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Mathematica-用 ContourPlot3D 绘制多面体

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  • TA的每日心情
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    [LV.4]偶尔看看III

    自我介绍
    数和光的世界

    邮箱绑定达人

    发表于 2020-3-24 15:49 |显示全部楼层
    |招呼Ta 关注Ta |邮箱已经成功绑定
    曲面除了可以用参数方程的形式表示之外,还可以用隐函数的形式表达,即表示为 F(x, y, z) = 0 的解。这种曲面又称之为等值曲面,因为曲面上的每个点都满足 F(x, y, z) = 0 这一条件。Mathematica 提供了绘制等值曲面的函数 ContourPlot3D。不过在这篇文章里,我们并不用它来绘制各种婀娜多姿的曲面,而是尝试用它探索、绘制一些"多面体"。
    # `, d: E1 Z+ ?% H从最简单的开始
    4 j' z( T/ ]" N让我们从最简单的,大家耳熟能详的球面方程开始:
    . H; G! E# |' h; ? 11.jpg
    , C: X0 g" n, v% ]+ m' g6 D+ p/ t
    方程 x^2+y^2+z^2==1 的意义非常简单:每个点到原点的距离都是 1,这就形成了一个球面。相比较之下,球面的参数方程就不是这么简单了:9 w& {; d% G$ o5 n# _8 Y
    多面体; R1 Y; V( y7 F& B0 ?
    从球面方程出发,我们可以看一下更一般的形式,比如 x^n+y^n+z^n==1 的图形是什么样子的:
    5 C/ t$ P& H4 J5 g( g0 s 13.jpg

    2 V1 ^3 ~- ?- r. c: {, a# y可以看到随着 n 的值不断增大,方程表示的曲面越来越接近一个立方体。这是为什么呢?我并不能完全解释,只能提出这么一个猜测。考虑如下表达式:
    ) d' R. ^) i# {3 \; _ 02.png
    9 t' b2 `. l" L( `# y- X4 z! b& y: f
    这是 Lp 范数的定义,当 p 趋向于正无穷时,上述表达式的极限是:
    6 R$ V! m' o0 G! [ 03.png
    6 v: h0 T7 B' ~0 S
    也就是 n 个绝对值中的最大值。把这个结论放到我们的方程 x^n+y^n+z^n==1 上,当 n 不断变大时,在不同方向上就不断接近 | x | == 1、| y | == 1、| z | == 1 三个方程,而这三个方程恰恰是立方体的六个面:x = ±1、y= ±1、z= ±1。根据这个猜测,我们只要能知道多面体各个面的平面方程,就能类比的求得类似上述立方体的“多面体渐近方程”。更进一步的,多面体各个面的平面方程,只要知道面法向量就可以确定平面方程了,如果面法向量是 (a, b, c),则成对的平面方程就是 a x+b y+ c z = ±1。
    利用 PolyhedronData 可定义求各种多面体法向量的函数如下:
    2 }" @6 U3 S, ^, v7 p+ ^
    14.jpg
    0 k. ^2 N4 o2 b
    接下来就让我们用实际计算来验证一下这个猜测吧:" j" w6 v& o8 P2 x
    正八面体
    4 ?' ~5 U# O4 r
    求正八面体的法向量:
    04.png
    ; g' J% V# f' [
    化简并去除方向刚好相反的法向量,因为之前方程的常数项 ±1 可以由一个法向量得到两个相对的面的方程:
    , Y& v  X7 I  T$ I 05.png
    9 I4 {' ]# f) `* O* A) H1 w
    然后就可以根据这个求八面体渐近方程了:
    * `9 }6 F% o  {  n 06.png

    , y$ Y! z+ d3 c3 g% V/ j- F 15.jpg

    9 r4 y6 k' `  n7 q8 z
    正十二面体
    * J+ @9 F& G) g6 }! p; h$ I3 w
    正十二面体的法向量:
    07.png

    ' z) N+ R' ?/ a( b( t6 G5 u, }3 Z' {8 ]
    化简并去除方向刚好相反的:  Q# n8 A; f. e! M: R/ G
    16.jpg
    ' B4 ]# l- y2 ~5 Q
    隐函数表达式:
    0 R; T" l1 Q  {
    08.png
    7 t4 Z# z) S( o% Y
    ( Z/ l) A3 N7 d$ c2 z0 D  }2 W$ k  q
    为了计算方便,我们用数值近似取代根号形式: 09.png
    绘制图形,可以看到,随着次数 n 的不断升高,图形越来越接近正十二面体:$ m7 I2 z: \  T: J5 q% G) o3 |
    17.jpg

    : N" R8 G6 B* P$ L8 {! l6 e: U
    十二面体
    ' K; Y+ S& ?* j5 J( e
    计算各个面的法向量:; o& j3 J0 J+ V+ \7 ~
    10.png
    : w+ l& s* |. Y3 k" l
    化简并去除方向相反的:
    18.jpg
    3 w9 T! m8 M- ^) X, U6 s

    , k  |) \$ F0 i0 n0 B7 K得到方程左侧表达式: 19.jpg

    7 C3 U! h  u5 i) A3 t为了计算方便,取近似值:% Z+ d9 r4 h! |. k
    20.jpg

    . j+ L6 i& J" \3 L0 m$ V8 F2 B
    绘制正二十面体的曲面方程:
    21.jpg
    / E! {& r5 t; ~2 y  Y: _0 s
    绘制正二十面体的曲面方程:
    22.jpg
    * l8 M( c1 z3 J2 `
    复合多面体
    从上面的计算可以看到,根据猜测做的推论基本上是对的:确实据此得到了各种正多面体的渐近方程并成功绘制了出来。但同时也可以看到,这种方法有很多局限性。首先,所生成的多面体必须有平行的相对的面,这样采用的法向量才能一个顶俩,发挥应有的作用得到对应的多面体。五种正多面体里,只有四种满足这个条件,还剩下一个正四面体不能用这种方法表示。其次,用这种方法只能表示凸多面体,所谓凸多面体,就是内部任意两点的连线仍然落在内部的多面体。这两个问题都是可以解决的,解决方法是引入指数函数。
    9 c' u% L  t- h- j
    正四面体
    0 j9 \2 p  Y; s! I% D1 Y9 F
    计算正四面体的法向量:9 G- D' q% q7 k) @  c( d6 F& y
    11.png
    化简:
    12.png
    如果用之前的高次方程的方法,那么只能得到一个朝向比较特别的正八面体,因为每个法向量都生成了两个平面: 13.png

    & f) x. ]' i5 A" H( k' R 23.jpg

    0 y$ a  K8 g5 C. h  N; {% g! b而改用指数,则可得到如下表达式:$ w' A; g. O  h2 i( a" c
    14.png
    ; b" b( e! m0 d- u2 p
    以此作为隐函数果然可以画出正四面体:/ {$ K: J& ?6 _
    24.jpg
    6 Z7 F: N* P9 P/ {4 j: J+ J1 a" b8 R
    为什么这样可行?我也只能给个近似的猜测:对 E^(a x + by + c z)==C 这样的方程,两边取对数就是 a x+ b y+ c z==log C 这就是一个平面的方程,把几个这样的平面方程加起来,就"围成"了一个多面体。而指数的增长保证了每个方向上不会受其它项的影响,保持大体是个平面。

    + r1 a& I/ J  r* Z3 E5 m
    另外还值得指出的是,可以在指数上再加次数,让这样生成的多面体的边缘更加"锐利":

    % Q6 d3 g' x1 W! C; {# E  o5 v 25.jpg

    4 r! v2 [6 |; o$ S1 }! }* T
    星形八面体
    在各种各样的多面体中,有一类多面体可以看作是若干基本的多面体彼此叠合组成,我们称之为复合多面体。比如下图所示的星形八面体,就可以看作两个正四面体彼此叠合而成。
    8 r. z+ S# U/ }; H  X 26.jpg

    $ ~, O8 K. Q* K; @: K7 c! K观察这个复合多面体的面的组成指标可以发现,前四组只包含顶点 2、4、5、8,后四组只包含顶点 1、3、6、7。这恰好是各自组成两个正四面体。我们可以照样算出这八个面的法向量,然后分组各自生成两个正四面体曲面:+ A. l" ~' p* R6 P& m) |* E
    15.png
    ! W9 u% X( T4 o" ]" r
    求法向量,化简并分组:
      C3 P: D9 w9 E# [; M3 p" P3 y7 p 16.png
    0 F0 e  P, |2 @% q* f* s
    得到两个指数和的表达式:
    / t+ r& q- X9 o/ i9 r; x4 | 17.png
    3 F% g: M, ]: [+ m. C" J/ i
    分别绘制可以看到两个正四面体:
    - N- A+ {2 g2 L4 [# E: }; {. C 27.jpg

    + O/ [* X* i) e; T& \0 U如何从这两个四面体得到想要的星形八面体呢?直接相加肯定是不行的,那样得到的就是正八面体了。这里我们采用 The Nature of Mathematics and the Mathematics of Nature 一书中提到的一个小技巧:把两个方程表达式再次放到指数上。这个技巧称为 Exponential Scale:
    $ Z7 }  A" R8 H1 }& K, b 18.png

    + Y  B& V% {/ w可以看到,这个方程确实可以绘制出星形八面体:5 X5 v, D) e- x2 a8 |: u
    28.jpg
    7 ]+ L9 T. z/ a2 @
    可以把旋转观察这个星形八面体曲面的过程输出为动画:
    + q1 k0 b+ f: p 19.png

    5 }! r, |; H; C 20.png
    8 ]  m2 n/ N$ D/ n7 C3 `) A
    微信图片_20200324153944.gif

    4 Y0 k5 W& d1 C% ~9 G& q8 Z
    五复合正四面体

    7 {! ]! X- p* S4 l  U
    我们可以再举一个例子,五复合正四面体,这是由五个正四面体内接于一个正十二面体形成的复合多面体:
    29.jpg

    + H7 D  o0 y( |8 v
    照例求面法向量,化简并分组:
    30.jpg
    - m: v% |: }; D/ s/ ?8 w& w8 t$ j
    3 P4 ?" K* }0 ]' L/ z+ z
    得到方程:
    0 u2 S% y' N4 |( N7 H 31.jpg

    # |5 ?7 [4 y; f: B9 {( ~6 l
    绘制可以得到五复合正四面体的近似曲面(警告:由于项数太多,运行绘制速度很慢,运行时请耐心等待):
    32.jpg

    : g% p* e3 G3 m$ Q
      H- k) w5 N, _9 d' z
    我们也用它生成一个旋转观察的动图:
    33.jpg
    . h2 q" }! E, d0 O' S" b6 V! S8 f, _
    ! i( a2 J1 p; u9 k  f; I/ Y, S  R2 @
    微信图片_20200324154410.gif

    6 f* g5 j9 V* `1 W7 ~* [
    更多的复合多面体
    & Q7 `2 f! o$ j# U+ _' `9 |# C: w
    只要是由凸多面体组成的复合多面体,理论上都可以用上面的方法,先求得各个多面体的方程,然后“抬升”到指数位置,得到复合多面体的方程。Mathematica 提供的PolyhedronData 函数里有许多复合多面体,我全部列在下面,感兴趣的读者可以自己实验生成想要的复合多面体曲面。
    & R; w7 f) m5 x: f- D" s( F, F 21.png
    % y; p, K6 d# }7 {" f4 K
    34.jpg

    & E5 o1 m1 q# C9 P! P4 Y对此有兴趣的,欢迎联系我们共同探讨。; o% L6 x1 a; \8 J
    market@asdoptics.com 5 c! N8 V3 F8 }2 w) d; H
    www.asdoptics.com & A$ v" y# v# W& A. Z

    7 I; U1 {8 u* l: [% A0 K: C
    12.jpg
    zan
    宏心        

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