数学证明方法有多少种？

逻辑之剑

数学证明方法有多少种？

张寅生

这个问题难以回答---------首先涉及如何定义一种数学证明方法，然后才可统计。

希尔伯特对数学证明的定义是：一个证明是一个格式，它本身必须清楚地呈现在人们面前；它根据推理模式，由一系列断定组成，这里前提S或是一条公理（或一些公理），或是在展开中先已出现的证明格式的结尾公式 。

类似地，哥德尔对数学证明给出的定义是：证明在形式上不过是公式的有穷序列（具有一些特殊的可定义的特征） 。

这样看来，可以把数学证明定义为一个逻辑推理的过程，推理的结果是被征命题(证明结论)。由此得出一个重要结论：数学证明方法可以形式化为逻辑表达式，特别是逻辑蕴含式（也就是“如果…那么…”的结构，直至结论）。如果两个证明的序列（逻辑表达式结构）或形式上本质上没有差异，则可视为是一个证明方法；否则可视为两个证明方法。

在明确证明方法的定义后，可公式化这些逻辑结构，列为一个独立的形式化方法，然后统计它有多少种。当然统计的样本要足够全，要在古今中外的数学证明实践中抽取。拙作《证明方法与理论》（张寅生著，国防工业出版社，2015. 作者信箱：zhangyinshengnet@sina.com）的证明方法部分就做了这样一个工作。结果归纳抽取了11种数学证明方法：

①关系运算证明方法；②三段论证明方法；③数学归纳法；④反证法；⑤构造性证明方法；⑥同态证明方法；⑦解释性证明方法；⑧系统化证明方法；⑨截消证明方法；⑩归结证明方法；⑪自动化证明方法（其中，截消证明方法是系统化证明方法的特例；解释性证明方法是同态证明方法的特例）。

这个抽取结果与其他数学证明方法的分类、归纳结果比较如何？就作者看来，这个结果是当前归纳最全的数学证明方法，也就是说，这11个数学证明方法是史上最全的数学证明方法的集成。

下表是比较结果:表中的其他文献或多或少列出了各种数学证明方法，就当前的搜索结果，基本上囊括了当前国际国内数学证明方**述著作了。经过作者逐一比较和借鉴，《证明方法与理论》包括了它们所说的方法（当然分类、名称、结构未必相同）。有的文献如孙宗明《数学证明方法》，所列的方法更多，但是因为这些方法没有形式化，因此或者在逻辑结构上不是独立的或可形式化的，或者可包含在《证明方法与理论》的其他方法中了。

当前对数学证明方法的分类和集成状况

作者（编者）	著作名称	所介绍的证明方法
萧文强	数学证明	西方证明方法、中国的直观解释方法
张顺燕	数学的思想、方法和应用	演绎法、分析与综合、归纳法、数学归纳法
孙宗明	数学证明方法	演绎法和归纳法、直接证法和间接证法、综合法和分析法、循环证法、抽屉证法、定性证法、构造性证明、初等证明、机器证明、轮换证法、不动点法、摄动法、集合等同法、极大极小法、非综合几何法
林东岱 李文林虞言林 （主编）	数学与数学机械化[8]	吴方法
克林	元数学导论[9]	形式系统证法、自然演绎系统证法
Michael Sipser	计算理论导引 [10]	构造性证明、归纳法、反证法三种方法
Danniel J.Velleman	How to prove it [11]	关系演算、数学归纳法
Ted Sundstrom	Mathematical Reasoning----Writing and Proof [12]	直接证明、反证法、构造性证明
Peter J.Eccles	An Introduction to Mathematical Reasoning----numbers,  sets and function [13]	直接证明、反证法、构造性证明、归纳法
Robert S.Wolf	Proof, Logic and Conjecture  [14]	形式证明、非形式证明
Roman Garnier and John Talor	100% Mathematical Proof [15]	直接证明（反证法、双条件导出法）、存在与唯一性证明（构造性、非构造性证明）、形式系统证法、自然演绎系统证法、非形式证明
Herman Ruge Jervell	A course in proof theory [16]	归结方法、根岑的演绎方法及根岑树截消方法 、模拟和博弈方法
Samuel R.Buss	An Introduction to Proof Theory [17]	根岑的演绎方法及根岑树截消方法
L.A.Harringgton etc. Editors	Harvey Friedman’s Research on the Foundations of  Mathematics [18]	反推数学方法（公理系统证明方法）
U.Kohlenbach	Applied Proof Theoryroof Interpretations and Their Use  in Mathematics [19]	延伸证明方法（解释性证明方法）、证明挖掘方法（解释性证明方法） 、截消证明方法
Samuel R. Buss	Handbook of Proof Theory -  [Studies in Logic and the Foundations of  Mathematics [20]	形式系统证法、自然演绎系统证法
Wolfram Pohlers	Proof Theory.The First Step into Impredicativity [21]	形式系统证法、自然演绎系统证法
Gaisi Takeuti	Proof Theory [22]	形式系统证法、自然演绎系统证法
Herman Ruge Jervell	A course in proof theory[23]	截消方法、模拟和博弈方法
Charles E	Introduction to Mathematical Proofs.A Transition [24]	直接证法、反证法、穷举证法、双蕴涵证法、全称量词证法、存在量词证法、数学归纳法
Sara Negri    Jan Von Plato	Proof Analysis [25]	形式系统证法、自然演绎系统证法

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《证明方法与理论》作者信箱：zhangyinshengnet@sina.com

jiang790

我是来学习的，了解一下