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二项式幂的展式论证的谬误(致武汉大学数学系的公开信)

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发表于 2017-9-29 13:18 |只看该作者 |倒序浏览

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本帖最后由数学1+1 于 2017-9-29 13:23 编辑

在武汉大学数学系编<<数学分析 ∙ 下册>>,1978年10月第一版,人民教育出版社.67页至69页. 对二项式幂的展式有如下论述:

4) 二项式幂的展式:

(1+x)^m=1+mx+[m(m-1)/2!]x^2+⋯

+[m(m-1)(m-2)⋯(m-n+1)/n!] x^n+⋯, -1<x<1 (13)

其中m可以是任何实数, 右边这个级数称作二项式级数.

如果m是正整数, 则上面式子中的级数就只到x^m的项为止, 后面的各项都等于零了. 这样,(13) 不是别的, 就是我们在中学学过的二项式定理. 以下我们将假定m不是正整数, 于是(13) 右面的确是有无穷项的幂级数.

为了证明这一展开式, 首先注意, 用3.1段中的定理 2, 很容易证明(13) 右边这级数的收敛半径R=1.于是它的和函数S(x) 定义于|x|<1:
S(x)=1+mx+[m(m-1)/2! ]x^2+⋯+

[m(m-1)(m-2)⋯(m-n+1)/n!]x^n+⋯ (13)’

问题是要证明S(x)=(1+x)^m .

为了要证明这一点, 我们把(13)’ 式逐项求导数(x始终取定在|x|<1的范围内) 得
S'(x)=m+m(m-1)x+[m(m-1)(m-2)/2!]x^2+⋯

+[m(m-1(m-2))⋯(m-n)/n!] x^n+⋯
或
S'(x)/m=1+(m-1)x+[(m-1)(m-2)/2!] x^2+⋯

+[(m-1)(m-2)⋯(m-n)/n! ]x^n+⋯
把此式两边乘以x,得
xS'(x)/m=x+(m-1)x^2+[(m-1)(m-2)/2!]x^3+⋯

+[(m-1)(m-2)⋯(m-n)/n!] x^(n+1)+⋯
再把此两式相加,得
(1+x)S'(x)/m=1+mx+[(m-1)(m-2)/2!+(m-1)]x^2

+[(m-1)(m-2)(m-3)/3!+(m-1)(m-2)/2!]x^3

+⋯ +[(m-1)(m-2)⋯(m-n)/n!

+(m-1)(m-2)⋯(m-n+1)/(n-1)!]x^n+⋯
=1+mx+[m(m-1)/2!] x^2+

[m(m-1)(m-2)/3!]x^3+⋯

+[m(m-1)(m-2)⋯(m-n+1)/n!] x^n+⋯
而右边这个级数又回到了(13)’ 的右边, 所以得到S(x) 的一个一阶微分方程:
(1+x)S'(x)/m=S(x)或即S'(x)/S(x)=m/(1+x)
两边求积分
∫[S'(x)/S(x)]dx=∫[m/(1+x)]dx

[size=15.3333px]即

lnS(x)=mln(1+x)+C

但是,当x=0时, 由(13)’ 很明显S(0)=1,即lnS(0)=0, 因此在上式中令x=0代入后立刻可以知道C=0. 从而

lnS(x)=mln(1+x)= ln(1+x)^m
这就是说,
S(x)=(1+x)^m
上述论证看似严谨, 以后有作者持上述观点发表了专题论文. 仔细分析, 根据基本积分表有

            [size=15.3333px]∫[1/S(x)]dx =lnS(x)+C
由于C=0,  比较上述论证, 得
            [size=15.3333px]∫[S'(x)/S(x)]dx=[size=15.3333px]∫[1/S(x)]dx
即
               S'(x)=1
这与
               S'(x)=[m/(1+x)]S(x)
不兼容.亦即原著论述只能得到恒等式
               [size=15.3333px] (1+x)^m[size=15.3333px] =(1+x)^m
或原式
               S(x)=1+mx+[m(m-1)/2! ]x^2+⋯+[m(m-1)(m-2)⋯(m-n+1)/n!]x^n+⋯

这样原著关于二项式幂的展式论证没有意义.盼武汉大学数学系在再版数学分析时更正.

zan