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数学建模之图论

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杨利霞        

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    [LV.4]偶尔看看III

    网络挑战赛参赛者

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    自我介绍
    本人女,毕业于内蒙古科技大学,担任文职专业,毕业专业英语。

    群组2018美赛大象算法课程

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    发表于 2020-3-24 16:31 |显示全部楼层
    |招呼Ta 关注Ta

    # |1 d! y1 z  q5 l1 P, k数学建模之图论概览( Y* T+ S2 q+ o: V- G! P9 t' Z
    ; ~& n0 Q: ^/ y: M" W9 R
    问题引入与分析
    2 i$ R5 P0 K6 x+ @! O: [图论的基本概念
    7 _; u* d6 d/ `" `; n" w. H* A# p6 Q最短路问题及算法9 C' j% Q6 }8 G6 Z/ {
    最小生成树及算法/ [  k1 N& H. A$ X+ {1 m5 w+ o
    旅行售货员问题
    / Z0 {; |& [* l$ u模型建立与求解
    7 w& q( U# ^( b! F% R1.        问题引入与分析
    8 N$ m' r6 N1 E0 \8 k' ]) ~" O! [# ^
    1) 98年全国大学生数学建模竞赛B题“最佳灾情巡视路线”中的前两个问题是这样的:
    " [1 Z. i% y! A* z; r
    . a- _# L# o; _5 c: U今年(1998年)夏天某县遭受水灾. 为考察灾情、组织自救,县领导决定,带领有关部门负责人到全县各乡(镇)、村巡视. 巡视路线指从县政府所在地出发,走遍各乡(镇)、村,又回到县政府所在地的路线.
    " q4 s5 o5 R# U0 y3 ua. 若分三组(路)巡视,试设计总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线。: ~& Y- z7 A- T
    b. 假定巡视人员在各乡(镇)停留时间T=2小时,在各村停留时间t=1小时,汽车行驶速度V =35公里/小时. 要在24小时内完成巡视,至少应分几组;给出这种分组下最佳的巡视路线.# |# i- l! E8 V) a, C1 L4 r9 M: q

    0 y# g, k% n: T& u0 R( X  e7 b
    1 E( T) v( B0 Z' D. c9 U/ v公路边的数字为该路段的公里。2 s2 U) I: q# u  o) g+ A1 m

    ! L  c8 V5 j# _+ t$ z" C2 n8 w2) 问题分析:
      e! K) ]) s) B9 r% P" [; k; J( L+ ^. ^  z7 ^# W) F) o
    本题给出了某县的公路网络图,要求的是在不同的条件下,灾情巡视的最佳分组方案和路线.
    ( {8 i6 j9 Y0 \. Q& g将每个乡(镇)或村看作一个图的顶点,各乡镇、村之间的公路看作此图对应顶点间的边,各条公路的长度(或行驶时间)看作对应边上的权,所给公路网就转化为加权网络图,问题就转化图论中一类称之为旅行售货员问题,即在给定的加权网络图中寻找从给定点O出发,行遍所有顶点至少一次- |3 P" F/ {. j. [+ I1 M1 B$ k: [
    再回到点O,使得总权(路程或时间)最小.
    . n" b/ f- t# E+ @0 s$ F" P  g8 k
    本题是旅行售货员问题的延伸-多旅行售货员问题.  i5 Z" q6 `& `! e% r7 k$ C' k' l
    本题所求的分组巡视的最佳路线,也就是m条经过同一点并覆盖所有其他顶点又使边权之和达到最小的闭链(闭迹).+ R& y2 b! B$ w( T, ?
    如第一问是三个旅行售货员问题,第二问是四个旅行售货员问题.
    2 N3 K: X+ y+ X3 o, S6 U众所周知,旅行售货员问题属于NP完全问题,即求解没有多项式时间算法.7 M- ]+ }; ?1 y/ q5 i/ f4 X( S
    显然本问题更应属于NP完全问题. 有鉴于此,一定要针对问题的实际特点寻找简便方法,想找到解决此类问题的一般方法是不现实的,对于规模较大的问题可使用近似算法来求得近似最优解.- `* |5 T0 e, \. w$ D$ ]' u' v

    % ]; F$ \8 M, |! K1 b6 Z3 W) t3 b' g2.        图论的基本概念
    8 z. M* L% {& j+ O$ [- V+ o# z- F* q* ]" x5 W  P- {1 J
    图的概念, _) G: x  v# b- b. z
    赋权图与子图% q* `' \  l3 q3 _
    图的矩阵表示" r1 b3 W+ F2 _1 _. G
    图的顶点度7 y6 D  P  w5 d# x( P) A3 N
    路和连通
    9 j' a5 J) Q2 {: C+ `1 W) S4 t1) 图的概念3 D' z! h& k+ }

    ' A0 N% y- s" z* u+ |4 n
    1 c& Y% i7 o& q+ [- j
    4 o: T6 s2 x& @. X  K2 \9 S# E' i' \# Q3 @8 |! ^* k
    + M4 q. D5 W1 M" D

    ! M( K9 f- ]9 P; x- e0 |. r$ l! |- j" v$ k
    8 _* u9 k7 Y# l! e3 H: e$ ]% K

    ) ~* o- t9 W5 n- m, U# |- S
    % C, e9 j  N& R- y3 J7 K$ C& u2 G3 f) H9 }7 }2 ?$ A' h

    - i) h+ u. z( o) {& b9 @2 l# Q8 E: M) M# p( I( I, S
    / W$ y$ f  s+ O. o1 p7 k

    0 A8 g( u  c( c1 {+ X' w+ E
    1 e  I6 e' Y* O4 A( C' ~4 N1 {1 L
    # |3 B# N! k) r# z! H5 K+ u( d; l- c
    ! x! O+ c7 A) U& a

    6 v( e* p% F* F  v+ v2 l! B  e8 G5 M
    % V4 {1 F1 Z$ D7 R. m9 ]! k
    7 w" |' o" f, J$ a2 c/ B7 R! r- \
    1 C. v9 M5 f5 a& x' b
    4 t2 X3 a$ D: j  {/ a9 }* r: h
    3 F6 K- C! {3 u- M

    ! m2 b. S8 H( H1 b% Y& y% h. o2 r& O) ~3 g8 J3 \

    % i5 t% h6 H" E1 F7 m2 }( W; C$ N, B( X
    3. 最短路
    + k  H- l/ r* [" Y* ?6 d4 V; x8 h$ I
    Dijkstra算法4 [9 m+ ]/ [6 z
    7 U* h+ M# z0 G+ [3 M

    7 @% j: p9 F; P
    ( Q" W* u1 }2 {4 i7 H- o, `) L2 ~Floyd算法
    + Y  o% ^- X# X: z9 m! E
    2 q; f/ y( p7 Z- w# ?算法的基本思想( I7 l2 ^- s" d% \- r
    , ~3 n  h; g4 ^. a
    直接在图的带权邻接矩阵中用插入顶点的方法依次构造出ν 个矩阵D(1)、D(2)、…、D(ν) D(1)、 D(2)、 … 、D(ν)D(1)、D(2)、…、D(ν),使最后得到的矩阵 D(ν) D(ν )D(ν)成为图的距离矩阵,同时也求出插入点矩阵以便得到两点间的最短路径。
    2 `7 Q8 B8 I; x4 |2 P* q) {4 j* @(I)求距离矩阵的方法.
    ( e6 _$ q6 Y# P% x(II)求路径矩阵的方法.0 j- b( T9 k, [* H6 Z
    (III)查找最短路路径的方法.. O1 @. n; j" X' g* Y( P3 q# u7 I

    & Q- n6 u, ^' o. ~! `Floyd有两个矩阵,一个是D矩阵(代表距离),一个是R矩阵(代表中介点)
    ) v5 K0 E5 A5 `5 ?! s/ B4 ?- r/ [- C: {# \5 t1 C: ]
    1 V# M4 l5 q/ q8 {5 M+ H8 Q. ]
    9 \6 W0 e$ H# a. f& \

    - S* u: S! t5 S在这里相当于v1 v_1v
    7 c, i3 @+ f: e: v0 o" A) l- N1
    ) T4 l* \3 q0 h3 E0 A7 e​        ; \2 N- E% p5 I
    被打通了,此时v1 v_1v
    ' n3 w6 b& A7 ^( l4 k1" e/ p, z9 r2 W2 p
    ​        4 H* x( W' }0 o9 w& O0 H
    就可以作为中介点连接。# @$ k. x+ @2 O4 e% A  u
    于是遍历和v1 v_1v ' o+ x+ n* K% j3 U6 G8 P1 ~1 V8 X) V  p
    1
    * ?- {- c. f. X  ]: N% Y1 t) D​       
    # Q+ ?3 ]- L0 [ 连接的点,例如此时遍历到v2 v_2v $ D8 b% G1 ^* H# T
    2+ e( L2 t/ z5 j! W1 e# b
    ​        $ N. K0 R9 |; b: l9 N3 |& \
    7 t, `6 R) ^3 T5 `* T- I3 K
    然后再以v2 v_2v
    , B9 r8 J, }2 g2
    1 M# t9 J0 r$ E: L9 ~9 N; q3 C​        . @) l- Q8 i) Q' R- s( }! Q
    为基准,遍历和v1 v_1v 6 n7 `% Z+ T" @2 b: A7 u0 \9 s+ E
    1
    ) Z; r+ ^* U2 C; U; v​       
    / ^# K8 G" c! k0 h# B  y; d 连接的点。
    7 G/ D9 X) y7 s7 _. b1 u2 J! d所有遍历到的点都尝试一下是否可以变化距离矩阵,如果可以变化,那么再他们的中介点矩阵上打入"1"的标记。
    2 H4 r' N$ j1 D; ]# d& s. b6 M+ ?8 ]2 T8 H9 d$ M

    : @# o* q3 R: H6 W7 e
    . J; T# |" V! d8 L- P7 D( a# V, Y9 s- a, s/ Q/ Z! N2 u

    ! b8 b2 ^. K7 P
    ; a1 e. b$ s8 Y: ]
    7 m0 e4 k  W$ b% |: G3 x4 t" L4 J2 S/ ?) e/ ~% G

    ; {5 {, ^! _* e# r这里的逻辑是这样的:
    " u9 q+ V/ d! V' f最小生成树
    ; L0 ]$ z3 e- v  ]  H+ N7 z2 J) z2 o2 W7 G5 \2 |% q4 C
    (略)0 a! K$ B' J" g, K+ S/ b
    ————————————————
    ' K" O& R. Y7 s9 S# ?版权声明:本文为CSDN博主「Mr. Water」的原创文章,遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。6 k, ^1 K. M+ X* m# A3 ]- Q: _5 q
    原文链接:https://blog.csdn.net/narcissus2_/article/details/1000221825 H9 v2 B; \6 P' u

    . N6 o% \1 J* \4 I
    1 p% x! P" s5 z) p; m4 J
    zan
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