数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
. z8 o- G8 I( W5 w4 J数学建模问题总共分为四类：
1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题

一、粒子群算法（PSO）

算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
PSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。
1 K! A) w$ o; V, H  p. W. p$ E3 X, Q" f7 r
) m0 J5 G# z7 Z* H基本PSO算法

D维空间中，有m个粒子；
粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
  Y# E  r1 U+ k粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)


7 I# J/ [" L1 \: C二、模拟退火算法（SA）

0 Y. R, i  _( ?; Y* @) r) ^2 }( @9 [% R模拟退火过程：
设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。

, o3 I4 k8 k, H- C- g! _1 q5 F0 D三、遗传算法
8 k! }, z1 G, _* k
) r1 k% R5 o. ]3 w- x产生一个初始种群
根据问题的目标函数构造适值函数
根据适应值的好坏不断选择和繁殖
* k4 C5 E2 e0 G若干代后得到适应值最好的个体即为最优解

四、算法步骤
- K: v4 E+ {+ ~5 P初始种群
3 T3 k6 {  `3 d. T编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
  ~& b6 V0 W6 Z* B9 f8 j1 m* K7 I" D2 v- B适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
9 l- N4 D0 h) e. l9 @遗传运算，交叉和变异
选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
停止准则

  E8 i5 g* R2 d: S, p参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105
$ G+ M  f/ r1 ]" E1 ]: H" t2 ?  V+ b# v
四、神经网络算法

和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测

8 F! w$ d4 f8 b0 X6 [- U3 n5 q五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)

又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
优点：
1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
2、局部开发能力强，收敛速度很快。
缺点：
6 m$ h. F3 e$ p4 \3 G' p1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
( R% `/ Z' B' i  H9 \2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。

将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
+ l+ x3 E* ]7 i+ E1 Wa、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
3 O8 v8 X# \3 j2 f& S8 x$ b+ U: Mb、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
+ I# S3 a! v% U5 @2 G8 D3 [(2)初始解的获取
; l. C, [2 z+ e$ L" p( Q- x( N可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
(3)移动邻域
移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
(4)禁忌表
禁忌表的作用：防止搜索出现循环
(5)渴望水平函数
; H' n3 Y/ z+ c$ P+ c  JA(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))

六、蚁群算法（AS）


参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
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作者：_朝闻道_
来源：CSDN

6 Y$ i) Z4 t  Z. [# v2 _: x

4 @0 @) ^6 ~& X
1 V2 q& G0 N* b2 n" B5 k$ l