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[转帖]斐波那契螺旋

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发表于 2005-1-20 09:40 |只看该作者 |倒序浏览

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斐波那契螺旋

斐波那契(Leonardo Fibonacci, 约1175-约1240)也许是在生活在丢番8 Y) Z7 u! J, H$ y7 e' O4 r 图(Diophantos)之后费尔马(Pierre de Fermat)之前这2000年间欧洲最杰出- [2 C/ ?4 M; F% m 的数论学家。我们对他的生平知道得很少。他出生在意大利那个后来 / x8 e8 t. M. g, }因为伽里略做过落体实验而著名的斜塔所在的城市里，现在那里还有, v/ S7 P2 W# Q5 p8 N 他的一座雕像。他年轻是跟随经商的父亲在北非和欧洲旅行，大概就9 a4 O# y. Q/ E& ?) n$ N# I 是由此而学习到了世界各地不同的算术体系。在他最重要的著作《算 ; x, j& T: G; M T9 ` Z A盘书》（Liber Abaci，写于1202年）中，引进了印度-阿拉伯数码（包* i0 k: m- }+ b8 p( l$ `% [/ b; j 括0）及其演算法则。数论方面他在丢番图方程和同余方程方面有重要 1 G6 @% k' b. ^! A N" E贡献。 ( g; y& O; b8 a. j5 j, |% Y& Q

坐落在意大利比萨的斐波那契雕像( e$ A$ i$ M; k9 H) r6 X! M1 n 7 G+ J7 ~/ n( @% D- [8 k　　数学中有一个以他的名字命名的著名数列：; @' l5 i* ?0 ?5 r9 l. m _- s 　　　　　1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …… 3 q4 _3 Z; P/ |% K K2 a, u: [从第三项开始每一项都是数列中前两项之和。这个数列是斐波那契在 % |% [# Z. }0 I7 p他的《算盘书》的“兔子问题”中提出的。在问题中他假设如果一对 + m; L4 T1 J- I7 k5 h; A8 c; P& [兔子每月能生一对小兔（一雄一雌），而每对小兔在它出生后的第三" [5 y$ b+ B" E3 F; V' S/ C 个月，又能开始生小兔，如果没有死亡，由一对刚出生的小兔开始，- F. W8 M1 ~; \$ c 一年后一共会有多少对兔子？将问题一般化后答案就是，第n个月时的 9 Y! F( n* m0 I& K& N兔子数就是斐波那契数列的第n项。斐波那契数列和黄金分割数有很密/ D7 O4 q( o4 S5 @. Z 切的联系。! |! t" y0 I' {4 l4 l9 Y. w: B9 p $ @5 ^! e6 b( E　　斐波那契并没有把这个问题和这个数列看得特别重要，在《算盘 3 `8 f/ N7 P9 G0 {/ y5 T. F5 w书》中兔子问题只不过是书里许多问题中并不特别的其中一个罢了。 9 o+ o% D+ f5 P3 o5 {+ q但是在此后的岁月中，这个数列似乎和题中的高产兔子一样，引发了 . I+ _& d" h# x6 j6 R. U6 U为数众多的数学论文和介绍文章（本文似乎也在步此后尘）。不过在% d+ ?" o3 y$ h c3 E 这里我不想介绍浩如烟海的有关斐波那契数列的数学文章，只想欣赏 ; ?; l7 q3 q2 a. Z# q. `+ O9 d2 O L大自然的造化。 # K5 ^4 w: A- R. f4 w, y / F5 I9 e, w2 |　　在现实的自然世界中，《算盘书》里那样的神奇兔子自然是找不* J2 ?+ b6 w2 I0 V 到的，但是这并不妨碍大自然使用斐波那契数列。本期封面上是起绒 " e3 P2 O2 d5 Z! t草椭球状的花头，你可以看见那上面有许多螺旋。很容易想像，如果3 l* k9 [2 F# q. n0 h 从上面俯视下去的话，这些螺旋从中心向外盘旋，有些是顺时针方向. _. X c9 U! k) K& l9 ~# |5 m 的，还有些是逆时针方向的。为了仔细观察这些螺旋，我们挑选另一9 {) c+ w- Z6 s T, W7 i 种具有类似特点的植物——蓟，它们的头部几乎呈球状。在下面这个# \5 J2 `" l8 {4 ?% J+ f1 R/ Z 图里，标出了两条不同方向的螺旋。我们可以数一下，顺时针旋转的 % u' Q3 o1 P& ?" @& U

具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部' R1 {0 g9 c# E5 l' d' G; P （和左边那条旋转方向相同）螺旋一共有13条，而逆时针旋转的则有 i, M1 v5 Y3 g/ Y' w21条。而下面这幅图中的顺逆方向螺旋数目则恰好相反。% ?5 [& Z5 L! i$ v; s

具有13条逆时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部 [" O4 Y7 W1 Q: e1 e　　以这样的形式排列种子、花瓣或叶子的植物还有很多（最容易让' o; d: t G8 l3 o& \# ^) a6 V 人想到的是向日葵），下面的图片是一些看起来明显的例子（可以点$ [5 X) Y* b8 `+ f 击看大图），事实上许多常见的植物，我们食用的蔬菜如青菜，包心4 m6 A1 u# V% w$ G: } 菜，芹菜等的叶子排列也具有这个特性，只是不容易观察清楚。尽管这些顺逆螺旋的数目并不固定，但它们也并不随机，它们是斐波那契& o/ G' l; `+ b- ~ 序列中的相邻数字。这样的螺旋被称为斐波那契螺旋。) E2 r' {+ {4 Q0 ~$ n

自然界中各种各样的斐波那契螺旋（点击看大图）' M6 K. c8 F: b" H- g 6 b' u- O2 p. g　　这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自1 z+ {1 H8 v* q0 S+ S) R( ] 然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它 # e$ l. g- r$ ?9 l- w8 ?+ f能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了 7 z# v5 m& h2 y* A6 `) k太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长方式也是如此，对 $ ]% ^; L2 l5 ^& `2 ~; n于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程 , K+ W! I( C. r中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出0 h# G/ O+ x! P 来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度 ( q# }1 q$ `* J1 }应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360 + m- O7 e3 ?( o; X度之比是黄金分割数1.618033989……的倒数，而这种生长方式就决定. k' R: o8 G- x. @/ S 了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时 o; A+ }* b" t能达到89，甚至144条。2 u: `1 T q: e4 O8 [' ` , B. P& B/ S& a. _　　由于是自然规律而并非抽象的数学或哲学原理决定了植物各种器0 c3 P, y3 @ N4 M& _, v 官的排列图样；另外还有具体环境的影响，比如地形、气候或病害， 7 Z$ |. S. l7 w% h2 ?4 z7 m你并不总能找到完美的斐波那契螺旋。即使是生长得很健康的植物，3 |, N. v* I( n) n 也难免有这样那样的缺陷。仔细观察上面的图片，你会发现螺旋的中4 @* m# ]$ P+ x$ R a) S 心经常是一片混乱。所以最后还是让我们来欣赏一下由计算机绘制出 + F* y+ N1 J5 H r$ u9 r7 r来的完美的斐波那契螺旋吧（点击看大图）。