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最小费用流及其求法

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    发表于 2020-5-20 17:36 |显示全部楼层
    |招呼Ta 关注Ta |邮箱已经成功绑定
    1 最小费用流
    4 T( Z5 }1 j  i上面我们介绍了一个网络上最短路以及最大流的算法,但是还没有考虑到网络上流 的费用问题,在许多实际问题中,费用的因素很重要。例如,在运输问题中,人们总是 希望在完成运输任务的同时,寻求一个使总的运输费用最小的运输方案。这就是下面要 介绍的最小费用流问题。" _5 y% A+ r1 b2 U4 J3 Y0 i$ C
    - e- u( |/ Z+ h! d; a
    最小费用流问题的线性规划表示# M1 K  @: Z" r; ]- }7 [! h
    在运输网络 N = (s,t,V, A,U) 中,设  是定义在 A 上的非负函数,它表示通过弧 (i, j) 单位流的费用。所谓最小费用流问题就是从发点到收点怎样以最小费用输送一已 知量为v( f ) 的总流量。 最小费用流问题可以用如下的线性规划问题描述:
    9 r) e! Z5 M8 n1 H; H; p
    ) }& }% e. @  w( Q# k3 k. R9 ^- e4 G0 [1 O
    # g, N8 J' R4 ^# b

    9 y8 F' _! M8 Z1 A5 i; }& x" y2 A      例 19(最小费用最大流问题)( ?: x8 R! W9 ^' l$ f. _
    (续例 18)由于输油管道的长短不一或地质等原因, 使每条管道上运输费用也不相同,因此,除考虑输油管道的最大流外,还需要考虑输油 管道输送最大流的最小费用。图 8 所示是带有运费的网络,其中第 1 个数字是网络的容 量,第 2 个数字是网络的单位运费。4 i* I7 r  Z* \, _7 Y2 m0 {: z
    % R+ J% S7 w, t5 a3 C

    " C% _* a7 Q6 v7 X. d& q+ N. R0 |: ]

    ) }; }, Z6 |. @+ m) _6 d4 Z解 按照最小费用流的数学规划写出相应的 LINGO 程序如下:& i+ v% W2 K: t- X2 A
    model:' j' H! Z8 U# J- B# R
    sets:) p3 ^9 P/ ?- x. ?+ s1 |
    nodes/s,1,2,3,4,t/:d;
    2 U  @7 p% E4 X( h" s8 n) zarcs(nodes,nodes)/s 1,s 3,1 2,1 3,2 3,2 t,3 4,4 2,4 t/:c,u,f;
    , U( e. Z7 \; _; P1 {0 }endsets: A# U6 D* D# A( m& q- t8 d
    data:
    & r" _5 G. o/ L" z6 p% N3 I! N$ [d=14 0 0 0 0 -14; !最大流为14;
    $ ?$ e# a1 Z  K+ [8 K" R# Q) Zc=2 8 2 5 1 6 3 4 7;5 l4 H7 }; {( ]& n9 z# F
    u=8 7 9 5 2 5 9 6 10;
    ; v; a0 O& b4 R! M5 I2 Cenddata
    " N" D: l% D4 o1 l6 z3 b: |min=@sum(arcs:c*f);
    ! J& ?9 i& L9 i* }( y1 }@for(nodes(i)sum(arcs(i,j):f(i,j))-@sum(arcs(j,i):f(j,i))=d(i));
    # }: X" o  h5 q, V6 f! M+ I, _@for(arcsbnd(0,f,u));
    " R' K- P* x) _: ]5 ]* Hend
    6 }/ v  c) z  T( _* C' s$ m2 C& p2 ]& ?4 f/ H
    求得最大流的最小费用是 205,而原最大流的费用为 210 单位,原方案并不是最优 的。 类似地,可以利用赋权邻接矩阵编程求得最小费用最大流。LINGO 程序如下:. Q6 M* d+ K4 P& j: k3 i3 r
    9 K$ T- S$ H$ e0 V
    model:$ Y7 }8 j: I) }3 X7 I1 @
    sets:
    $ ]" h' @8 q$ U1 Xnodes/s,1,2,3,4,t/:d;5 A8 W, f1 W3 ?: ?6 Y' L
    arcs(nodes,nodes):c,u,f;- R2 j( ^8 Q0 W' A5 t* t
    endsets
    1 j. W! T+ y  y$ k3 d( s0 M( Ldata:, o& D! s6 U; w( w  F
    d=14 0 0 0 0 -14;/ B" Z6 C$ B7 g3 t3 I9 O
    c=0; u=0;
    ) c* o1 C! m# j" U1 Denddata
    - u1 Q) n  b8 U. g# u9 R* icalc:
    % g5 v) P. C+ y3 _c(1,2)=2;c(1,4)=8;
    ) `2 o# a" M1 d) dc(2,3)=2;c(2,4)=5;5 r$ I$ P8 E, Y- b$ D' J4 C5 Z0 W
    c(3,4)=1;c(3,6)=6;; i9 O. L% e+ x
    c(4,5)=3;c(5,3)=4;c(5,6)=7;
    , p/ N6 S6 {, Z" a! wu(1,2)=8;u(1,4)=7;
    1 o+ N4 a& s& u7 ?& h! ]1 Uu(2,3)=9;u(2,4)=5;
    " m0 Z! y' ^. h8 U. Bu(3,4)=2;u(3,6)=5;
    8 i6 \1 K, A' w( _2 Gu(4,5)=9;u(5,3)=6;u(5,6)=10;
    : Z: H8 u6 g" x6 W. ~$ |5 [2 Eendcalc
    3 q- y! u( z& F- Z8 a1 ]6 Bmin=@sum(arcs:c*f);/ d& n1 ^4 z. f/ c6 o& X
    @for(nodes(i)sum(nodes(j):f(i,j))-@sum(nodes(j):f(j,i))=d(i));* R  e* s" ^+ h& g
    @for(arcsbnd(0,f,u));$ i) i+ d1 Z' i1 w/ M" F
    end
    ! s' K3 _$ r6 p- Z' N6 p; `; V2 G3 \/ M. `
    2 求最小费用流的一种方法—迭代法
    0 n+ `$ R2 W* [  z% B这里所介绍的求最小费用流的方法叫做迭代法。这个方法是由 Busacker 和 Gowan 在 1961 年提出的。其主要步骤如下:
    ! V5 n1 x; q. ]: C3 Z6 q8 ?. o" c$ Y4 o0 G: A( @& U

    & }0 g2 W6 Z) G% n0 ~
    1 v9 w6 t, c- B( p, \/ J下面我们编写了最小费用最大流函数 mincostmaxflow,其中调用了利用 Floyd 算法 求最短路的函数 floydpath。
    3 D- B+ g: u5 v3 O* b1 K8 X. [
    ' p* p7 C" k/ J, p2 p5 \/ l- g求解例 19 具体程序如下(下面的全部程序放在一个文件中):
    9 r* s: G; n- o/ P6 w6 K: h: L% p0 ?& h# K
    function mainexample19) d6 R9 }, J; T. L. F: R
    clear;clc;   Q* i; n$ I# J6 ]
    global M num  A" I7 R* X& J# a5 t
    c=zeros(6);u=zeros(6);
    0 O7 G5 ^2 T/ o1 A' gc(1,2)=2;c(1,4)=8;c(2,3)=2;c(2,4)=5;6 B  o" n# N1 ~& r( q" E; z# n4 j6 t' R
    c(3,4)=1;c(3,6)=6;c(4,5)=3;c(5,3)=4;c(5,6)=7;. v! y% L- d6 a8 R, c% v' V
    u(1,2)=8;u(1,4)=7;u(2,3)=9;u(2,4)=5;( e  E7 ^* J" [9 {! b" `8 |
    u(3,4)=2;u(3,6)=5;u(4,5)=9;u(5,3)=6;u(5,6)=10;) D' \0 t$ s0 d
    num=size(u,1);M=sum(sum(u))*num^2;
    6 x( B0 m3 v/ r( h7 o5 {. s) }[f,val]=mincostmaxflow(u,c)
    " U2 |$ V( e! X%求最短路径函数) l& n2 H% @% W/ m
    function path=floydpath(w);
    * G! q) g* v* N- ]2 ]: N) @global M num8 H8 f0 c$ B" S; {4 u. H. E8 U
    w=w+((w==0)-eye(num))*M;* z" b/ s( H8 y7 w7 D2 U7 _# c
    p=zeros(num);, m1 M; p- j, o! T, u% K3 F: u- d2 g
    for k=1:num
    / g* j% p! |7 H4 V( O1 X    for i=1:num( M4 F) R7 u6 I6 M" W6 h
            for j=1:num
    , \- D+ c3 t8 V! S, y6 P            if w(i,j)>w(i,k)+w(k,j)6 E" H# @0 \/ G  Z
                    w(i,j)=w(i,k)+w(k,j);+ N+ z% m( \/ {( {0 R
                    p(i,j)=k;
    " {" C  w5 l! \* a' U7 J            end
    - x7 R6 m6 G3 k1 ^6 U8 {        end/ k- N9 P* R5 C
        end; z. V4 W9 @6 f  @0 c5 w
    end
    + W: b4 A" G3 @- L" l$ [if w(1,num) ==M
    9 D3 v. s* L4 o+ @    path=[];8 D, L4 ?+ G7 E; W% s
        else
    ) G) M1 y) N# c' V/ m7 k0 J& O    path=zeros(num);
    , A! R7 r: S6 o- t    s=1;t=num;m=p(s,t);
      d; Z: t+ R6 [9 D. z- ]1 f    while ~isempty(m)
    / s  ]; f$ _4 H* h        if m(1)* p. E! c# F5 r8 E3 H( h# l
                s=[s,m(1)];t=[t,t(1)];t(1)=m(1);
    ; P0 t& p2 J: f# U: y5 t            m(1)=[];m=[p(s(1),t(1)),m,p(s(end),t(end))];/ s2 P" a0 Y$ D, \' y
            else) S) H$ A  _* {6 r6 i+ g
                path(s(1),t(1))=1;s(1)=[];m(1)=[];t(1)=[];6 x; Z4 a3 @8 Q) r/ ~
            end* u% Z( {8 |$ R: C, z
        end
    0 r' ?; x" r$ [  W% C  lend
    - d  h8 n* Q9 w! b* r" c' l$ c  _%最小费用最大流函数' b$ B2 B3 g- B- ]" i! @
    function [flow,val]=mincostmaxflow(rongliang,cost,flowvalue);& ?& @7 L7 i! n' N- O5 K' \7 T+ c
    %第一个参数:容量矩阵;第二个参数:费用矩阵;
    7 T5 i' C6 ], k%前两个参数必须在不通路处置零
    8 G* i" H7 R; J; h%第三个参数:指定容量值(可以不写,表示求最小费用最大流)$ c5 R6 K. h& a$ U# Q  O
    %返回值 flow 为可行流矩阵,val 为最小费用值
    6 t+ U# Q+ ]* X3 D% a7 _  ^global M/ w1 h& n" u8 ]- X3 G2 c
    flow=zeros(size(rongliang));allflow=sum(flow(1,);# {9 r! D; b: g- s
    if nargin<3' C. u# `" a  u
        flowvalue=M;
    2 [, h6 h, _  c3 ~end
    & Z0 |0 @9 \/ p! ~1 V0 j! e. Hwhile allflow<flowvalue7 S' R, ?" I4 C2 t! h+ [
        w=(flow<rongliang).*cost-((flow>0).*cost)';% ?7 Y+ T! s) _/ H# h9 n/ d5 T5 d) b! Q
        path=floydpath(w);%调用 floydpath 函数
    1 @$ F7 }9 i& j4 ~- e9 P7 o    if isempty(path)
    ' r# q8 y! u- s4 {        val=sum(sum(flow.*cost));% s: ]6 b& u: R5 s  Z
            return;
    & l' {# ]& y$ R4 [0 R, L    end, F! y# q6 k; B; U7 M+ w# Z
        theta=min(min(path.*(rongliang-flow)+(path.*(rongliang-flow)==0).*M));
    " N9 W# Y0 D# i- @! ~    theta=min([min(path'.*flow+(path'.*flow==0).*M),theta]);- j& p& ?, x/ v
        flow=flow+(rongliang>0).*(path-path').*theta;
    $ Y' j1 j: z6 c( V, J% [    allflow=sum(flow(1,);
    + P, [& L( p# h6 X% q' Y( Gend+ o, o+ K' p0 h
    val=sum(sum(flow.*cost));   q3 u/ h* z, p+ @6 _3 \
    ' l" H* l. q& A

    ( {% e# U: s5 \
    9 e4 P. H6 B" o( P4 I) X0 L, c
    % H2 H* {* l4 R; Y9 A————————————————! }" K7 \; D. {8 C+ S) t
    版权声明:本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。
    3 G, u% s1 Y# [# |7 w原文链接:https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89787628
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