曲面除了可以用参数方程的形式表示之外,还可以用隐函数的形式表达,即表示为 F(x, y, z) = 0 的解。这种曲面又称之为等值曲面,因为曲面上的每个点都满足 F(x, y, z) = 0 这一条件。Mathematica 提供了绘制等值曲面的函数 ContourPlot3D。不过在这篇文章里,我们并不用它来绘制各种婀娜多姿的曲面,而是尝试用它探索、绘制一些"多面体"。
# `, d: E1 Z+ ?% H从最简单的开始
4 j' z( T/ ]" N让我们从最简单的,大家耳熟能详的球面方程开始:
. H; G! E# |' h; ?
, C: X0 g" n, v% ]+ m' g6 D+ p/ t
方程 x^2+y^2+z^2==1 的意义非常简单:每个点到原点的距离都是 1,这就形成了一个球面。相比较之下,球面的参数方程就不是这么简单了:9 w& {; d% G$ o5 n# _8 Y
多面体; R1 Y; V( y7 F& B0 ?
从球面方程出发,我们可以看一下更一般的形式,比如 x^n+y^n+z^n==1 的图形是什么样子的:
5 C/ t$ P& H4 J5 g( g0 s
2 V1 ^3 ~- ?- r. c: {, a# y可以看到随着 n 的值不断增大,方程表示的曲面越来越接近一个立方体。这是为什么呢?我并不能完全解释,只能提出这么一个猜测。考虑如下表达式:
) d' R. ^) i# {3 \; _
9 t' b2 `. l" L( `# y- X4 z! b& y: f
这是 Lp 范数的定义,当 p 趋向于正无穷时,上述表达式的极限是:
6 R$ V! m' o0 G! [
6 v: h0 T7 B' ~0 S
也就是 n 个绝对值中的最大值。把这个结论放到我们的方程 x^n+y^n+z^n==1 上,当 n 不断变大时,在不同方向上就不断接近 | x | == 1、| y | == 1、| z | == 1 三个方程,而这三个方程恰恰是立方体的六个面:x = ±1、y= ±1、z= ±1。根据这个猜测,我们只要能知道多面体各个面的平面方程,就能类比的求得类似上述立方体的“多面体渐近方程”。更进一步的,多面体各个面的平面方程,只要知道面法向量就可以确定平面方程了,如果面法向量是 (a, b, c),则成对的平面方程就是 a x+b y+ c z = ±1。 利用 PolyhedronData 可定义求各种多面体法向量的函数如下: 2 }" @6 U3 S, ^, v7 p+ ^
0 k. ^2 N4 o2 b
接下来就让我们用实际计算来验证一下这个猜测吧:" j" w6 v& o8 P2 x
正八面体 4 ?' ~5 U# O4 r
求正八面体的法向量:
; g' J% V# f' [
化简并去除方向刚好相反的法向量,因为之前方程的常数项 ±1 可以由一个法向量得到两个相对的面的方程:
, Y& v X7 I T$ I
9 I4 {' ]# f) `* O* A) H1 w
然后就可以根据这个求八面体渐近方程了:
* `9 }6 F% o { n
, y$ Y! z+ d3 c3 g% V/ j- F
9 r4 y6 k' ` n7 q8 z正十二面体 * J+ @9 F& G) g6 }! p; h$ I3 w
正十二面体的法向量:
' z) N+ R' ?/ a( b( t6 G5 u, }3 Z' {8 ]
化简并去除方向刚好相反的: Q# n8 A; f. e! M: R/ G
' B4 ]# l- y2 ~5 Q
隐函数表达式:
0 R; T" l1 Q {
7 t4 Z# z) S( o% Y
( Z/ l) A3 N7 d$ c2 z0 D }2 W$ k q
为了计算方便,我们用数值近似取代根号形式:
绘制图形,可以看到,随着次数 n 的不断升高,图形越来越接近正十二面体:$ m7 I2 z: \ T: J5 q% G) o3 |
: N" R8 G6 B* P$ L8 {! l6 e: U十二面体 ' K; Y+ S& ?* j5 J( e
计算各个面的法向量:; o& j3 J0 J+ V+ \7 ~
: w+ l& s* |. Y3 k" l
化简并去除方向相反的:
3 w9 T! m8 M- ^) X, U6 s
, k |) \$ F0 i0 n0 B7 K得到方程左侧表达式:
7 C3 U! h u5 i) A3 t为了计算方便,取近似值:% Z+ d9 r4 h! |. k
. j+ L6 i& J" \3 L0 m$ V8 F2 B绘制正二十面体的曲面方程:
/ E! {& r5 t; ~2 y Y: _0 s
绘制正二十面体的曲面方程:
* l8 M( c1 z3 J2 `
复合多面体 从上面的计算可以看到,根据猜测做的推论基本上是对的:确实据此得到了各种正多面体的渐近方程并成功绘制了出来。但同时也可以看到,这种方法有很多局限性。首先,所生成的多面体必须有平行的相对的面,这样采用的法向量才能一个顶俩,发挥应有的作用得到对应的多面体。五种正多面体里,只有四种满足这个条件,还剩下一个正四面体不能用这种方法表示。其次,用这种方法只能表示凸多面体,所谓凸多面体,就是内部任意两点的连线仍然落在内部的多面体。这两个问题都是可以解决的,解决方法是引入指数函数。
9 c' u% L t- h- j正四面体 0 j9 \2 p Y; s! I% D1 Y9 F
计算正四面体的法向量:9 G- D' q% q7 k) @ c( d6 F& y
化简:
如果用之前的高次方程的方法,那么只能得到一个朝向比较特别的正八面体,因为每个法向量都生成了两个平面:
& f) x. ]' i5 A" H( k' R
0 y$ a K8 g5 C. h N; {% g! b而改用指数,则可得到如下表达式:$ w' A; g. O h2 i( a" c
; b" b( e! m0 d- u2 p
以此作为隐函数果然可以画出正四面体:/ {$ K: J& ?6 _
6 Z7 F: N* P9 P/ {4 j: J+ J1 a" b8 R
为什么这样可行?我也只能给个近似的猜测:对 E^(a x + by + c z)==C 这样的方程,两边取对数就是 a x+ b y+ c z==log C 这就是一个平面的方程,把几个这样的平面方程加起来,就"围成"了一个多面体。而指数的增长保证了每个方向上不会受其它项的影响,保持大体是个平面。
+ r1 a& I/ J r* Z3 E5 m另外还值得指出的是,可以在指数上再加次数,让这样生成的多面体的边缘更加"锐利":
% Q6 d3 g' x1 W! C; {# E o5 v
4 r! v2 [6 |; o$ S1 }! }* T星形八面体 在各种各样的多面体中,有一类多面体可以看作是若干基本的多面体彼此叠合组成,我们称之为复合多面体。比如下图所示的星形八面体,就可以看作两个正四面体彼此叠合而成。
8 r. z+ S# U/ }; H X
$ ~, O8 K. Q* K; @: K7 c! K观察这个复合多面体的面的组成指标可以发现,前四组只包含顶点 2、4、5、8,后四组只包含顶点 1、3、6、7。这恰好是各自组成两个正四面体。我们可以照样算出这八个面的法向量,然后分组各自生成两个正四面体曲面:+ A. l" ~' p* R6 P& m) |* E
! W9 u% X( T4 o" ]" r
求法向量,化简并分组:
C3 P: D9 w9 E# [; M3 p" P3 y7 p
0 F0 e P, |2 @% q* f* s
得到两个指数和的表达式:
/ t+ r& q- X9 o/ i9 r; x4 |
3 F% g: M, ]: [+ m. C" J/ i
分别绘制可以看到两个正四面体:
- N- A+ {2 g2 L4 [# E: }; {. C
+ O/ [* X* i) e; T& \0 U如何从这两个四面体得到想要的星形八面体呢?直接相加肯定是不行的,那样得到的就是正八面体了。这里我们采用 The Nature of Mathematics and the Mathematics of Nature 一书中提到的一个小技巧:把两个方程表达式再次放到指数上。这个技巧称为 Exponential Scale:
$ Z7 } A" R8 H1 }& K, b
+ Y B& V% {/ w可以看到,这个方程确实可以绘制出星形八面体:5 X5 v, D) e- x2 a8 |: u
7 ]+ L9 T. z/ a2 @
可以把旋转观察这个星形八面体曲面的过程输出为动画:
+ q1 k0 b+ f: p
5 }! r, |; H; C
8 ] m2 n/ N$ D/ n7 C3 `) A
4 Y0 k5 W& d1 C% ~9 G& q8 Z五复合正四面体
7 {! ]! X- p* S4 l U我们可以再举一个例子,五复合正四面体,这是由五个正四面体内接于一个正十二面体形成的复合多面体:
+ H7 D o0 y( |8 v照例求面法向量,化简并分组:
- m: v% |: }; D/ s/ ?8 w& w8 t$ j
3 P4 ?" K* }0 ]' L/ z+ z
得到方程:
0 u2 S% y' N4 |( N7 H
# |5 ?7 [4 y; f: B9 {( ~6 l绘制可以得到五复合正四面体的近似曲面(警告:由于项数太多,运行绘制速度很慢,运行时请耐心等待):
: g% p* e3 G3 m$ Q
H- k) w5 N, _9 d' z我们也用它生成一个旋转观察的动图:
. h2 q" }! E, d0 O' S" b6 V! S8 f, _
! i( a2 J1 p; u9 k f; I/ Y, S R2 @
6 f* g5 j9 V* `1 W7 ~* [更多的复合多面体 & Q7 `2 f! o$ j# U+ _' `9 |# C: w
只要是由凸多面体组成的复合多面体,理论上都可以用上面的方法,先求得各个多面体的方程,然后“抬升”到指数位置,得到复合多面体的方程。Mathematica 提供的PolyhedronData 函数里有许多复合多面体,我全部列在下面,感兴趣的读者可以自己实验生成想要的复合多面体曲面。
& R; w7 f) m5 x: f- D" s( F, F
% y; p, K6 d# }7 {" f4 K
& E5 o1 m1 q# C9 P! P4 Y对此有兴趣的,欢迎联系我们共同探讨。; o% L6 x1 a; \8 J
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7 I; U1 {8 u* l: [% A0 K: C |