时间序列模型 （五）： 趋势外推预测方法

浅夏110

趋势外推法是根据事物的历史和现时资料，寻求事物发展规律，从而推测出事物 未来状况的一种比较常用的预测方法。利用趋势外推法进行预测，主要包括六个阶段：
  W# B1 S3 H; V. k( ~
（a）选择应预测的参数； （b）收集必要的数据；   （c）利用数据拟合曲线；  

（d）趋势外 推；（e）预测说明；（f）研究预测结果在进行决策中应用的可能性。

趋势外推法常用的典型数学模型有：指数曲线、修正指数曲线、生长曲线、包络 曲线等。

: u2 p# T2 C) B4 h' i
) F- w. c' g9 N, w5 } 指数曲线法
一般来说，技术的进步和生产的增长，在其未达饱和之前的新生时期是遵循指数 曲线增长规律的，因此可以用指数曲线对发展中的事物进行预测。



1 T5 J3 y- X. A1 v! u6 V# ~
( a- G8 K* c0 t' }4 r

9 W9 q) }( f' u2 F( z# u1 t; ?
修正指数曲线法
) W+ C- l, {( }" F) U8 E- C利用指数曲线外推来进行预测时，存在着预测值随着时间的推移会无限增大的情 况。这是不符合客观规律的。因为任何事物的发展都是有一定限度的。例如某种畅销产 品，在其占有市场的初期是呈指数曲线增长的，但随着产品销售量的增加，产品总量接 近于社会饱和量时。这时的预测模型应改用修正指数曲线。
6 u4 O( c& L" f# O" _5 @8 L. e


8 {& x- j& s$ c, J7 J* I4 Y4 h* f三和法
" Z+ S- a# Z. h

) E2 Y7 K+ S# [# w
' l4 m  y" @0 z* R


2 d% r) A: C# M- C例 8  根据统计资料，某厂收音机连续 15 年的销售量如表 11。 试用修正指数曲线预测 1986 年的销售量。
) k% T+ W7 Q8 ~3 w: |

( \( M# R9 p9 N9 L: E) L1 f
( b6 u6 i; @7 {
4 e! ?# o, J$ M- ^  }) u
' U  C& M8 W% B$ m6 ]% @' S& [
& s; N6 X. i1 @+ k6 W计算的 MATLAB 程序如下：
( r, a; C* v8 X3 \0 f5 D
% ^+ y' x1 B+ v/ C  afunction chanliang
4 U( p# o8 T- l, a' y7 [  `clc,clear
global a b k
* [! Y8 t1 J! x2 D8 q' P: |" Mload xsh.txt %原始数据存放在纯文本文件 xsh.txt 中
3 C8 U7 d0 Y' T- w6 A/ }yt=xsh; n=length(yt);m=n/3
cf=diff(yt);
7 D# o+ V$ k- ]& Q( G% Yfor i=1:n-2     
    bzh(i)=cf(i+1)/cf(i);
  V' n. G; A  L* x$ c- [/ U- X, Y1 A7 oend
% }& v) s- G: e/ ]" a% Lrange=minmax(bzh)
( Y1 G/ \5 b& J. H) xs1=sum(yt(1:m)), s2=sum(yt(m+1:2*m)), s3=sum(yt(2*m+1:end))
" p/ e( d" O! Y! Tb=((s3-s2)/(s2-s1))^(1/m) a=(s2-s1)*(b-1)/(b*(b^m-1)^2)
k=(s1-a*b*(b^m-1)/(b-1))/m
# s- W) b6 }" v  ty=yuce(1:18)
# e( T8 J5 J! P% D- `$ y0 V%************************************
%定义预测函数
%************************************
1 ^- p+ k/ I8 n! H# {1 i4 ofunction
y=yuce(t)
6 y9 [  I  ~2 ]/ o* bglobal a b k
y=k+a*b.^t;  


# w2 C0 R! I/ w# s. nCompertz 曲线

: m" S0 J. n5 l6 C

例 9（续例 8）  根据表 11 的数据，试确定收音机销售量的 Gompertz 曲线方程， 求出各年收音机销售量的趋势值，并预测 1986 年的销售量。

计算的 MATLAB 程序如下：

function chanliang2
6 Q! I7 w% p2 uclc,clear
0 D7 W$ x7 u$ k. \, p  oglobal a b k
load xsh.txt %原始数据存放在纯文本文件 xsh.txt 中
% s9 h! m5 w: Q& D1 hyt=log(xsh); n=length(yt);m=n/3;
0 B7 y# \5 p+ M' s+ r  w/ O$ T8 E8 c7 us1=sum(yt(1:m)), s2=sum(yt(m+1:2*m)), s3=sum(yt(2*m+1:end))
0 i9 W/ o* ?* \b=((s3-s2)/(s2-s1))^(1/m)
1 P4 Q5 s' }; S: U/ h- ka=(s2-s1)*(b-1)/(b*(b^m-1)^2)
4 K- x, ^% K& r$ ~2 }. wk=(s1-a*b*(b^m-1)/(b-1))/m a=exp(a)
k=exp(k)
. G5 [/ t2 m, r5 {2 `. ]y=yuce(1:18)
%************************************ %定义预测函数 %************************************ function y=yuce(t);
, n* E$ B, M  y  L7 {2 Dglobal a b k
2 T$ O5 t- _# r& q& `y=k*a.^(b.^t);
, c" R  U$ N0 [0 N0 q
Logistic 曲线（生长曲线）
/ M7 K6 ?7 c! b; ?7 P  D" l生物的生长过程经历发生、发展到成熟三个阶段，在三个阶段生物的生长速度是不 一样的，例如南瓜的重量增长速度，在第一阶段增长的较慢，在发展时期则突然加快， 而到了成熟期又趋减慢，形成一条 S 形曲线，这就是有名的 Logistic 曲线（生长曲线），很多事物，如技术和产品发展进程都有类似的发展过程，因此 Logistic 曲线在预测中有 相当广泛的应用。
- ^' U3 h/ w" ?+ a
" g8 N- o/ n+ L6 c
# S3 u, g/ ~( Z% q) S+ }
2 `( K! w3 ^1 V+ V/ V, Q, g

' P( a, a2 m( h$ F
0 _2 t+ K/ f0 m  O+ C6 s
' C0 b! h+ k1 z' G例 10（续例 8）  根据表 10 的数据，试确定收音机销售量的 Logistic 曲线方程， 求出各年收音机销售量的趋势值，并预测 1986 年的销售量。
; R: F) s( c+ J$ m/ J
6 P* l# K/ t# z


  a' T8 Q$ z: w1 T
计算的 MATLAB 程序如下：
5 f2 n  E5 j( C1 I
& i6 S+ r1 p. q0 J6 Rfunction chanliang3
clc,clear
global a b k
9 L( H6 L. O% i% v4 i" k$ Eload xsh.txt %原始数据存放在纯文本文件 xsh.txt 中
$ A) r& p0 g' D9 Uyt=1./xsh; n=length(yt);m=n/3;
s1=sum(yt(1:m)), s2=sum(yt(m+1:2*m)), s3=sum(yt(2*m+1:end))
8 P3 f/ S$ u+ k1 ^" U$ ]) }+ _b=((s3-s2)/(s2-s1))^(1/m)
* Y/ t" A) j2 O0 U. E# Y4 C8 ~a=(s2-s1)*(b-1)/(b*(b^m-1)^2)
k=(s1-a*b*(b^m-1)/(b-1))/m
! q0 l# p) s; M. Q" i" F, Cy=yuce(1:18)
2 Y$ ^7 g9 ~6 r. g9 n) y2 N%************************************ %定义预测函数 %************************************ function y=yuce(t);
global a b k
6 T" m) d. f7 o3 r. Wy=1./(k+a*b.^t);
' ~! ^% V& n: i9 l  y6 W# g
2 ~+ i7 l4 T" s2 i4 R8 a
( h6 m) J1 i9 r* j1 {: I+ a
+ M5 _7 I! V4 A+ B: o' G, t7 S趋势线的选择

趋势线的选择有以下几种方式

当有几种趋势线可供选择时，应选择S 小的趋势线。

% _  s9 V% P& F9 T

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! _2 o; L( o1 Q6 _' \3 u- o

/ f* w1 d7 o3 G# G9 _4 ~  S