8 Q7 r! x% ~. i8 w4 M- s3x+1猜想蕴含的运算规律 田永胜(内蒙古兰太实业股份有限公司制盐分公司 内蒙古自治区 吉兰泰 750333) 摘要:本文揭示了3x+1猜想计算规则下奇数的运算规律。 关键词: 计算规则;奇数;排列位置;变换 中图分类号:O156 所谓3x+1猜想就是:任取一个自然数,如果它是偶数,就把它除2,如果它是奇数,就把它乘3再加上1。在这样一个变换下,就得到一个新的自然数,如果反复使用这个变换,就会得到一串自然数。猜想就是:反复进行上述运算后,最后结果就是1。 为了揭示先3x+1猜想蕴含的数学规律,先从大家熟知的一道数学题——小猴爬杆说起: 小猴爬8米竹竿,一次爬2米,下滑1米,问几次可以爬到杆顶? 为什么提到这个数学题呢?因为3x+1猜想跟这道题有点类似,从表面看,一个自然数乘3除2,似乎应该越来越大才对,怎么最后结果是1呢? 这有两个原因: 1、与猜想的计算规则有关 猜想计算规则就是:如果它是偶数,就把它除2。如果它是奇数,就把它乘3再加上1。问题的关键在于:奇数乘3加1后一定是偶数,偶数除2后不一定就是奇数,如果是偶数,继续除2,直到变为奇数为止。因此,奇数乘3加1后不一定只除一次2,有可能除两次2或两次以上2。 2、与奇数的排列位置有关 因为3x+1是偶数,所以只研究奇数x。奇数的排列位置(见表1)与猜想有什么关系呢? 奇数的排列位置决定了奇数乘3加上1后是除2,还是除2^n(n>1)。 研究发现:奇数位置上的奇数乘3加上1除2后,一定是偶数,即至少要除两次2后,才变为奇数,偶数位置上的奇数乘3加上1除2后,一定是奇数。 因此,偶数位置上的奇数乘3加上1除2后,变换的自然数会变大,奇数位置上的奇数乘3加上1连续除2后,变换的自然数会变小(乘3除4或2^n(n>1),正是因为这个特点,决定了变换后的自然数不会无限增大)。经过不断变换后,最后的结果就是1。除1外,其他的奇数最终都变换到5,然后再变换到1。 表1 奇数排列位置表
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