Euler 图就是从一顶点出发【每条边】恰通过一次能回到出发点的那种图,【中国邮递员问题】的数学模型是:在一个赋权连通图上求一个含所有边的回路, 且使此回路的权最小。 显然,若此连通赋权图是 Euler 图,则可用 Fleury 算法求 Euler 回路,此回路即为 所求。' w9 u( C. h8 A X! s4 X* y8 W4 w
" N: h! A$ e" z# s Hamilton 图就是从一顶点出发【每个顶点】恰通过一次能回到出发点的那种图。【旅行商问题描述】一名推销员准备前往若干城市推销产品,然后回到他的出发地。如何为他设计一条 最短的旅行路线(从驻地出发,经过每个城市恰好一次,最后返回驻地)?。用图论的术语说,就是在一个赋权完全图中,找出一个有最小权的 Hamilton 圈。称这种圈为最优圈。 ; }7 `, L ~) k) ?4 e ! j% v3 F' D- t7 x L& G6 G1 基本概念 & `5 Q- H4 r; n3 R. T【定义】 经过G 的每条边的迹叫做G 的 Euler 迹;闭的 Euler 迹叫做 Euler 回路或 E 回路;含 Euler 回路的图叫做 Euler 图。 直观地讲,Euler 图就是从一顶点出发每边恰通过一次能回到出发点的那种图,即 不重复地行遍所有的边再回到出发点。, Q5 h7 e* a6 v1 V
2 l, j2 D6 H$ Q& f( G. S% v 1 B; M# D# | K! Z+ } ) a8 ^9 Q9 b1 N" m" }【定义 】包含G 的每个顶点的轨叫做 Hamilton(哈密顿)轨;闭的 Hamilton 轨叫做 Hamilton 圈或 H 圈;含 Hamilton 圈的图叫做 Hamilton 图。 直观地讲,Hamilton 图就是从一顶点出发每顶点恰通过一次能回到出发点的那种图,即不重复地行遍所有的顶点再回到出发点。. f! A) U; U2 b- {3 n
9 i! u% E, w% c3 u4 I% L2 Euler 回路的 Fleury 算法: `( B Q W) l4 j: z; V5 U
1921 年,Fleury 给出下面的求 Euler 回路的算法。 / \ m) \ k6 n+ A( P U, W. h6 _0 }2 x) i: _- P% t0 y2 |
% o5 x3 H8 ^) Y
6 Z5 M) M- p' S; D% A) g) Q
+ j& \3 V" Y( z1 n; D
例 :邮递员问题 % ]8 a( ^' @8 E( @5 K3 {$ X中国邮递员问题 一位邮递员从邮局选好邮件去投递,然后返回邮局,当然他必须经过他负责投递的 每条街道至少一次,为他设计一条投递路线,使得他行程最短。 7 |: d6 _; g8 @4 E$ ? 1 Y: K1 f/ j5 C) Y2 e上述中国邮递员问题的数学模型是:在一个赋权连通图上求一个含所有边的回路, 且使此回路的权最小。 显然,若此连通赋权图是 Euler 图,则可用 Fleury 算法求 Euler 回路,此回路即为 所求。1 w- U" r& w4 y0 k+ S3 D) ~
% w! z( S' M8 d7 k非 Euler 图的权最小的回路的求解方法 4 e6 U1 b$ d4 X. c- f$ b) ~7 H# n! d% w8 v6 g3 E9 w l
对于非 Euler 图,1973 年,Edmonds 和 Johnson 给出下面的解法:& ]5 D, _! ~4 ?/ C2 y
p* m8 W% W! L2 @. r- V0 a9 | 3 S. ^* \* r1 N8 D8 i! V 9 n/ b! }* B8 N. b* W多邮递员问题! C* f9 _( _# r
邮局有 k(k ≥ 2) 位投递员,同时投递信件,全城街道都要投递,完成任务返回邮 局,如何分配投递路线,使得完成投递任务的时间最早?我们把这一问题记成 kPP。 kPP 的数学模型如下: " \& S* ~5 X B# z6 f( A( x2 | , Q7 H8 p& C$ Y4 g& }. }: V: J / W4 g$ Z! S7 F( ^" E( Y 1 M3 E! x+ S% v V: n3 旅行商(TSP)问题 9 p* [! h; P* A V一名推销员准备前往若干城市推销产品,然后回到他的出发地。如何为他设计一条 最短的旅行路线(从驻地出发,经过每个城市恰好一次,最后返回驻地)?这个问题称 为旅行商问题。用图论的术语说,就是在一个赋权完全图中,找出一个有最小权的 Hamilton 圈。称这种圈为最优圈。与最短路问题及连线问题相反,目前还没有求解旅行 商问题的有效算法。所以希望有一个方法以获得相当好(但不一定最优)的解。6 Z+ I5 Q+ [, l) F" k' L" O k4 x0 Q* i
5 }4 v4 o* D- @$ K- G/ `+ r# S+ R3 G
3.1 改良圈算法 9 [* v5 l9 b8 y! Y, N 3 s( w8 Q: N: x* m9 L- F0 O4 ~% |% n; T$ Z2 U' z: C, Q! S! `, l3 g
$ F2 m& i% z' B; w # z) O R3 Q4 K5 J用改良圈算法得到的结果几乎可以肯定不是最优的。为了得到更高的精确度,可以 选择不同的初始圈,重复进行几次算法,以求得较精确的结果。 这个算法的优劣程度有时能用 Kruskal 算法加以说明。 3 P) ^# G* r9 a7 {2 o4 G% O7 a+ ?& y' I* m& M9 `0 K" C
假设C 是G 中的最优圈。 则对于任何顶点v ,C − v 是在G − v 中的 Hamilton 轨,因而也是G − v 的生成树。由 此推知:若 T 是 G − v 中的最优树,同时 e 和 f 是和 v 关联的两条边,并使得 w(e) + w( f ) 尽可能小,则 w(T ) + w(e) + w( f ) 将是 w(C) 的一个上界。 这里介绍的方法已被进一步发展。圈的修改过程一次替换三条边比一次仅替换两条 边更为有效;然而,有点奇怪的是,进一步推广这一想法,就不对了。( v8 F% U& @+ q6 T; Z! }4 a0 y
! s {% z" ]) G$ }4 r8 b例 15 从北京(Pe)乘飞机到东京(T)、纽约(N)、墨西哥城(M)、伦敦(L)、巴黎(Pa) 五城市做旅游,每城市恰去一次再回北京,应如何安排旅游线,使旅程最短?各城市之 间的航线距离如表 7。 $ X) G& z+ P4 Y' @, g6 K6 `/ a5 }, B5 x8 B
" z% z+ ~& I$ S
9 y& L( S& `/ O' U x/ d
解:编写程序如下:( u3 Y6 ~6 j. Y8 ?0 ?& \$ y
7 Q, c4 _: ]/ M: v* E6 v; O8 w
function main # T" g/ D+ k6 [: x6 `clc,clear) U: I% s" ^3 c! N6 G
global a : p) w( { s$ G* E0 qa=zeros(6); & |% L @0 F; `8 oa(1,2)=56;a(1,3)=35;a(1,4)=21;a(1,5)=51;a(1,6)=60;7 g5 s3 @ D+ V0 v1 r) r7 O
a(2,3)=21;a(2,4)=57;a(2,5)=78;a(2,6)=70;, w7 y! j! ~8 o# m7 b2 u; Q
a(3,4)=36;a(3,5)=68;a(3,6)=68; a(4,5)=51;a(4,6)=61;2 z7 B% J: T" {- [* E
a(5,6)=13; a=a+a'; L=size(a,1); $ g7 ~6 }3 p* }( s, h7 ?5 dc1=[5 1:4 6]; , ~7 m' ~7 k V& Y1 x' r[circle,long]=modifycircle(c1,L); ! ^7 T4 O8 W1 } _2 ]7 Xc2=[5 6 1:4];%改变初始圈,该算法的最后一个顶点不动 J1 |, j5 {7 p: V
[circle2,long2]=modifycircle(c2,L);8 O+ S) `7 Q5 E
if long2<long 7 `, u6 Y) v2 d3 B0 w. y+ ]; X long=long2; : L9 l- C X6 | C circle=circle2;6 t6 v6 Z0 b5 J' F8 o, C7 v
end0 n) u! `0 V* u! x# b/ M9 P2 ?8 y& m% A
circle,long ! i- C5 y3 [& D: I5 o- _%*******************************************0 U' j- x) j. Z" e. Q/ @
%修改圈的子函数 1 b8 e. S8 n7 ?. t) u$ F%******************************************* x. A" @7 q o+ X7 xfunction [circle,long]=modifycircle(c1,L); * h! L/ |7 F# o& p3 v( [9 U8 r/ V$ Cglobal a $ t% |7 o3 ^ |$ ], {flag=1; / ^ i/ I/ Z4 b! r3 ]1 f" mwhile flag>0 / u# A, y) F9 c) {% U" I/ u, n9 Q flag=0; ' t7 \# Y& E3 Y3 ]& _- z. B for m=1-3 ) k6 T6 [; b7 c7 R1 k for n=m+2-19 B" }+ @) t( `9 M3 ]" A4 g
if a(c1(m),c1(n))+a(c1(m+1),c1(n+1))<...5 M L+ Q, z6 c; t( @# V
a(c1(m),c1(m+1))+a(c1(n),c1(n+1))+ X( i' d2 s; g6 d
flag=1; # J% W1 Z9 G2 z! J# u$ p; {" k% { c1(m+1:n)=c1(n:-1:m+1); # F I2 k& m+ s# h% [ end - P3 S/ S4 z7 `' ` end 9 g' G1 V6 a, A; ^) q; x end . X$ ]( D1 C& x9 uend + ? e! ]0 G, k$ Wlong=a(c1(1),c1(L)); 7 R, V4 C, F- Ffor i=1-1- E, Z: e$ f( |. k
long=long+a(c1(i),c1(i+1));& }5 ~2 _" G! P6 c+ g B, |
end % m. @1 m; K$ F+ z* g; ]) H( pcircle=c1; % Z1 W% Y* o0 j+ K1 z5 F$ n) `
: L0 F: |) c( e: L) V
1 \" p4 E) K; K {9 E, M( ]
3.2 旅行商问题的数学表达式- T- I8 ]" k9 m1 T
( E- t8 k a4 Y" d2 e
$ X P. F. z5 C# _6 b6 L y% h将旅行商问题写成数学规划的具体形式还需要一定的技巧,下面的例子我们引用 LINGO 帮助中的一个程序。 1 ?. t" ~( L5 E8 \/ U" { c, i- i& |4 M q$ V( H( h6 d
例 16 已知 SV 地区各城镇之间距离见表 8,某公司计划在 SV 地区做广告宣传, 推销员从城市 1 出发,经过各个城镇,再回到城市 1。为节约开支,公司希望推销员走 过这 10 个城镇的总距离最少。+ V( V% W% K" O0 O% D
& ?' M8 r0 J* E7 n' Y t" q$ G5 E1 R- p- q
4 S$ t$ N/ p% c6 D: s2 Z" K/ V9 _3 `4 N; i# ?
- l( Z9 D6 E, Z0 B解 编写 LINGO 程序如下:/ P8 F8 t% X) C
8 n$ B' V9 b0 K7 O$ K6 O
MODEL: 6 a( T! `7 j- B( J! c) |0 [ SETS: " C1 ?+ Z0 M9 |/ \$ _ CITY / 1.. 10/: U; ! U( I) = sequence no. of city;- T0 `! Z, |6 I* U5 i' \6 e
LINK( CITY, CITY):8 W7 }) {# X6 Q7 v% [, b0 F
DIST, ! The distance matrix;/ d- E" p3 q: z' r2 ~
X; ! X( I, J) = 1 if we use link I, J;+ @ }1 ]2 ~& ~9 r8 v7 |2 O
ENDSETS$ d& C, \# K& N E. l7 R: U, _
DATA: !Distance matrix, it need not be symmetric; + \* w) T( r( s" [, K2 ~ DIST =0 8 5 9 12 14 12 16 17 22* e% `5 R6 t# Q4 Z& T, X. q
8 0 9 15 17 8 11 18 14 22 4 X6 D9 @, l9 o2 g! v3 Y: B 5 9 0 7 9 11 7 12 12 17% ^3 s7 w! V% \0 Q- Z# o5 g
9 15 7 0 3 17 10 7 15 181 r' A6 H$ Z8 m( G+ c' T. x; @
12 17 9 3 0 8 10 6 15 15 - }' L5 u( E ?# f2 \/ k0 t 14 8 11 17 8 0 9 14 8 16 ( I3 A- z+ q) g! `- y G7 o 12 11 7 10 10 9 0 8 6 11 - L- _3 R. \ W 16 18 12 7 6 14 8 0 11 11 9 Z( h' D+ Y2 f0 ^; { 17 14 12 15 15 8 6 11 0 10 ( I4 s* m f5 C7 S( [ 22 22 17 18 15 16 11 11 10 0; % c# V6 m7 }1 ~/ h ENDDATA0 r4 e4 U) o+ H0 ~0 W5 I4 z" w
!The model:Ref. Desrochers & Laporte, OR Letters, [$ ]5 G6 c& X
Feb. 91; 2 l" k) k% V" P" c8 Z( f N = @SIZE( CITY);7 Z' G2 x, K( [9 A
MIN = @SUM( LINK: DIST * X);4 S( R' \3 z' i( N
@FOR( CITY( K): * X+ P% g6 b+ t8 Z k6 A: Q' g& O ! It must be entered; 0 i6 g2 c$ B" j' ~ G5 _7 q& H7 n) b' E @SUM( CITY( I)| I #NE# K: X( I, K)) = 1;/ c, ^" z |7 V- _1 D
! It must be departed;3 ]; n0 z$ A, k' K
@SUM( CITY( J)| J #NE# K: X( K, J)) = 1;& D# a( A/ O. L* ~
! Weak form of the subtour breaking constraints; 5 y0 v( O' u6 c, F ! These are not very powerful for large problems; 8 z, e& _: Y% P6 t0 b) G @FOR( CITY( J)| J #GT# 1 #AND# J #NE# K: 3 Z0 ]1 Z5 e" F- q Q# G U( J) >= U( K) + X ( K, J) - z5 `5 C$ p* o6 J3 _. K L7 w1 I
( N - 2) * ( 1 - X( K, J)) + n0 T/ x1 k7 V8 {% d. p. w
( N - 3) * X( J, K)));! ? h3 q1 O9 w
! Make the X's 0/1; % _4 i1 P/ A( M/ o" E; c/ f i) `# T7 S) J: y @FOR( LINK: @BIN( X)); 5 s* [6 _6 W' b' g ! For the first and last stop we know...; 1 v3 L4 S. p5 y2 |3 Y5 v @FOR( CITY( K)| K #GT# 1: 0 ?4 o- R5 R; g% [( i: c U( K) <= N - 1 - ( N - 2) * X( 1, K); " `- W W$ x B! F; d+ c! B U( K) >= 1 + ( N - 2) * X( K, 1)); 4 ?: m! g8 u6 n$ _$ C' R( sEND 7 n; g6 N2 L* g c% q
; L9 d9 H2 V: B 0 l* c' b A0 h9 a" J; ? & N7 p" ]9 O4 h————————————————2 Q- C8 Q9 [" }+ ?6 `9 g' l9 F
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2 R, Z' x1 U! e: C# x