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第十届华为杯全国研究生数学建模竞赛分析2

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杨利霞        

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  • TA的每日心情
    开心
    2021-8-11 17:59
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    [LV.4]偶尔看看III

    网络挑战赛参赛者

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    自我介绍
    本人女,毕业于内蒙古科技大学,担任文职专业,毕业专业英语。

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    发表于 2019-9-23 10:38 |显示全部楼层
    |招呼Ta 关注Ta
    第十届华为杯全国研究生数学建模竞赛分析2
    % J" X' I( a8 q

    ( N# A! B6 _/ L5 j. R+ P/ r, o( Q6 c5 I
    第十届华为杯全国研究生数学建模竞赛分析
    详述
    4.1.1 Lorentz 曲线的拟合研究
    L ( p) 表示按收入顺序排序后,分位数为 p 之前的人所有收入占总收入的比
    例,则 L ( p ) =
    1
    ò0x tf (t )dt , p = F (x) L ( p) 称为收入分配的 Lorentz 曲线。
    m
    下面先推导 Lorentz 曲线 L ( p) 的一些基本性质:
    L '( p ) [size=12.0000pt]=
    1  d
    ([size=18.0000pt]ò0x tf (t )dt )
    dx
    [size=12.0000pt]=
    1
    xf (x)
    dx
    =
    x
    dF (x )
    [size=12.0000pt]=
    x
    m dx
    dp
    m  dp
    m
    dp
    m
    L ''( p) [size=12.0000pt]=
    1 dx
    [size=12.0000pt]=
    1
    f (x ) dx
    [size=12.0000pt]=
    1
    m dp
    m f (x )
    m f (x)
    dp
    5 y8 H, t4 P) d/ y/ K0 D2 o

    / T: ?4 C+ |; [9 t/ w
    所以得到三条很重要的性质,它建立了分位数 p ,收入 x ,以及分布,密度
    函数之间联系:
    (1) p = F ( x)
    (2) L '( p) =
    x
    m
    (3) L ''( p) =
    1
    m f (x)
    下文会经常用到这些性质。
    由(2)(3)易知 L '( p ) 3 0, L ''( p) 3 0 ,所以 Lorentz 曲线是一个定义在[0,1] 上,
    递增凸函数,并且 L(0) = 0, L(1) =1. 一旦知道了 Lorentz 曲线,那么通过(1)(2)
    (3)可以完全确定密度函数,从而确定整个分布。所以理论上知道了 Lorentz
    曲线就知道了所有信息,而且它是一个递增凸函数,在数学上有一些好性质,所
    以人们偏向于用 Lorentz 曲线来研究.
    4.1.2        10 种模型提出
    关于 Lorentz 曲线的研究已经有许多工作了,也有各种各样的曲线用来估计,
    下面列举十种参考文献提出的模型:
    1、参考文献[1]提出模型: L( p ) = pa eb ( p-1) , a > 0, b > 0
    1
    2、参考文献[2]提出模型: L ( p ) = [1 - (1 - p)a ] b , a > 0, 0 < b £1.
    file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml14040\wps1.png
    3 参考文献[3]提出模型: L( p ) = pA p -1, A > 0
    4、参考文献[4]提出模型: L( p ) = p - Apa (1 - p)b
    5、参考文献[5]提出模型: L( p ) = pa [1 - (1 - p) b ], a 3 0, 0 < b £1.
    6、参考文献[6]提出模型: L( p ) = pa [1 - (1 - p) b ]h , a 3 0, 0 < b £ 1,h 31.
    5

    ' l" @; Y$ V8 ?2 I! M3 G# }) _( R0 D2 W/ E6 s7 R
    7、参考文献[7]提出模型: L ( p ) = p bb--1p , b >1
    file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml14040\wps2.png
    8、参考文献[8]提出模型: L ( p) = el p -1 , l > 0.
    file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml14040\wps3.png
    el -1
    9、参考文献[9]  提出模型 L( p ) = pa + g [1 - a (1 - p ) b ]g , 0 £ a £ 1, a 3 0, 0 < b £ 1, g 31.
    10、参考文献[10]提出模型: L ( p) = t
    (1 + w2 p ) p
    , w1 [size=12.0000pt]< 1, w2
    3 -w1
    , t [size=12.0000pt]=
    1-w1
    1
    - w1 p
    1
    +w2
    4.1.3        各种模型的比较
    下面来介绍一下我们的工作,我们通过观察散点图,觉得应该至少包含一个
    幂次函数,于是猜测 L ( p ) = pa ,当对幂次函数进行最小二乘拟合时发现图像是:
    file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml14040\wps4.png
    1
    0.9
    0.8
    0.7
    0.6
    0.5
    0.4
    0.3
    0.2
    0.1
    00
    0.1
    0.2
    0.3
    0.4
    0.5
    0.6
    0.7
    0.8
    0.9
    1
    前一部分的点在曲线上方,后一部分的点在曲线下方;所以需要乘上一个函
    数进行修正。我们通过观察散点图发现当 p ®1时,曲线的斜率趋向于很大的数。
    6

    9 i& m. ?1 t3 ~; M: P& Q9 J* B
      d" |& {$ @/ a# r- l2 G
    file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml14040\wps5.png
    于是大胆猜测是一条开口向左的抛物线,其方程为:x + (1 - y ) 2  = 1 T y = 1 - file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml14040\wps6.pngfile:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml14040\wps7.png1- x
    因此猜测 L( p ) = pa (1 - (1 - p) b ) ,当然a , b 的范围待定,先假设非负。下面看a , b
    的范围为什么时它是一个凸函数:
    L '( p ) = a pa -1 (1 - (1 - p ) b ) + b pa (1 - p) b -1 3 0 显然;
    L ''( p ) = a (a - 1) pa - 2 (1- (1- p ) b ) + 2ab p a -1 (1- p ) b -1 + b (1- b) p a (1- p)b -2
    = pa - 2 (1- p ) b - 2 [a (a - 1)((1- p ) 2 -b - (1- p ) 2 ) + 2ab p (1- p ) + b (1- b) p2 ]
    所以,为了使得 L ''( p) 3 0 ,仅需要求:
    a (a - 1)((1 - p) 2 -b - (1 - p) 2 ) + 2ab p(1 - p) + b (1 - b) p2  3 0
    p = 1 T b (1 - b ) 3 0 T 0 b £1
    如果 b = 0 T L( p) = 0 不可以,所以 0 < b £1
    下面证明当a 3 0, 0 < b £1时, L( p ) = pa (1 - (1 - p) b ) 确实为递增凸函数。此时需
    要证明:
    a (a - 1)((1 - p) 2 -b - (1 - p) 2 ) + 2ab p(1 - p) + b (1 - b) p2  3 0
    a 31时,因为 (1 - p ) 2 -b - (1 - p) 2  > 0 ,所以上式显然成立;
    当 0 £ a < 1, 0 < b £1时;为证
    a (a - 1)((1 - p) 2 -b - (1 - p) 2 ) + 2ab p(1 - p) + b (1 - b) p2  3 0
    仅需令 x = 1 - p ,化为一个 x 的一元函数,可以用微分法证明它在[0,1] 上大
    于等于 0.(具体过程比较繁琐,此处略去)
    我们构造的模型为 L( p ) = pa (1 - (1 - p) b ) a 3 0, 0 < b £1(4)
    以及 L( p ) = pa (1 - (1 - p) b )g , a 3 1, 0 < b < 1, g > 0. (5)
    同样的道理,可以证明 L( p ) = pa (1 - (1 - p) b )g , a 3 1, 0 < b < 1, g > 0. 为递增凸
    函数,且满足问题中的(9)。
    让我们既欢喜又担忧的是当我们查阅参考文献时,发现此模型(4)已经被
    参考文献文献[11]研究过:
    7

    ! V: z/ H" a2 Z0 a# K: B
    ! x3 {& E& ]/ E
    于是我们推广了(4)得到(5),(5)的特殊形式也被研究过,例如文献[12],
    但此文献中要求 g 31,我们模型不需要这个假定,仅需假定 g > 0 ,但我们要求
    a 31,但在实际问题中,这个要求并不十分过分,因为考虑Lorentz曲线时,如果用单幂函数拟合,那么 L ( p ) = pa 必须要求a 31。
    我们通过(5),可以相当精确地拟合所给的数据点,
    file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml14040\wps8.png
    1
    0.9
    0.8
    0.7
    0.6
    0.5
    0.4
    0.3
    0.2
    0.1
    0
    0
    0.1
    0.2
    0.3
    0.4
    0.5
    0.6
    0.7
    0.8
    0.9
    1
    L( p ) = p1.391 (1 - (1 - p) 0.5186 )0.4786
    MSE = 3.1867e-006;MAE = 0.0015;MAS = 0.0036
    由此可见,用函数族(5)拟合 Lorentz  曲线是相当精确的,最大绝对误差
    在千分之三,平均绝对误差为千分之一点五。

    4 V  G  `$ U/ c
    " f: @" e- X  ?4 v2 Z

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