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本帖最后由 math111 于 2016-7-22 17:13 编辑 ' k4 \6 X8 g# k5 Q1 x7 E5 m
1 L G. a3 U( X; q6 a
设\(f(x)\)是定义在\((0,+\infty)\)上的正值函数,且有\(f[f(x)]=6x-f(x).\)求函数\(f(x)\)的表达式。
( s; @/ ~: z3 ]; A7 p: i Y0 j大神求解,书上一道例题,但是原来的答案我看不懂。。求简单的解法。
. r" j8 f3 x# W, `( n, w9 H5 L
( m2 e d$ e* u) Z, D. y/ U1 b贴一下原书的答案吧7 W1 C, J% p1 n8 J; ~( @
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' ^, D F5 O9 ] i3 J/ U+ C& F对任给实数\(x>0\), 记\(a_0=x\), 以及\[a_{n+1}=f(a_n) \quad (n=0,1,2,\cdots)\]; V7 b- {+ |' c. p0 ^$ U1 Y' E
代入方程可得\(a_{n+2}+a_{n+1}-6a_n=0(n=0,1,2,\cdots)\)解其特征方程+ B- |3 C9 t) L2 @6 a
\({\lambda}^2+\lambda -6=0, \) 即\((\lambda+3)(\lambda-2)=0\),可知\(a_n={(-3)^n}c+{2^n}d\)/ s }2 C* {2 p( ?3 @
根据\(f(a_0)>0\),又得\(c=0\) ,从而有\(a_n=2^nd\)。易知\(d=a_0\),我们有\(f(a_0)=a_1=2a_0\),即\(f(x)=2x\).显然此解释唯一的。: e( |- f H9 x
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1 q4 h( ]4 k/ G7 w1 N3 u9 ^7 ^7 ]* D5 c, m h* `
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