为3*5＝15类；余数组合的循环周期为2*3*5＝30。

……，

所有偶数除以3，5，7，11，…，R，的余数组合为3*5*7*11*…*R类。余数组合的循环周期为2*3*5*7*11*…*R。

说到这里，大家不难看出：我在这里把哥德巴赫猜想中的偶数进行了扩大，这种扩大有什么好处呢？便于将孪生素数猜想一同进行证明。

如，当偶数为50到120时，只有36个偶数，它们的小素数为2，3，5，7，而偶数按小素数2，3，5，7分类为3*5*7＝105类，一个余数组合循环周期为2*3*5*7＝210，每210之内有105个偶数。大于36个偶数，这是不是把简单的问题复杂化了呢？不是，请继续往下看。

当偶数为50到120时，它们的小素数为2，3，5，7，它们最大的小素数为7，7*7＝49，这些偶数都大于49，在大于7，小于49之内至少有几个数能够组成它们的素数对呢？

按偶数的素数对定理，在大于7，小于49之内不能被小素数2，3，5，7整除的数有：11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47。共11个素数；不与M除以M的所有小素数的余数一一对应相同的素数，我们是按不与36个偶数的余数组合相同的素数都列出来？还是按不与105个偶数的余数组合相同的素数都列出来来看呢？

当然，是在105个偶数中寻找不与偶数除以小素数余数一一对应相同的最低剩余素数。一方面才能代表所有偶数的最低底线，另一方面方法才最简单：

这些素数除以2都余1，所有偶数除以2都余0，没有相同的余数，小素数2不用删除；

这些素数除以3余1的有:13,19,31,37,43, 除以3余2的有:11,17,23,29,41,47.删除最多的6个，剩余5个；

剩余的5个数中，除以5只有余3为2个数，其余余1，2，4各1个数，我们删除余3的2个数，还剩余3个数；

这3个数除以7分别余5，余3，余2，不论删除哪一个余数，最低剩余底线为2。

最低剩余底线为2，表明针对小素数2，3，5，7来说，在大于小素数中最大的素数7，小于小素数中最大的素数7*7＝49内，除以小素数2，3，5，7的余数，既不余0，又不与所有偶数中任意一个除以小素数2，3，5，7的余数一一对应相同的数的最低剩余数不低于2个；因为，偶数50到120的小素数为2，3，5，7，所以，在7到49内能够组成这些偶数中任意一个偶数素数对的素数，不低于2个。最低剩余底线为2，还表明什么意思呢？

二、孪生素数猜想

孪生素数猜想，指相差2的素数组（如，11，13），是否永远存在？我们在此，把它扩大到相差任意偶数的素数组是否存在，相差任意偶数的素数组是否永远存在？

令A，B为素数，且B>A，令小于√B的素数为小素数，令A>√B，如素数47，41，47>41，小于√47的素数2，3，5，为47的小素数，41>√47．

当A，B都是素数，且A，B都大于√B，即，A，B除以B的小素数的余数都不为0，所以，在B-A＝M中，B除以B的小素数的余数，既不为0，也不与M除以B的小素数的余数一一对应相同。由此看：相差任意偶数的素数组的定理，与偶数的素数对定理是同出一辙，是相同的。

如，47-41＝6，47/2余1，41/2余1，6/2余0；47/3余2，41/3余2，6/3余0；47/5余2，41/5余1，6/5余1．即，47除以小素数2，3，5的余数，既不为0，也不与6除以小素数2，3，5的余数一一对应相同。

前面说过，当小素数为2，3，5，7时，在大于7，小于49之内的数中，除以小素数2，3，5，7的余数，既不为0，也不与除以小素数2，3，5，7的105种不同余数组合的偶数中的任意一种余数组合一一对应相同的数，都不低于2个。

因为，大于7的最小素数为11，即，剩余素数中最小的素数只能为11，而，11＋11＝22，得知，大于7，小于49之内剩余的素数不可能组成小于22的偶数的素数对。那么，这105种不同的余数组合的代表数为2到210这105个偶数，而，偶数2到20包括2到210这105个偶数之中。如8，8/3余2，8/5余3，8/7余1，除以3不余2而余1的素数有：13，19，31，37，43，再删除除以5余3的13和43，剩余19，31，37，这3个数中没有除以7余1的数，即不与8除以小素数2，3，5，7余数一一对应相同的素数为3个，不低于2个，它们与减去8的数必然组成相差8的素数组。

这就是说：当小素数为2，3，5，7，11，…，R时，令仅大于R的素数为E，在大于R，小于R*R之内，除以小素数2，3，5，7，11，…，R的余数，既不为0，也不与小于E＋E的任意一个偶数Ｌ除以小素数2，3，5，7，11，…，R的余数一一对应相同的数，必然与减去Ｌ的数组成相差Ｌ的素数组。

三、最低剩余素数

当小素数为2，3，5，7，11，…，R时，在大于R，小于R*R之内，除以小素数2，3，5，7，11，…，R的余数，都不为0的数为这期间的素数，这期间的素数都是奇素数。

这期间的素数除以2都余1，所有偶数除以2都余0，即，剩余素数除以2的余数，与所有偶数除以2的余数都不相同，小素数2不能删除；

分别除以小素数3，5，7，11，…，R的余数，都删除余数最多的一种，最后剩余的素数个数，为不与(3*5*7*11*…*R种余数组合)所有余数组合中任意一种余数组合的余数一一对应相同的最少的一种。(最少的一种偶数有多个，同时存在)。我们将最低剩余素数列表为：

最　大的小　素数R：02，03，05，07，11，13，17，19，23，29，31,
; t7 H) E; S) c2 w4 p      R^2内最低剩余素数：01，01，02，02，04，04，08，08，10，17，17,

希望大家按这里的方法，把这个表延续下去，让人们看得更清楚。

从表中可以看出：最低剩余素数的增长与小素数的间隔有关，当小素数的间隔为相差2的孪生素数时，如这里的5到7，11到13，17到19，29到31，最低剩余素数没有增长；当小素数间隔较大时，如7到11增加2个，13到17增加4个，19到23增加2个，23到29增加7个。
$ o% P  P3 t! o( u( Q    小素数中相差2的间隔越来越少，相差大于或等于4的间隔越来越多，决定了随着R＾2的不断增大，在R＾2内最低剩余素数会不断地，缓慢地增加。

我们以小素数7方阵，最低剩余数为2为基础，理一个保守的、增长的算式；S≥2＋R－(7＋2N)。

式中的S表示最低剩余素数，R为最大的小素数的值，N为7到R的小素数个数。

如R为29时，N为11到29即6个素数，S≥2＋29－(7＋2*6)，即S≥12,结果S为17。

意思是说：在素数方阵中，随着R的不断增长，在大于R，小于R平方中，除以2，3，5，7，11，……，R既不余0，也不与所有偶数中任意一个偶数除以2，3，5，7，11，……，R的余数相同的最低剩余素数，随素数方阵的不断增大而缓慢地增长。

最低剩余素数的含义及证明

最低剩余数有三层含义：

当小素数为2，3，5，7，11，……，R时，在大于R，小于R*R内的最低剩余素数为S，令仅大于R的素数为E。

1，在于大于R*R，小于E*E内的任意一个偶数的素数对个数，不低于S/2对(按收尾法)．即，只要最低剩余素数存在，哥德巴赫猜想便成立．因为，最低剩余素数不仅存在，而且一直稳步增长，所以，哥德巴赫猜想是成立的．

因为，最低剩余素数，Ｓ随着小素数中最大的小素数的增长而增加，小素数中最大的小素数Ｒ，又随着偶数的不断增大而增大，所以，偶数的素数对个数随着偶数的不断增大而增加，是符合事物发展的客观规律的，但，必须说明的是：

从偶数的素数对定理，可以看出，相邻偶数的素数对多与少，参差不齐的主要原因是：偶数是否能被小素数整除，整除与不整除存在不删除与删除素数的问题；偶数能被小素数中较小的小素数整除，还是被小素数中较大的小素数整除，存在删除频率大与小的问题。次要原因是：不同余数组合的素数是相继存在的，不同余数组合的素数的存在具有出现早与晚的问题。虽然偶数的素数对增长存在一定的波动，但在考虑这两种因素之后，就知道其波动并不是很大。

2，大于R，小于R*R内，相差小于Ｅ＋Ｅ的偶数的素数组，不低于Ｓ组．

因为，随着Ｒ的不断扩大，小于Ｅ＋Ｅ的偶数也随着增大，不断扩展到所有偶数，所以，相差任意偶数的素数组都存在．

因为，相差任意偶数的素数组都相继出现，相继存在，交叉存在，不断地冲淡了较小间隔的素数组(孪生素数)，所以，人们怀疑它们是否永远存在．

因为，最低剩余素数，Ｓ随着小素数中最大的小素数的增长而增加，所以，相差小于Ｅ＋Ｅ的偶数的素数组会不断增加．而相差2的孪生素数组也在其中，随之增加，所以，孪生素数猜想是成立．

3，对于存在于Ｅ＋Ｅ到小于Ｒ*Ｒ的偶数来说，为上面两者之和不低于Ｓ．

即，组成相差Ｍ的素数组为Ｃ组，组成Ｍ的素数对为Ｄ对，Ｃ＋2Ｄ≥Ｓ．

说明：相差M的素数组，是随着范围的增大而逐步形成，并不是随E+E而形成，只不过这里用小于E+E便于说明问题。

                           四川省三台县工商局 王志成

wangzc1634

特别说明：
1，        这就叫：一个定理，一条(底) 线，两个证明．
5 s/ u& I) p. O% B' L2，        这里的最低剩余素数，就是最低底线．
3 {3 H. [& J' x5 Q' S! f因为，它是指在素数方阵内，所有偶数与小素数的特定关系，由这种特定的关系产生的最低剩余素数．这里指的是所有偶数，而不是某一段的局部偶数，所以，用不着再考虑什么大偶数与小偶数问题．
3 w( C- h+ f, V: K这里的结论：当小素数中最大的小素数相差为2时，最低剩余素数不增长(或微增长)；当小素数中最大的小素数相差大于2时，最低剩余素数必然增长．欢迎人们任意进行检验：
6 S9 F% ~  k, |! N& I% A检验方法：任意取两个相邻的素数Ａ，Ｂ，且Ｂ-Ａ≥4，即在Ａ，Ｂ两个素数方阵中进行检验，假若最低剩余素数增长，说明结论是正确的，否则，说明结论是不正确的．
再强调一下最低剩余素数的计算方法：
7 C' d4 ~. e6 f例，素数Ａ方阵，取大于Ａ，小于Ａ*Ａ内的全部素数，
1，用这些素数除以3，余数分别为：余1和余2，删除余数最多的一种；
2，用1中剩余的素数，再除以5，余数分别为：余1，余2，余3，余4，再删除余数最多的一种；
) k& f8 P0 i/ j" M3，用2中剩余的素数，再除以7，余数分别为：余1，余2，余3，余4，余5，余6，再删除余数最多的一种；
" i7 D9 }8 E) w) B1 R/ y4，用3中剩余的素数，再除以11，余数分别为：余1，余2，余3，余4，余5，余6，余7，余8，余9，余10，再删除余数最多的一种；
! ~- _8 h7 E9 Y……，
Ａ，用上面剩余的素数，再除以Ａ，余数分别为：余1，余2，余3，余4，余5，余6，……，
+ u$ ~% j6 p7 W: K% C余Ａ-1，(各种余数不一定齐全)，再删除余数最多的一种，最后剩余的素数．为最低剩余素数．
令，在素数Ａ方阵内，除以小素数2，3，5，7，11，……，Ａ的余数，既不为0，也不与所有偶数中任意一个偶数除以小素数2，3，5，7，11，……，Ａ的余数一一对应相同的数为剩余素数，这种计算方法为所有剩余素数中最少的一种，简称为最低剩余素数．
4 @$ G- @% o/ U2 h; o0 J% C素数Ｂ方阵的最低剩余素数计算方法一样，只是还要删除除以Ｂ余数最多的一种，最后剩余的素数为素数Ｂ方阵内的最低剩余素数．
& S, c2 _8 F1 j: q

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王志成，看过你的文章，路漫漫其修远兮，还将上下而求索。