3 k. D* r. S2 D1 P第十届华为杯全国研究生数学建模竞赛--第三轮问题重述
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& }! _( E' S+ E6 u第十届华为杯全国研究生数学建模竞赛 ----第三轮解析之问题重述 居民收入分配关系到广大民众的生活水平,分配公平程度是广泛关注的话题。其中中等收入人口比重是反映收入分配格局的重要指标。我国处于经济转型期,收入分配格局处于重要的调整期,“橄榄型”收入分配格局正处于形成阶段。因此,监控收入分配格局的变化是经济社会发展的重要课题,例如需要回答,与前年比较,去年的收入分配格局改善了吗?改善了多少?可见实际上需要回答三个问题:什么是“橄榄型”收入分配格局?收入分配格局怎样的变化可以称之为改善?改善了多少?直观上,中间部分人口增加,则收入分配格局向好的方向转化。于是基本问题回答什么是中间部分。 一个国家的收入分配可以用统计分布表示。收入分配经验分析说明,收入分配曲线一般是所谓正偏的,即峰值点向左偏,右端拖一个长尾巴,记对应的分布函数为 F (x) ,则 p = F (x) 表示收入低于或等于 x 的人口比例。由于 F (m) =1file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml5512\wps1.png2 ,意味着收入大于或等于平均收入的人口一定不到半数,因此是少数。 记收入低于或等于 x 的人口群体拥有收入占总收入的比例为 L( p) , L( p) 称之为收入分配的洛伦兹曲线。经济学界采用所谓的洛伦兹曲线模型 L( p,t ) 拟合数据,使用非线性最小二乘法确定其中参数向量 t 的估计值 tˆ ,然后用 tˆ = ˆ L( p, ) L( p) 作为近似的洛伦兹曲线来进行收入分配分析,确定相应的统计密度与分布的估计。也可以使用其他方法(例如多项式、样条函数逼近)来确定洛伦兹曲线,但实践证明使用洛伦兹曲线模型是比较理想的方法之一。经济理论中提出的另一种方法是使用经验分布拟合分组数据而直接形成收入分配的近似分布。 经济理论界考虑取收入落在中位收入 m 的一个范围内的人口为中等收入人口,视这种方法为“收入空间法”。这种方法中 xl 与 xh 的取法具有任意性,由于经济进步,通货膨胀等因素的影响,收入的区间是变化的,更多的情形是所有人 口的收入都提高了,即全社会的收入区间右移,可见 xl 与 xh 的任意性使纵向比较各年的中等收入人口时出现困难。 另一种方法可以视为“人口空间法”,即选择 F (m) =1file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml5512\wps2.png2 邻近的一个范围为中等收入人口,如用 60%的人口所拥有的收入占总收入的比例来描述中等收入人口的状态,此时中等收入人口的收入范围[xl , xh ] 当然容易算得,但也存在收入范围变化带来的问题。为此,需要研究中等收入定位与人口度量问题,请你根据表一中给出的分组数据,用数学模型研究给出的问题: 一.构造满足(9)式的新模型 L( p,t ) ,使得能很好的拟合上述分组数据、反映经济规律。就文献中提出了其他一些模型说明利用这些模型时产生的估计结果优于密度函数的 Kernel 估计法。在现有参考文献中找出至少 10 种模型,与你们 4
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提出的模型进行比较。通过比较,说明你们的模型不差。 二.研究可否改进上述提到的收入空间法,这时需要研究确定中等收入的范围、中等收入人口的范围的科学方法,以克服中等收入区间取法的任意性;研 究可否改进上述提到的人口空间法,例如研究在各年中 p1 与 p2 取不同的值时,纵向比较各年中等收入人口与收入的变动的方法。 三.利用最后表二至表五所附 A, B 两个地区前后两个不同年份的收入分配分组数据,请研究:(1) 对各地区、各年份的中等收入的数量(或范围)、中等收入人口的数量或范围进行定量描述,说明中等收入人口的变化趋势;(2)比较两个地区的中等收入人口、收入等变化情况。 四.除二题中所述方法外,提出中等收入人口的定义、原理及经济学意义,并提出与之相应的中等收入人口的测算方法、模型或指数,说明其经济学意义。 2 n' ?' q/ S& J' o/ A" f
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