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TA的每日心情 | 开心 2020-11-14 17:15 |
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签到天数: 74 天 [LV.6]常住居民II
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1 两个指定顶点之间的最短路径
6 D2 v: ?& r# t8 T; }. T9 w问题如下:给出了一个连接若干个城镇的铁路网络,在这个网络的两个指定城镇间, 找一条最短铁路线。2 o$ y7 V0 O! O* E# S7 L3 s4 s
6 ^1 s, [1 L( e& V, W- T
" t: |6 _% Z4 a5 ~+ z6 P
- \! d1 N! j. I8 {9 y. [Dijkstra算法
( F2 Z2 l5 C4 r# J) j& I! t9 T2 a5 ?" u; s; W4 b6 X
) A2 h: L1 I- ^+ U
例1 某公司在六个城市 中有分公司,从 到 的直接航程票价记在如下矩阵的 位置上。 (∞表示无直接航路),请帮助该公司设计一张城市 到其它城市间的票价便宜的路线图。
) y' U% m: |' }$ n& Q6 d. Q% u* D9 B0 `) _4 N
: S9 L8 [+ @( N, k5 s
h* ` w% m& p解 用矩阵 (n为顶点个数)存放各边权的邻接矩阵,行向量 分别用来存放P 标号信息、标号顶点顺序、标号顶点索引、短通路的值。其中分量
! q$ _& n* S$ |8 a% o( G
' i1 V5 j8 x1 D5 C% U
9 w+ D8 m* W: v) L! \+ s- x! E( K( {; q1 b5 z+ J& y
求第一个城市到其它城市的短路径的 Matlab 程序如下: 1 S/ E+ e/ Y/ n
7 `& y7 S5 Y8 jclc,clear
- u: H8 P7 R9 r" ]. y3 F3 Ea=zeros(6); l# a, Z) B. z& h/ Q) R% Q
a(1,2)=50;a(1,4)=40;a(1,5)=25;a(1,6)=10;
2 J# k4 J9 B, K+ f( Fa(2,3)=15;a(2,4)=20;a(2,6)=25;
3 i1 h( n$ \6 W& ja(3,4)=10;a(3,5)=20;
- F6 h, }9 K+ m) L# t+ wa(4,5)=10;a(4,6)=25;
! B- b$ o0 F' q, ?9 j/ M$ Ka(5,6)=55;$ ]5 S4 m' q6 j" p8 D( X( k
a=a+a';
1 A& N1 P' T1 r- C7 Ca(find(a==0))=inf;
# K, L. }; v0 G9 spb(1:length(a))=0;pb(1)=1;index1=1;index2=ones(1,length(a));) @& x( W1 K+ V$ Z4 S% A& Q! o7 i
d(1:length(a))=inf;d(1)=0;temp=1;0 U1 @5 Q# q' `, V! E# ]& Y, I
while sum(pb)<length(a)( t9 Y T2 v1 ?
tb=find(pb==0);" \( t7 ]2 K# p+ `8 J
d(tb)=min(d(tb),d(temp)+a(temp,tb));
- E! _0 ?- v$ Z4 K( L2 z* n tmpb=find(d(tb)==min(d(tb)));
+ a. U0 n+ U, c% ^ temp=tb(tmpb(1));% j% I ^5 K; o
pb(temp)=1;
' r8 U0 s! R" Q' z$ Y index1=[index1,temp];& H' f o9 J2 X+ H! a; M4 k+ ?
temp2=find(d(index1)==d(temp)-a(temp,index1));
7 Q! {" p5 v' J+ V) I/ r index2(temp)=index1(temp2(1));
+ d p3 N, m8 t, g6 jend% _$ M! N0 z" t# b
d, index1, index24 _9 U# l' t, X# o4 L
& z2 @ E, C- W! w' @
2 两个指定顶点之间最短路问题的数学表达式
/ Q* k Y7 u- G4 `, ]" F
7 @3 Z' v6 \8 M: E/ i& l4 _ d; y& Z9 u4 ^$ R" H3 ]" w/ N
例 2 最小价格管道铺设方案
. o; t, C+ M' ]; E3 N* m在图 3 中,用点表示城市,现有 A, B1, B2 ,C1,C2 ,C3 , D 共 7 个城市。点与 点之间的连线表示城市间有道路相连。连线旁的数字表示道路的长度。现计划从城市 A 到城市 D 铺设一条天然气管道,请设计出最小价格管道铺设方案。, C# Y0 l* [: |$ _
3 h/ `4 f; C7 L: D# r$ o K7 s
9 N5 y# B$ p3 p6 c6 a3 V: }: T4 S" k' _7 q, q" Z! @0 b4 t
编写 LINGO 程序如下:/ C8 g: T# Q7 X8 M; l5 n. B2 S
) `& K/ o# |, O1 W, E1 r: I
model:4 Z; P0 D {' R+ V( J7 H! J
sets:" \& _ ]8 S/ X# u7 ~( X
cities/A,B1,B2,C1,C2,C3,D/;
* B8 |3 m, _+ y+ M1 Zroads(cities,cities)/A B1,A B2,B1 C1,B1 C2,B1 C3,B2 C1,
+ P9 ~/ @+ |$ N( a: ^* z) vB2 C2,B2 C3,C1 D,C2 D,C3 D/:w,x;" l u! H! y p0 P! j+ M
endsets
! Q6 D9 b" R1 W6 adata:% t. k5 _6 ]! l: q5 n9 H* k; N' V
w=2 4 3 3 1 2 3 1 1 3 4;
* r, U1 m }) V, g% C# jenddata7 D, Z1 r" n E9 y8 N/ V
n=@size(cities); !城市的个数;" B0 n& I; O1 N' H; h
min=@sum(roads:w*x);" ^1 ]7 X( {/ @7 E. Z: U4 j) \$ ]
@for(cities(i)|i #ne#1 #and# i #ne#n:
( Q5 b# @. N$ O: J2 J f0 q @sum(roads(i,j):x(i,j))=@sum(roads(j,i):x(j,i)));4 P; M$ F0 B( J; a
@sum(roads(i,j)|i #eq#1:x(i,j))=1;/ V, c* @8 W1 A3 \; R3 c% y0 L
@sum(roads(i,j)|j #eq#n:x(i,j))=1;
1 x/ P. g% c9 ^8 |- T2 e; @end 3 n; j% d: h2 R' U0 O; b+ \
8 Z4 W' k: y! i例3 (无向图的最短路问题)求图 4 中 v1 到 v11的最短路。 分析 例 2 处理的问题属于有向图的最短路问题,本例是处理无向图的最短路问 题,在处理方式上与有向图的最短路问题有一些差别,这里选择赋权邻接矩阵的方法编 写 LINGO 程序。 . F0 H Q& i& a; B! _
" c! S" W1 S4 s( s( W3 \9 t! p& ]& ?: L8 U1 R
编写 LINGO 程序如下:3 B6 u9 H) [4 E& o: X4 F
- X t9 D$ I2 H6 S
model:
( ]2 O! a2 k& F6 i; a9 A7 \9 _- P, G1 Wsets:
0 m' ~8 i* o5 W2 S0 `1 z+ y8 L; |cities/1..11/; m E _, b* U$ E% Y
roads(cities,cities):w,x;
/ j4 A8 S; ]6 T) _endsets
% @0 c$ q$ v6 |" P9 e# ?data:
' q3 V0 b- X! ~0 q9 m* m9 {& ]" R1 Pw=0;
! k% A, I* G& b% V3 Kenddata1 G7 q# g7 W8 l, d# M
calc:, Z% P O8 O' c; P
w(1,2)=2;w(1,3)=8;w(1,4)=1;
: j) x- T; x* Q5 K3 O! N1 K9 Aw(2,3)=6;w(2,5)=1;
7 K$ f" I' G! O1 f; M" \w(3,4)=7;w(3,5)=5;w(3,6)=1;w(3,7)=2;
" u W- k! E9 g# \w(4,7)=9;
1 s% i5 Q& t5 u6 Ew(5,6)=3;w(5,8)=2;w(5,9)=9;1 z" \6 s+ @+ R) G7 f! h F
w(6,7)=4;w(6,9)=6;0 v# ?! T6 D0 ^* a
w(7,9)=3;w(7,10)=1;$ P6 u! I9 W- c! K* Q
w(8,9)=7;w(8,11)=9;$ C6 E7 N2 v2 j! G( x) f, I
w(9,10)=1;w(9,11)=2;w(10,11)=4;+ ]' D5 g& o4 r9 h0 `5 S% E' n
@for(roads(i,j):w(i,j)=w(i,j)+w(j,i));* D# o7 q* h N0 I4 @$ x8 i3 l
@for(roads(i,j):w(i,j)=@if(w(i,j) #eq# 0, 1000,w(i,j)));
9 R$ h- j; e; u: {endcalc. v, s: ]8 T; s6 [ l# S j# z
n=@size(cities); !城市的个数;
! u- W. {7 ?8 l& o+ J) a" cmin=@sum(roads:w*x);* H+ K1 ?; W. I0 Q1 _" M8 Q! _: C, c
@for(cities(i)|i #ne#1 #and# i #ne#8 Y$ R3 K6 M3 s3 i! {5 }
n:@sum(cities(j):x(i,j))=@sum(cities(j):x(j,i)));
( m: u8 ~+ o2 x$ i( B) Q; ?@sum(cities(j):x(1,j))=1;# C J7 b! g5 L7 a# D3 G
@sum(cities(j):x(j,1))=0; !不能回到顶点1;+ ^0 `8 B& e( v2 ]0 \
@sum(cities(j):x(j,n))=1;
0 v& Z% P/ s3 V; I@for(roads:@bin(x));
1 I7 ?& g6 I7 ]end7 r3 ?# \( R, {7 q/ S: ^3 g
+ S0 K: s- a) d' b有向图相比较,在程序中只增加了一个语句@sum(cities(j):x(j,1))=0,即 从顶点 1 离开后,再不能回到该顶点。 Q: Z2 @0 L: T& e
) p6 M Q: w8 W$ [1 [
求得的最短路径为 1→2→5→6→3→7→10→9→11,最短路径长度为 13。
/ O* N/ Y/ K5 V& K0 @8 a7 R. W& a* ^* L+ l* i/ T1 U0 Q; G
3 每对顶点之间的最短路径* W. U) Q# _8 W, V4 P2 _8 u* a
计算赋权图中各对顶点之间最短路径,显然可以调用 Dijkstra 算法。具体方法是: 每次以不同的顶点作为起点,用 Dijkstra 算法求出从该起点到其余顶点的最短路径,反 复执行 n −1次这样的操作,就可得到从每一个顶点到其它顶点的最短路径。这种算法 的时间复杂度为 。第二种解决这一问题的方法是由 Floyd R W 提出的算法,称 之为 Floyd 算法。
/ U9 E# I' F2 n$ L8 U
1 l | M4 e2 n6 F6 F* `7 AFloyd算法5 V s/ N I9 ]- ~0 G+ Q
) A; l8 W ?1 G" P2 E% R* k2 n7 O& B
$ b0 o0 Y* K) ^6 q; V0 o
. d7 j1 g% ^% p$ ]2 z
% v+ @: w% e& R, w6 z o7 Z2 x
————————————————$ H$ b, a2 d, T
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. [; a7 s9 W: C$ T# c5 d原文链接:https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89785373
5 T% H( i$ `& `' @ D) Z# I- Q
9 `2 l. @% e. j7 S2 D, @( u+ d; V$ E0 h& S* t+ V
; s7 R: A( O% A/ u8 N3 d2 L) J
% J. B8 C! }* l6 |
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