第n个素数的极限系数k值

551987369

第n个素数不好求,一般用黎曼猜想公式反算,可以获得比较高的精度作为参考范围.
这里不进行第n个素数的计算比赛,只对一个趋势做出预测,求出第n个素数的极限系数k值.
) p! N2 G7 O- B0 n' Np(n)≈n×(lnn+lnlnn-k),这里n值和p(n)值都是已知的数据,只有k值未知,代人后
k=lnn+lnlnn-p(n)/n
n值                                    p(n)参考范围                     计算的k值
" S7 H# o( i$ U! W+ S2 N4          10          -0.787071379
10          29           0.236617538
' h0 x  n8 i4 w1 [, M# u: ]/ A24          90           0.584322837
9 `; G; f5 y6 s$ |- J" A2 J4 ~1 ~25          100           0.387908001
9 ^6 T% [  P2 f  N  Y! L4 {100          541           0.722349812
, W" F7 F' J! b+ |* \4 ?154          900           0.809598015
" G1 ~( ?* p# {/ t8 [168          1000           0.805511381
/ X5 N- d- A; q1 z6 V5 `500           3571           0.899510764
1000   7919           0.921400013
1117        9000   0.909640998
1229         10000           0.939318112
& ^* ?+ P: L- ~9 j% u* R5000          48611           0.93708004
/ a) ?, h% t* {6 m4 g! H' [" g8713          90000           0.948434316
- }! e+ r9 W. u- w6 h4 u9592          100000          0.959124075
9592          100000          0.959124075
10000          104729          0.957767178
0 O" T. w& L! J6 [+ e) {+ o30000          350377          0.962732035
: u, ~1 `9 p" o7 H: y7 r50000          611953          0.962094066
70000          882377          0.962864732
3 ?* R& L  D3 V71274          900000          0.960576676
2 v) j5 k- O) y9 }78498          999983          0.954084756
" v" U8 Q1 [& D90000          1159523          0.958252788
3 k- G: p4 C. G8 @/ Q3 L0 Y0 y0 |100000          1299709          0.959305823
200000          2750159          0.957211231
300000          4256233          0.95870651
400000          5800079          0.956189157
500000          7368787          0.95910728
6 f/ C3 z" h2 q; I# C2 |2 E- q! d600000          8960453          0.958712825
602489          9000000          0.959219949
6 J6 z0 n0 j3 m9 v) {* j664579          10000000          0.955559154
9 f8 ?" i2 O& t% ~- o+ d6 G700000          10570841          0.957269999
/ B' T7 T" t0 A4 U5 [8 H800000          12195257          0.957804142
900000          13834103          0.957060924
1000000          15485863           0.955439472
0 I, Y8 |/ u; e3 e( I" k0 e4310144          73473859          0.956066856
' l' c7 n7 r, Y# c0 |5216954          90000000          0.954714458
5761455          100000000          0.955107932
3 s) v  o6 v" j& \* N10000000        179424673           0.955570945
28944316         551987369           0.954016283
31255985         598608349           0.954181883
46009215         900000000           0.953469255
# r6 q, V2 F% A+ s" U: G& `50847534         1000000000           0.953771771
1 h. I' F0 w# _3 D4 H: M! Z$ d  S2 ?: }62106578         1234567890           0.953423793
100000000          2038074743           0.953407301
# J2 _& m' X6 _: x" m* Z8 H. i8 b* g111111111          2276855641          0.953517847
6 j3 |0 P4 H8 W  x2 N, C123456789          2543568463          0.953345453
399487944          8724310144          0.95293163
1 n7 N* ?1 g7 J4 B411523195          9000000000          0.952872778
) _, ?! p# P. r* {449689285          9876543210          0.952957054
+ l+ O# {$ L; F455052511          10000000000          0.952960865
: j+ p$ H# b5 K! v/ p498388617          11000000000          0.952836503
541555851          12000000000          0.952792438
. J+ T6 z* {8 A$ P551987369          12242181113          0.952827232
675522133          15125167433          0.95280727
8 g8 D4 l- H( V9 q5 Q" U1000000000          22801763489           0.952759371
1111111111          25458070277          0.952691408
9 q1 g& R% A% ]4 a, ?1234567890          28423087477          0.952659797
; w  A' j- C& o8 A+ J' F2031255985          47824232591          0.952633346
3722428991          90000000000          0.952632842
: y8 h8 J5 a0 o! X2 m+ j& q! l# C4118054813          100000000000          0.952661953
" `) n  W9 S  `& p* w) ?4512105232          110000000000          0.952609693
# {" @% Y. z" R3 z  o: z4904759399          120000000000          0.952630576
8724310144          218695452037          0.952688936
5 \0 K2 U( \+ M- ]( P+ E% P, _0 @9000000000          225898512559          0.952686974
9876543210          248857367251          0.952697866
1 `+ {) u+ m  Q+ m% ]+ \. J10000000000          252097800623           0.952688406
11111111111          281329920307          0.952701468
12345678910          313945524931          0.952711638
' R; w7 Q. w8 ]! S15125167433          387829275881          0.952732747
3 T6 w0 G$ j- l, F2 w/ N9 R- g/ }$ C24188924259          632071564697          0.952803332
/ A4 }. f- Q1 Y: Z4 L1 `' z33981987586          900000000000          0.952856627
37607912018          1000000000000          0.952882443
. G$ `3 a8 Y: A7 E41220703418          1100000000000          0.952898557
2 s5 a4 n0 x5 C! J" u' S$ p44821651132          1200000000000          0.952913749
48411812843          1300000000000          0.952928255
' r+ G( s+ x1 _) ]# M. t51992079337          1400000000000          0.952943276
55563209929          1500000000000          0.952959823
59125832286          1600000000000          0.95296585
62680547806          1700000000000          0.952978131
$ H6 X% O; W; j66227858344          1800000000000          0.952997051
. O! I4 j( h$ r7 J( |  `5 E69768165361          1900000000000          0.953005511
" P* K- k5 h6 `73301896139          2000000000000          0.953018171
76829404177          2100000000000          0.953034877
80350940550          2200000000000          0.953031576
83866890515          2300000000000          0.953043799
87377470252          2400000000000          0.95305485
) n2 c( v7 W, d3 \! P9 v8 z90000000000          2474799787573          0.95305936
" E% y  v2 {, {- R; j: l90882915772          2500000000000          0.953063852
94383447111          2600000000000          0.95307122
97879280182          2700000000000          0.953081213
6 ]: k* B# A. o98765432109          2725369633577          0.953083106
100000000000          2760727302517   0.953090716
101370585277          2800000000000          0.953089006
104857545428          2900000000000          0.953097652
/ u% _" r7 P4 r) V108340298703          3000000000000          0.953101171
111819048275          3100000000000          0.953113895
  C4 O4 S$ k# o7 [, I115293888086          3200000000000          0.953123695
118764942011          3300000000000          0.953129267
122232349643          3400000000000          0.953135088
2 i' Q  c- ?, T- A# y& M125696244675          3500000000000          0.95314551
' J1 f* \% \" L# H( d129156678096          3600000000000          0.95314744
132613795649          3700000000000          0.953151137
136067688083          3800000000000          0.953155352
139518461664          3900000000000          0.953163273
/ Q1 T. W* n/ f0 \6 b142966208126          4000000000000          0.953175813
146410910264          4100000000000          0.953173082
# }# }+ K$ O$ w+ o149852773964          4200000000000          0.953181021
* j# n& L% E( q153291810623          4300000000000          0.953187137
5 ?( c) b& n- T* G156728136258          4400000000000          0.95320009
160161747327          4500000000000          0.953206672
* u$ c; u/ V5 y" F7 t2 \163592692077          4600000000000          0.953204523
8 H% \# n2 J; V0 D8 _( A4 u% _167021151370          4700000000000          0.953215136
170447066694          4800000000000          0.953217788
. ?! t" a$ u# Y3 ]173870573446          4900000000000          0.953226341
177291661649          5000000000000          0.953230035
1 q0 a& i4 z7 x! u; z& }4 r180710431905          5100000000000          0.953237157
5 W' Y2 A; g, g1 F184126901158          5200000000000          0.953242428
9 q% }, I, Q9 |( C% t' B# k- q5 l187541119457          5300000000000          0.953246415
190953126302          5400000000000          0.953248309
: p. K+ y4 e7 k8 g, G5 H194362990637          5500000000000          0.953252061
197770743547          5600000000000          0.953255983
201176428961          5700000000000          0.953260598
204580066580          5800000000000          0.953263125
! A  V+ C# \8 u$ t2 v$ S" r) W207981734215          5900000000000          0.95326937
: s" M( m, C9 h# g+ d$ x* |211381427039          6000000000000          0.95327346
214779167476          6100000000000          0.953273786
218175058254          6200000000000          0.953279837
3 P+ i0 z" ~! r3 _2 Q  W  z8 j( O4 A221569102517          6300000000000          0.953287444
$ }/ {/ ?" h( p2 V224961273873          6400000000000          0.953288951
6 h/ @; q! ~9 X3 B, ^. L$ ?228351698532          6500000000000          0.953296988
231740339225          6600000000000          0.953302771
235127223891          6700000000000          0.953306312
238512407609          6800000000000          0.953311095
241895851648          6900000000000          0.953309053
245277688804          7000000000000          0.953313329
# e. y7 l  Y1 |) ~248657916582          7100000000000          0.953320369
252036515078          7200000000000          0.953324842
8 F/ j8 o" F0 e3 b; c255413505374          7300000000000          0.953326527
9 \, }- f6 w2 `( o9 O- Q! H$ y3 K258788925595          7400000000000          0.953327242
259656817434          7425719040829          0.953329238
262162841215          7500000000000          0.953331879
265535241952          7600000000000          0.9533367
268906152117          7700000000000          0.95334203
272275559525          7800000000000          0.953344261
6 p0 H: i& O5 M$ T4 Y, I7 p% L275643544693          7900000000000          0.953350004
279010070811          8000000000000          0.953353124
282375171661          8100000000000          0.953355251
285738881494          8200000000000          0.953358042
289101209285          8300000000000          0.953360526
292462199848          8400000000000          0.953365471
2 Z6 e; {" F( v+ {! v6 X9 t* J295821814466          8500000000000          0.953367157
299180106058          8600000000000          0.953369279
302537108851          8700000000000          0.953373572
/ Z0 z4 L: ~$ s. E; }$ T3 Q# e9 b305892791866          8800000000000          0.95337538
309247216816          8900000000000          0.95337922
# ?+ `. N$ i3 q; h312600354108          9000000000000          0.95338074
315952260435          9100000000000          0.953383952
8 w/ J' o- Z2 |' J- t  h319302948414          9200000000000          0.953388614
$ I5 L1 E, U  a8 H, m322652410741          9300000000000          0.953392682
  J4 T) Y& z1 }9 G  s326000647688          9400000000000          0.953394916
& n# K9 O" F4 \3 U, i329347709593          9500000000000          0.953398697
332693561966          9600000000000          0.953399676
: e9 W1 k2 |' U4 [2 A; H9 P/ ^- O336038264769          9700000000000          0.953402105
. V$ w% j' g# ?- [339381817251          9800000000000          0.953404747
342724224549          9900000000000          0.953406947
346065536839          10000000000000          0.953411996
379418886337          11000000000000          0.953438621
511905471132          15000000000000          0.953527263
643217611048          19000000000000          0.953596753
675895909271          20000000000000          0.953610735
* ~' U8 T; c2 F( b6 v+ n773621469799          23000000000000          0.953652834
4 ~7 \! G4 Z1 l" v* d9 e+ g886674661126          26486412297029          0.953696348
0 E  r$ e7 }& O. j887114276903          26500000000000          0.953696396
900000000000          26898370231697          0.953701247
932911185326          27916701633581          0.953711916
967879555617          29000000000000          0.953724541
! l& e: h% i3 R6 e7 x$ B1000000000000          29996224275833           0.953735935
) f$ w4 G. V# f$ {1000121668853          30000000000000          0.953735897
3204941750802          100000000000000          0.954126498
" }6 U5 x( ~) q& e& m% q; M2 R- J10000000000000          323780508946331           0.954537117
  |; M: q  M1 G9 Y29844570422669          1000000000000000          0.954950335
3 g  ?: E1 V# ]100000000000000          3475385758524527           0.955423492
279238341033925          10000000000000000          0.955833997
547863431950008          20000000000000000          0.956106462
, z& N& {5 T" m; k# ^1000000000000000          37124508045065437           0.956350996
0 \  b  r* \0 ~5 F  }1075292778753150          40000000000000000          0.95638055
/ q2 t% n( n) M5 m( J2623557157654233          100000000000000000          0.956744527
3893882469583623          150000000000000000          0.956905884
10000000000000000          394906913903735329           0.957291265
24739954287740860          1000000000000000000          0.957660554
48645161281738535          2000000000000000000          0.95793517
5 g- d/ |% z2 I' b, B72254704797687083          3000000000000000000          0.95809533
95676260903887607          4000000000000000000          0.958208716
100000000000000000          4185296581467695669           0.958226556
8 s" `  ]! W1 I$ B118959989688273472          5000000000000000000          0.958296529
5 Q7 }0 |* Z) f: c1 J3 ]9 [142135049412622144          6000000000000000000          0.958368158
/ L, s2 Q. t- |$ P# J165220513980969424          7000000000000000000          0.958428646
6 j8 Q# c1 E& S& ~3 e6 ~188229829247429504          8000000000000000000          0.958480986
% A* M$ y7 n$ z211172979243258278          9000000000000000000          0.9585271
. h9 l) c/ w+ u2 W  d  s0 E( R& l234057667276344607          10000000000000000000          0.958568315
460637655126005490          20000000000000000000          0.958838542
; w3 V" W5 t" P; t# q* r; z4 _684559920583084690          30000000000000000000          0.958995813
3 N  w# Y9 t6 N, L706849401776940275          31000000000000000000          0.959008504
2 Y" `1 s  B: ~* Y906790515105576571          40000000000000000000          0.959107022
1000000000000000000          44211790234832169331           0.959145642
1127779923790184543          50000000000000000000          0.959193055
0 \6 G  q6 O5 [! H# e+ N9 o/ h2220819602560918840          100000000000000000000          0.959458995
8 ~3 _* w& ]% A  f9 ^3516585752930430595          160000000000000000000          0.959638155
3731397829842461168          170000000000000000000          0.959661194
5 m( f  G( e$ \$ q3945938652811699917          180000000000000000000          0.9596829
4374267703076959271          200000000000000000000          0.959722871
4588082544160859769          210000000000000000000          0.959741366
+ q' a; w+ E- y$ J& U. W1 S5654086442526321042          260000000000000000000          0.959822191
5866733862193360875          270000000000000000000          0.959836454
6503696293016202398          300000000000000000000          0.95987623
6715709842660010419          310000000000000000000          0.9598886
6927578466326617308          320000000000000000000          0.959900571
8617821096373621600          400000000000000000000          0.959984581
6 N% U( Y6 \3 [10000000000000000000  465675465116607065549   0.96004168
) B/ ]6 O+ ]& Z& G10720710117789005897          500000000000000000000          0.960068355
12814731195053369962          600000000000000000000          0.960136628
21127269486018731928          1000000000000000000000          0.960327059
5 G$ {: k+ T3 J41644391885053857293          2000000000000000000000          0.960583407
82103246362658124007          4000000000000000000000          0.96083734
% j( H3 E) F% ~7 v: S( H' ?  D8 t* H$ S100000000000000000000          4892055594575155744537           0.960910633
- ], N" T0 V+ O2 S, \6 M201467286689315906290          10000000000000000000000          0.961169232
299751248358699805270          15000000000000000000000          0.961314699
397382840070993192736          20000000000000000000000          0.961417385
783964159847056303858          40000000000000000000000          0.961662996
1925320391606803968923          100000000000000000000000    0.96198374
18435599767349200867866      1000000000000000000000000   0.962769828
176846309399143769411680     10000000000000000000000000 0.96352742281009973617214866335650
1699246750872437141327603    100000000000000000000000000 0.96425691176903836741063255218860
从0.2一直上升,虽然区间有所反复,但总体趋势明显,就是趋向于1,即k值为1
所以无穷大时p(n)≈n×(lnn+lnlnn-1)成立
6 e8 Q1 t# ?4 P8 @! K如果一直大下去,比1大,比2大,直至大到lnlnn,这时后两项一减为0,变成了p(n)≈n×lnn这可能吗?
. z- ~% F/ Z2 f& B- W" I5 t我坚持无穷大时p(n)≈n×(lnn+lnlnn-1)
$ e2 W0 }9 }; a

551987369

168*ln(384)=1000,
! a( O3 ]/ n9 I6 P8 Z4 ^6 V8 v* d1229*ln(3417)=10000,
9 x" w! L. u2 l' `9592*ln(33703.41552)=10^5
' j6 a* n/ D8 ]8 h* D455052512*ln(3498099876)≈10^10
p(n)≈n×(lnx),x值有一定的规律,但是还是逮不住它.
p(n)≈n×ln(n*log(n)),这么一算有点大了一点
% a+ v3 E& j; J7 o+ H! xp(n)≈n×ln(n*log(n)-loglog(n)),好一点了,大于10^10还是不理想
7 J& F# Z4 x! `, E' |大于10^10,p(n)≈n×(lnn+lnlnn-0.955),精度又提升了

; D3 U- |$ U4 W/ Q5 O) T+ y

551987369

n*(ln(n*log[10](n))-1/(0.5*log[10](n)))
0.5这个系数到处都出现,只是不那么准确,它在0.4~0.6之间,由于无法预测,只好取0.5了


: Y/ n3 s- o3 h/ V' j

551987369

p(n)=n*(ln(n*logn)-k),log是以10为底的对数
; E/ r; o+ N( g举例子:9592*(ln(9592*log9592)-k)≈10^5
k值从一个负值往上升,-1.62...0.089....0.10...0.105...0.11...0.12...0.13
在0.11之间徘徊了好久,才升至0.12,升幅比较缓慢.
* W7 j: H' b' F: K大胆预测一:p(n)=n*(ln(n*logn)-1)为极限,即无穷大时,k=1
! ^/ e6 R! F# i% R! x; d
& d6 _7 o" J4 V/ }4 X

551987369

p(n)=n*(ln(n*logn)-k),log是以10为底的对数
经过反复计算,这个k值到不了1,极限时,此值为0.16596755475204420019678695214200......
不能比这个再大了