- 在线时间
- 791 小时
- 最后登录
- 2022-11-28
- 注册时间
- 2017-6-12
- 听众数
- 15
- 收听数
- 0
- 能力
- 120 分
- 体力
- 35347 点
- 威望
- 11 点
- 阅读权限
- 255
- 积分
- 13547
- 相册
- 0
- 日志
- 0
- 记录
- 1
- 帖子
- 621
- 主题
- 542
- 精华
- 10
- 分享
- 0
- 好友
- 225
TA的每日心情 | 开心 2020-11-14 17:15 |
---|
签到天数: 74 天 [LV.6]常住居民II
群组: 2019美赛冲刺课程 群组: 站长地区赛培训 群组: 2019考研数学 桃子老师 群组: 2018教师培训(呼伦贝 群组: 2019考研数学 站长系列 |
发表于 2020-5-20 17:36
|显示全部楼层
|
|邮箱已经成功绑定
1 最小费用流
4 T( Z5 }1 j i上面我们介绍了一个网络上最短路以及最大流的算法,但是还没有考虑到网络上流 的费用问题,在许多实际问题中,费用的因素很重要。例如,在运输问题中,人们总是 希望在完成运输任务的同时,寻求一个使总的运输费用最小的运输方案。这就是下面要 介绍的最小费用流问题。" _5 y% A+ r1 b2 U4 J3 Y0 i$ C
- e- u( |/ Z+ h! d; a
最小费用流问题的线性规划表示# M1 K @: Z" r; ]- }7 [! h
在运输网络 N = (s,t,V, A,U) 中,设 是定义在 A 上的非负函数,它表示通过弧 (i, j) 单位流的费用。所谓最小费用流问题就是从发点到收点怎样以最小费用输送一已 知量为v( f ) 的总流量。 最小费用流问题可以用如下的线性规划问题描述:
9 r) e! Z5 M8 n1 H; H; p
) }& }% e. @ w( Q# k3 k. R9 ^- e4 G0 [1 O
# g, N8 J' R4 ^# b
9 y8 F' _! M8 Z1 A5 i; }& x" y2 A 例 19(最小费用最大流问题)( ?: x8 R! W9 ^' l$ f. _
(续例 18)由于输油管道的长短不一或地质等原因, 使每条管道上运输费用也不相同,因此,除考虑输油管道的最大流外,还需要考虑输油 管道输送最大流的最小费用。图 8 所示是带有运费的网络,其中第 1 个数字是网络的容 量,第 2 个数字是网络的单位运费。4 i* I7 r Z* \, _7 Y2 m0 {: z
% R+ J% S7 w, t5 a3 C
" C% _* a7 Q6 v7 X. d& q+ N. R0 |: ]
) }; }, Z6 |. @+ m) _6 d4 Z解 按照最小费用流的数学规划写出相应的 LINGO 程序如下:& i+ v% W2 K: t- X2 A
model:' j' H! Z8 U# J- B# R
sets:) p3 ^9 P/ ?- x. ?+ s1 |
nodes/s,1,2,3,4,t/:d;
2 U @7 p% E4 X( h" s8 n) zarcs(nodes,nodes)/s 1,s 3,1 2,1 3,2 3,2 t,3 4,4 2,4 t/:c,u,f;
, U( e. Z7 \; _; P1 {0 }endsets: A# U6 D* D# A( m& q- t8 d
data:
& r" _5 G. o/ L" z6 p% N3 I! N$ [d=14 0 0 0 0 -14; !最大流为14;
$ ?$ e# a1 Z K+ [8 K" R# Q) Zc=2 8 2 5 1 6 3 4 7;5 l4 H7 }; {( ]& n9 z# F
u=8 7 9 5 2 5 9 6 10;
; v; a0 O& b4 R! M5 I2 Cenddata
" N" D: l% D4 o1 l6 z3 b: |min=@sum(arcs:c*f);
! J& ?9 i& L9 i* }( y1 }@for(nodes(i)sum(arcs(i,j):f(i,j))-@sum(arcs(j,i):f(j,i))=d(i));
# }: X" o h5 q, V6 f! M+ I, _@for(arcsbnd(0,f,u));
" R' K- P* x) _: ]5 ]* Hend
6 }/ v c) z T( _* C' s$ m2 C& p2 ]& ?4 f/ H
求得最大流的最小费用是 205,而原最大流的费用为 210 单位,原方案并不是最优 的。 类似地,可以利用赋权邻接矩阵编程求得最小费用最大流。LINGO 程序如下:. Q6 M* d+ K4 P& j: k3 i3 r
9 K$ T- S$ H$ e0 V
model:$ Y7 }8 j: I) }3 X7 I1 @
sets:
$ ]" h' @8 q$ U1 Xnodes/s,1,2,3,4,t/:d;5 A8 W, f1 W3 ?: ?6 Y' L
arcs(nodes,nodes):c,u,f;- R2 j( ^8 Q0 W' A5 t* t
endsets
1 j. W! T+ y y$ k3 d( s0 M( Ldata:, o& D! s6 U; w( w F
d=14 0 0 0 0 -14;/ B" Z6 C$ B7 g3 t3 I9 O
c=0; u=0;
) c* o1 C! m# j" U1 Denddata
- u1 Q) n b8 U. g# u9 R* icalc:
% g5 v) P. C+ y3 _c(1,2)=2;c(1,4)=8;
) `2 o# a" M1 d) dc(2,3)=2;c(2,4)=5;5 r$ I$ P8 E, Y- b$ D' J4 C5 Z0 W
c(3,4)=1;c(3,6)=6;; i9 O. L% e+ x
c(4,5)=3;c(5,3)=4;c(5,6)=7;
, p/ N6 S6 {, Z" a! wu(1,2)=8;u(1,4)=7;
1 o+ N4 a& s& u7 ?& h! ]1 Uu(2,3)=9;u(2,4)=5;
" m0 Z! y' ^. h8 U. Bu(3,4)=2;u(3,6)=5;
8 i6 \1 K, A' w( _2 Gu(4,5)=9;u(5,3)=6;u(5,6)=10;
: Z: H8 u6 g" x6 W. ~$ |5 [2 Eendcalc
3 q- y! u( z& F- Z8 a1 ]6 Bmin=@sum(arcs:c*f);/ d& n1 ^4 z. f/ c6 o& X
@for(nodes(i)sum(nodes(j):f(i,j))-@sum(nodes(j):f(j,i))=d(i));* R e* s" ^+ h& g
@for(arcsbnd(0,f,u));$ i) i+ d1 Z' i1 w/ M" F
end
! s' K3 _$ r6 p- Z' N6 p; `; V2 G3 \/ M. `
2 求最小费用流的一种方法—迭代法
0 n+ `$ R2 W* [ z% B这里所介绍的求最小费用流的方法叫做迭代法。这个方法是由 Busacker 和 Gowan 在 1961 年提出的。其主要步骤如下:
! V5 n1 x; q. ]: C3 Z6 q8 ?. o" c$ Y4 o0 G: A( @& U
& }0 g2 W6 Z) G% n0 ~
1 v9 w6 t, c- B( p, \/ J下面我们编写了最小费用最大流函数 mincostmaxflow,其中调用了利用 Floyd 算法 求最短路的函数 floydpath。
3 D- B+ g: u5 v3 O* b1 K8 X. [
' p* p7 C" k/ J, p2 p5 \/ l- g求解例 19 具体程序如下(下面的全部程序放在一个文件中):
9 r* s: G; n- o/ P6 w6 K: h: L% p0 ?& h# K
function mainexample19) d6 R9 }, J; T. L. F: R
clear;clc; Q* i; n$ I# J6 ]
global M num A" I7 R* X& J# a5 t
c=zeros(6);u=zeros(6);
0 O7 G5 ^2 T/ o1 A' gc(1,2)=2;c(1,4)=8;c(2,3)=2;c(2,4)=5;6 B o" n# N1 ~& r( q" E; z# n4 j6 t' R
c(3,4)=1;c(3,6)=6;c(4,5)=3;c(5,3)=4;c(5,6)=7;. v! y% L- d6 a8 R, c% v' V
u(1,2)=8;u(1,4)=7;u(2,3)=9;u(2,4)=5;( e E7 ^* J" [9 {! b" `8 |
u(3,4)=2;u(3,6)=5;u(4,5)=9;u(5,3)=6;u(5,6)=10;) D' \0 t$ s0 d
num=size(u,1);M=sum(sum(u))*num^2;
6 x( B0 m3 v/ r( h7 o5 {. s) }[f,val]=mincostmaxflow(u,c)
" U2 |$ V( e! X%求最短路径函数) l& n2 H% @% W/ m
function path=floydpath(w);
* G! q) g* v* N- ]2 ]: N) @global M num8 H8 f0 c$ B" S; {4 u. H. E8 U
w=w+((w==0)-eye(num))*M;* z" b/ s( H8 y7 w7 D2 U7 _# c
p=zeros(num);, m1 M; p- j, o! T, u% K3 F: u- d2 g
for k=1:num
/ g* j% p! |7 H4 V( O1 X for i=1:num( M4 F) R7 u6 I6 M" W6 h
for j=1:num
, \- D+ c3 t8 V! S, y6 P if w(i,j)>w(i,k)+w(k,j)6 E" H# @0 \/ G Z
w(i,j)=w(i,k)+w(k,j);+ N+ z% m( \/ {( {0 R
p(i,j)=k;
" {" C w5 l! \* a' U7 J end
- x7 R6 m6 G3 k1 ^6 U8 { end/ k- N9 P* R5 C
end; z. V4 W9 @6 f @0 c5 w
end
+ W: b4 A" G3 @- L" l$ [if w(1,num) ==M
9 D3 v. s* L4 o+ @ path=[];8 D, L4 ?+ G7 E; W% s
else
) G) M1 y) N# c' V/ m7 k0 J& O path=zeros(num);
, A! R7 r: S6 o- t s=1;t=num;m=p(s,t);
d; Z: t+ R6 [9 D. z- ]1 f while ~isempty(m)
/ s ]; f$ _4 H* h if m(1)* p. E! c# F5 r8 E3 H( h# l
s=[s,m(1)];t=[t,t(1)];t(1)=m(1);
; P0 t& p2 J: f# U: y5 t m(1)=[];m=[p(s(1),t(1)),m,p(s(end),t(end))];/ s2 P" a0 Y$ D, \' y
else) S) H$ A _* {6 r6 i+ g
path(s(1),t(1))=1;s(1)=[];m(1)=[];t(1)=[];6 x; Z4 a3 @8 Q) r/ ~
end* u% Z( {8 |$ R: C, z
end
0 r' ?; x" r$ [ W% C lend
- d h8 n* Q9 w! b* r" c' l$ c _%最小费用最大流函数' b$ B2 B3 g- B- ]" i! @
function [flow,val]=mincostmaxflow(rongliang,cost,flowvalue);& ?& @7 L7 i! n' N- O5 K' \7 T+ c
%第一个参数:容量矩阵;第二个参数:费用矩阵;
7 T5 i' C6 ], k%前两个参数必须在不通路处置零
8 G* i" H7 R; J; h%第三个参数:指定容量值(可以不写,表示求最小费用最大流)$ c5 R6 K. h& a$ U# Q O
%返回值 flow 为可行流矩阵,val 为最小费用值
6 t+ U# Q+ ]* X3 D% a7 _ ^global M/ w1 h& n" u8 ]- X3 G2 c
flow=zeros(size(rongliang));allflow=sum(flow(1,);# {9 r! D; b: g- s
if nargin<3' C. u# `" a u
flowvalue=M;
2 [, h6 h, _ c3 ~end
& Z0 |0 @9 \/ p! ~1 V0 j! e. Hwhile allflow<flowvalue7 S' R, ?" I4 C2 t! h+ [
w=(flow<rongliang).*cost-((flow>0).*cost)';% ?7 Y+ T! s) _/ H# h9 n/ d5 T5 d) b! Q
path=floydpath(w);%调用 floydpath 函数
1 @$ F7 }9 i& j4 ~- e9 P7 o if isempty(path)
' r# q8 y! u- s4 { val=sum(sum(flow.*cost));% s: ]6 b& u: R5 s Z
return;
& l' {# ]& y$ R4 [0 R, L end, F! y# q6 k; B; U7 M+ w# Z
theta=min(min(path.*(rongliang-flow)+(path.*(rongliang-flow)==0).*M));
" N9 W# Y0 D# i- @! ~ theta=min([min(path'.*flow+(path'.*flow==0).*M),theta]);- j& p& ?, x/ v
flow=flow+(rongliang>0).*(path-path').*theta;
$ Y' j1 j: z6 c( V, J% [ allflow=sum(flow(1,);
+ P, [& L( p# h6 X% q' Y( Gend+ o, o+ K' p0 h
val=sum(sum(flow.*cost)); q3 u/ h* z, p+ @6 _3 \
' l" H* l. q& A
( {% e# U: s5 \
9 e4 P. H6 B" o( P4 I) X0 L, c
% H2 H* {* l4 R; Y9 A————————————————! }" K7 \; D. {8 C+ S) t
版权声明:本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。
3 G, u% s1 Y# [# |7 w原文链接:https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89787628
7 U, F; y# q0 @* T! `
7 |2 k, Q2 I! }" @' e& i* |6 i& s( F3 C
|
zan
|