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TA的每日心情 | 开心 2021-8-11 17:59 |
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签到天数: 17 天 [LV.4]偶尔看看III 网络挑战赛参赛者 网络挑战赛参赛者 - 自我介绍
- 本人女,毕业于内蒙古科技大学,担任文职专业,毕业专业英语。
群组: 2018美赛大象算法课程 群组: 2018美赛护航培训课程 群组: 2019年 数学中国站长建 群组: 2019年数据分析师课程 群组: 2018年大象老师国赛优 |
数学建模十大算法漫谈 , i# |, q, f9 F1 f7 L+ s
. a) ^% z7 A- U" Z* h
4 S& C- z, c2 K) M5 p作者:July 二零一一年一月二十九日- l0 D! y7 Q# l- ^' z
; [: d- l$ m4 q3 L i. V( ^
本文参考:
- f3 w: L" N, ?: F: AI、 细数二十世纪最伟大的十大算法 [译者:本人July]/ R F; \, D" o0 \$ G: Y
II、 本BLOG内 经典算法研究系列
# @5 C) Q7 Y0 x! J- j) r6 J. p+ G9 qIII、维基百科; n; T/ T; M9 n! Z+ B$ U) W
& D+ L [- f7 A& z3 A------------------------------------------; e9 m6 z( S }8 q
; n: |& \$ B+ M博主说明:
8 W) i+ l! }2 F3 P8 m" x; f1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写,本文对此十大算法作一一简单介绍。0 _4 W$ L7 R1 C2 m
这只是一份榜单而已,数学建模中还有很多的算法,未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。
% K' D% [& ^6 V f8 \5 G( _9 E2、在具体阐述每一算法的应用时,除了列出常见的应用之外,
; L0 G% h$ s7 D# M同时,还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。
5 O7 s7 }) q* `8 w" B! u: t( p毕竟,此十大算法,在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。
9 A/ m5 _! H5 B+ n$ b( a( y; a且,凡是标着“某某年某国某题”,即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。
% @; N: a1 J% i3、此十大算法,在一些经典的算法设计书籍上,无过多阐述。4 L) i2 m% r# a: a/ [: K' r
若要具体细致的深入研究,还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。) _* q& l6 d# P+ Q% ?
谢谢。
) \7 }$ a |" G; a+ P! w8 W7 M2 W* ]- [6 G6 Z7 }- _
]4 k( i$ U4 I
) X" t5 L5 G' h' V, H
) ?. n; D9 o. A& N: k
$ t! y5 b( {- b; `3 D: K" y一、蒙特卡罗算法
/ ~- d; l! u# J! k4 |1946年,美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis5 i, j5 a% N3 i5 s1 ]
共同发明了,蒙特卡罗方法。/ v" t! N, d; ~' r! E' O
4 J2 E$ M1 b: e" _8 [" R6 \1 `
/ T/ W- g( |2 j" Z, C
此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一,详情,请参见我的博文:9 p+ w# ]& |9 v7 r* ?
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx, s1 j. [' h" ]/ h% F1 n0 k
, a. p/ u# ]# v% x/ F6 Y( a" Q% y) r) n3 s) R4 r: Q2 Y0 n3 o
" f. c$ G/ N- _' G3 G, _; E1 D& W蒙特卡罗方法(Monte Carlo method),又称随机抽样或统计模拟方法,是一种以概率统计理论为指导6 _% X/ u: S- H" h
; s2 c: Y% d% Y! T/ ~4 k的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数(或更常见的伪随机数)来解决很多计算问题的方
/ m' |+ N" V ~ W" k! A9 [8 l5 |, W! F
法。5 ]' ~, N& d$ k$ M" [6 G# ?( [
* B/ e" B$ ]* E# {% ~ {# Q. V. u. m7 W
! F. l& G" T% h7 z" n, V9 k, _. q
由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程,很难得到满意的结果,而蒙特卡罗方法由于能够真+ k' l! u: ~$ ?3 ]4 @2 |3 k& W. B
9 g1 n1 P4 }: m& C2 l" e
实地模拟实际物理过程,故解决问题与实际非常符合,可以得到很圆满的结果。
+ @1 p3 Y1 q. T4 A" R
* B2 o+ H8 m) @1 F; u% @$ U蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下:
A% y' a8 s, B7 v. V# F% P" c' [当所求解问题是某种随机事件出现的概率,或者是某个随机变量的期望值时,通过某种“实验”的方法
f! u: s* L# `) Y1 o' `
% L9 }3 Z0 p& s5 v3 Y( K,以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率,或者得到这个随机变量的某些数字特征,并将其作
C' |. {* [* L" L! c( q o6 W
4 S8 @6 S6 V% s& {+ m2 w$ t8 C% o为问题的解。3 `9 Z- e' f* O+ w! E9 a
' I0 b, i' n) b! k4 w, L
! a% V4 e0 C" T; _( g, ~0 h$ r' z: o3 B% X8 G e' H6 h, ]0 N1 r$ w* Z
有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法:
6 {4 U) w8 J- h( N5 @假设我们要计算一个不规则图形的面积,那么图形的不规则程度和分析性计算(比如,积分)的复杂程
, \" S! Q9 S$ D, u4 h8 ]' {/ H
1 `6 c4 j$ L# B1 B度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢?假想你有一袋豆子,把豆子均匀地朝这个图形上撒,然' n B4 i5 M# m# N' ]1 x$ ?: ^
; }2 D2 |1 A x F0 C
后数这个图形之中有多少颗豆子,这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小,撒的越多的时候
5 t+ t3 W! b. r/ @- B2 O# p |' H; Q. w! a
,结果就越精确。
3 r/ y1 i% S5 o: c! e( u. l在这里我们要假定豆子都在一个平面上,相互之间没有重叠。
s1 P) H7 ~# Z: L" h" @0 S0 P) s+ P: n0 m) b. y4 b1 Q
1 R# x! d5 B5 F1 ?2 H6 u1 n) Z蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征,利用数学方法来加以模拟,即进行一种数字模
5 |5 }7 B' S! u; ^7 G. u1 I) u: p! ?" [( B e2 P
拟实验。它是以一个概率模型为基础,按照这个模型所描绘的过程,通过模拟实验的结果,作为问题的
6 Q2 E( m* h7 M+ ?1 R( ^. [0 H( o9 V5 |2 J
近似解。
4 G: Y0 h/ z2 a) A" q) t, X) G- y
* q/ V; q! D* ^1 s! H" z
( f/ W6 N+ F6 f" r" r3 c/ ^蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别,一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难,而4 U, b, f! r7 Y; N { M& q
; b8 r: @/ B& R) I- j蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下:
5 ?+ d8 L( ^3 `3 {* ]& c9 cI、 直接追踪粒子,物理思路清晰,易于理解。
# L% I) p- c7 o e YII、 采用随机抽样的方法,较真切的模拟粒子输运的过程,反映了统计涨落的规律。
- Z0 {$ B+ S7 R& [: w( o8 cIII、不受系统多维、多因素等复杂性的限制,是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。
# D1 E* Q* E( m等等。$ p9 z0 V! i" [, R
3 O/ \/ w$ X. B9 m: r2 b此算法,日后还会在本BLOG 内详细阐述。+ h) E9 Q6 h; O! _% y
4 [3 E( c# t# a/ Q4 I! R4 v
; G; y# H7 z! e- M; N+ T2 s# k; b. E4 p" v
5 x: ]/ m2 {* k+ @二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
8 o; s [8 Y- N% @1 P. h我们通常会遇到大量的数据需要处理, 而处理数据的关键就在于这些算法,通常使用Matlab作为工具。
: E: O @5 A- O+ ?. R" q7 P) g
( j7 S8 x" f/ `3 x/ W数据拟合在数学建模比赛中中有应用,与图形处理有关的问题很多与拟合有关系,一个例子就是98年数
" o5 y- w& k1 R2 m1 V' [/ @. |7 z8 j1 Q) p
学建模美国赛A题,生物组织切片的三维插值处理,94年A题逢山开路,山体海拔高度的插值计算,还有
1 I+ B8 M! e1 [* Y* J
; {/ ^- {+ b7 B吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法,观察数据的走向进行处理。. s2 A$ o8 r2 `
C2 L" ]0 v( _: }6 ^6 ?) O }8 [% x( T7 b4 f
) ?: {1 P5 T$ @4 B7 I- A) ]此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用,熟悉MATLAB,这些方法都能游刃有余的用好。
& V, J9 D& B8 V7 {8 V* F8 A k- N* y5 c( X
1 }( C! S$ d# I3 { ]: a
; j8 P4 L: g/ ~/ Z( _$ M V
1 x8 ^7 [: B0 V% s$ E) O" i) @三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
7 { U1 w5 |# k& k8 |+ @: v数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关,可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件) g3 h$ C. Z9 \- \
5 @2 L5 A& i4 d) \. J/ N# X
、几个函数表达式作为目标函数的问题,遇到这类问题,求解就是关键了,比如98年B题,用很多不等式- C) e B; {0 C9 o A, b
# D1 T; R8 a) V7 N
完全可以把问题刻画清楚,因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便,所以还
' Z% a# T! x( i* O+ c8 N( `
$ r, J3 w6 w4 t1 j2 j# \需要熟悉这两个软件。
" a! F* Q3 J! r6 ?( }# V
" ]9 J$ S/ g( g; X# M( P
: v8 [# A$ {8 G \5 p+ ]
4 D: P3 D+ j" e: h Z& l7 M) {+ l0 ?
1 k3 ]* R% x5 v. n& a9 [& d四、图论算法7 `. n) I/ F& f; H5 M3 w
这类问题算法有很多,0 i' M" C( ?% }
包括: Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ,最大流,二分匹配等问题。" q, m4 |; p, i6 @. O
* ?( ~6 l$ X6 x9 E) i3 u' H1 G( d/ E1 V9 {% ^3 o
\# [5 @ J4 P关于此类图论算法,可参考Introduction to Algorithms--算法导论,关于图算法的第22章-第26章。
/ j+ ]8 e7 y6 J8 ~- Y2 s Q同时,本BLOG内经典算法研究系列,对Dijkstra算法有所简单描述,
2 r! Z+ ] q2 I7 `5 X( y-----------
9 h$ |) y2 N, e$ {3 c0 r# L+ T; p经典算法研究系列:二、Dijkstra 算法初探3 |! G- w8 s" g) J7 M, c7 h8 Q
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/24/6096981.aspx( w3 X- q0 i- s( I) k; r6 n0 U
+ u, j. P. f- l更多,请关注本BLOG 日后更新的博文。
, S4 K* P L* ]
8 k6 H* V* b' P+ F* X q* J% U
2 i* n* K! ~7 b- p
2 b6 c5 S0 L8 v" O Q
3 {' h4 f6 v& j+ Q2 L h五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法 v$ V: ]; P0 v+ O6 I
在数学建模竞赛中,如:92 年B题用分枝定界法, 97年B题是典型的动态规划问题,5 ]! b9 v1 n; u- o% z* T p" L
此外 98 年 B 题体现了分治算法。
! e E# }2 O# M- O9 M
1 c/ d/ a4 q# t8 [# ^- z) Y* W2 i8 J' ~, n2 T' j+ [8 |
这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似,3 b3 C" K+ ~. t5 e( L9 t% z$ K3 i
推荐看一下算法导论,与《计算机算法设计与分析》(电子工业出版社)等与计算机算法有关的书。
$ k: V. y0 H, l9 A, F2 H/ p! O1 C1 ]$ F3 T6 l
9 @& K8 y% Q- d' J0 F3 _
% n0 W6 |: i3 a2 r7 R- B
1 W# D9 U' [' c: E- L6 ?8 @8 G六、最优化理论的三大经典算法:模拟退火法、神经网络、遗传算法 ; V/ B1 T- q- q1 k$ I
这十几年来最优化理论有了飞速发展,模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。
" X3 M, H0 \/ L1 O2 r3 R: D; g2 S& q3 `6 l4 t- a
在数学建模竞赛中:比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法,01年B题这种难题也可
+ C" E: e/ M) ^- a* Q4 \
8 A3 t- @" M, P以使用神经网络,还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系,当时是86年刚提出BP算法,89年就考了,. x2 ]# b& K6 \1 p3 j3 |
9 `) `+ P( U. }4 g4 o6 l* q说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。
; h4 V# a! V: d# {! E; z03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题,目前算法最佳的是遗传算法。
5 F N5 l6 R9 h+ T! A( ~: G3 P' ]! m: O1 l1 s
; q/ z$ c+ ~$ ^# I
' x4 N+ ?) Q" ], x
另,本人对人工智能非常感兴趣,遗传算法已在本BLOG内有所阐述,敬请参见。; S7 k, X# y8 o( g: T$ \; ?
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0 e1 l' `5 v# d" V& D经典算法研究系列:七、深入浅出遗传算法,透析GA本质
`: K3 ^6 f! t2 phttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/12/6132775.aspx
2 G' X6 N5 G4 q) \; B @$ j }1 s1 }5 T$ I" J' n, ^
* V2 i' H4 u, m1 J3 Y1 ^! d8 o
6 A6 K/ D* y; {5 s3 D7 U. `
其它俩大算法,模拟退火法,与神经网络,也定会在本BLOG内日后的博文更新中,详细阐述。( F. ?8 U3 ?# _
$ q9 @' v/ T# v* }' g4 ] D& C# n2 D3 S3 H* \4 t
( }: f2 y: ]' L. e+ `3 ~* t- F$ i* G# E- k
七、网格算法和穷举法
3 \ b J9 v) B网格算法和穷举法一样,只是网格法是连续问题的穷举。
0 N6 j: R8 y9 c: Y* h' U. S& V: S比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题,那么对这些变量可取的空间进行采点,
% M& H. e3 P( [比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点,就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ¢ ( b ? a ) =M ; …;b) W! T* D; v9 f) R$ z2 n
! g, ~. Q8 P! H3 X3 ^
那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算,所以计算量很大。
! f; |0 g* ~% n: a. v r( o1 O. k8 T! D, R: W4 R% P
4 ^; n& j5 H: _8 c/ B& V: d在数学建模竞赛中:比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索,这种方法最好在运算速度较
% S. O& C( X- k- P$ ]) c, F% y( I; m; S" h: t& C
快的计算机中进行,还有要用高级语言来做,最好不要用 MATLAB 做网格,否则会算很久。
5 |& ]7 p+ ~$ d, C, W/ L
' D2 I6 b) e" L. e穷举法大家都熟悉,自不用多说了。 7 G; N- y$ D. |$ O2 f4 j3 v
e8 F' X$ H, W8 `: t+ e
4 \5 V3 M& f: \% x# L( }. d' k- k% k5 C, z/ u) v4 b; B3 @, d
: C2 o7 M: F9 C% i: `八、一些连续离散化方法
4 |! y* d* a8 F) v" N大部分物理问题的编程解决,都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界
* s5 @6 b! L% S$ o4 E+ c# s+ {
" ?9 L3 w) ?% n$ b0 s2 T1 \中,计算机只能处理离散的量,所以需要对连续量进行离散处理。- A7 ?% k9 | j
' n. a6 F) o# Y7 o) [2 Y9 M K' |) {8 e* M
这种方法应用很广,而且和上面的很多算法有关。% f! L/ J6 B$ }8 `
事实上,网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。
0 T6 |* t& {2 o/ M, n3 m' @- T7 S, ?: u& H* x3 n
+ {* C2 h/ _! e) {" t( l- }4 c' ^
* y" O+ t1 q" X& y. a& j0 }1 E3 X! u
九、数值分析算法" `) z/ O4 p8 }5 F! e
数值分析(numerical analysis),是数学的一个分支,主要研究连续数学(区别于离散数学)问题的
1 B/ n" ?. l& B
8 Z% e/ \% H2 ]9 [2 o6 q4 G算法。
; U5 f& u; S* P. _5 _" E5 Z
% R1 ]% u8 p$ r/ X如果在比赛中采用高级语言进行编程的话,那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、
6 `0 g( U" q% F4 l% Y! K- B9 x
, J9 H8 b+ C! d& S函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
9 ]3 p& @) \) p) U: k' b
7 E. W' w2 O% F这类算法是针对高级语言而专门设的,如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ,大可不必准备,
% h* k: c- [ z3 u因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。) x/ K) K$ P( m/ O( X1 M2 K5 }
7 e4 m- N( Y4 L# @$ Y
5 ^: b/ b% ^1 d G2 I& l
+ w& ~" Y ~/ M- v1 L4 s/ s0 h: y
; \9 d- |8 `- b- n
十、图象处理算法
4 [: c* ~$ M# `! P* [在数学建模竞赛中:比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值
, e3 v% Y. _: w8 A7 Y6 S; t9 h4 X* g5 T; T- G( z$ _
计算, 03 年 B 题要求更高,不但需要编程计算还要进行处理,而数模论文中也有很多图片需要展示,( H" E" {8 `: L, L9 ?. g6 y' [
1 m* ^* U" O9 ~1 T因此图象处理就是关键。做好这类问题,重要的是把MATLAB 学好,特别是图象处理的部分。% u. |, p# Q( A1 C
, b, y% S( Y" E( S3 n$ C0 `3 n) |
' S& {1 i2 @7 d6 ~' l
: A0 C( `8 u0 R此数学建模十大算法的程序源码打包,请于此处下载:/ M7 N, D4 g$ `+ l3 V7 g7 M% |. R5 q
http://download.csdn.net/source/3007336
- e& S* X( G9 e: T1 y/ u
6 v/ a" B8 [/ _' a
' ?5 v, Q3 i3 J. Y3 k( U# D" C6 m( t' ?$ A
本人对算法,尤其感兴趣,且日渐愈浓,
4 [ K) p4 j( q; Y( L% }* S日后,更多的、好的、经典实用算法将会在本BLOG内有所详细而细致入微的阐述与深入研究。
K5 D; K4 L, Q- u完。+ r' H; F8 f) n4 w5 a. ^. Q$ G
1 b0 j# M) c- K/ R
9 G |) R. \5 M& Q) \; D) i- S. {+ R) c5 v0 w
w( s) L% R2 |: W& Y6 L% X1 u1 @
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作者声明:
9 x& @2 k! P% x; B( G9 L7 E本人July对本博客所有任何文章、内容和资料享有版权,
W' ?. Y& v3 x5 N8 m. C转载请注明作者本人July及出处。谢谢。二零一一年一月二十九日。
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6 r/ z ?+ O; L# s版权声明:本文为CSDN博主「v_JULY_v」的原创文章,遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。( l! k1 L$ u* Y3 a* A9 X7 W2 R- Q* D
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; L5 @1 V) S+ W* J. c0 R4 e* v1 D7 a
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