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[建模教程] 排队论模型(八):Matlab 生成随机数、排队模型的计算机模拟

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    发表于 2020-6-13 09:35 |显示全部楼层
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    1 产生给定分布的随机数的方法8 ^5 P6 Z! Q9 g5 [2 L9 p) P
    Matlab 可以产生常用分布的随机数。下面我们介绍按照给定的概率分布产生随机数的一般方法,这些方法都以U(0,1) 分布的随机变量为基础。
    5 j- _& ^5 ?! T  R" P( ^
    # K/ L& \! Z" O- g(i)反变换法/ d5 B0 t! v+ U. W. F* n  _3 b) m
    定理 设 X 是一个具有连续分布函数 F(x) 的随机变量,则 F(X ) 在 [0,1] 上服 从均匀分布。
    ; c! b% @; {) U* d+ b+ }0 t7 a5 H" V# ^4 e/ [' Z0 n

    % b2 x4 S) B/ I5 X- D( t2 o) R" ]7 _

    # U, Y) O) j  |% e! ]$ g* x4 Z$ P% o, a* z0 b$ N" Y/ `
    (ii)卷积法
    ( ^$ V% A$ b9 s  }/ J" q
    1 }+ p, @% Z* r' f  D& N5 e1 a4 L8 m# S4 c

    - G. z7 n4 l2 |5 g* f(iii)取舍法
    - S" ]1 W; v; t  O若随机变量 X 在有限区间(a,b) 内变化,但概率密度 f (x)具有任意形式(甚至没 有解析表达式),无法用前面的方法产生时,可用取舍法。一种比较简单的取舍法的步 骤是:" r! y$ h+ y* A

    7 G# u9 K) V' [" U) `9 e& ^" N2 v) P1 }2 i# R, R
    1 x$ a; r, y! t  C
    2 排队模型的计算机模拟
    ' i9 ?: N2 |9 k- l' W  K2.1 确定随机变量概率分布的常用方法
    8 Z3 i9 ?8 J( M3 `& q2 H+ M在模拟一个带有随机因素的实际系统时,究竟用什么样的概率分布描述问题中的随 机变量,是我们总是要碰到的一个问题,下面简单介绍确定分布的常用方法:
    * [$ H5 Q0 R: _$ j
    ! X7 S/ }8 Y* l! E9 ?" J【1 】根据一般知识和经验,可以假定其概率分布的形式,如顾客到达间隔服从指数 分布 Exp(λ) ;产品需求量服从正态分布   ;订票后但未能按时前往机场登机 的人数服从二项分布 B(n, p) 。然后由实际数据估计分布的参数 λ,μ,σ 等,参数估计 可用极大似然估计、矩估计等方法。6 z2 Z! c" y8 N# S+ c8 T, \

    8 _* |% w0 }" g【2】 直接由大量的实际数据作直方图,得到经验分布,再通过假设检验,拟合分布 函数,可用  检验等方法。 3 o 既缺少先验知识,又缺少数据时,对区间(a,b) 内变化的随机变量,可选用 Beta 分布(包括均匀分布)。先根据经验确定随机变量的均值 μ 和频率最高时的数值(即密度函数的最大值点)m ,则 Beta 分布中的参数   可由以下关系求出:2 y# C0 d0 q# d# x; _1 |* l# Y
    7 ?" j% U6 U9 A( r# G
    + [  j" V1 v2 ~% ^% Q4 V4 I5 v

    2 p$ b: o& c, h 2 .2  计算机模拟
    ' j+ ], V7 G* Y! b当排队系统的到达间隔时间和服务时间的概率分布很复杂时,或不能用公式给出 时,那么就不能用解析法求解。这就需用随机模拟法求解,现举例说明。
    ( z$ K1 M9 _" ~8 u
    # h, K8 Y1 U# C  L% D! h& |例 14 设某仓库前有一卸货场,货车一般是夜间到达,白天卸货,每天只能卸货 2 车,若一天内到达数超过 2 车,那么就推迟到次日卸货。根据表 3 所示的数据,货车到 达数的概率分布(相对频率)平均为 1.5 车/天,求每天推迟卸货的平均车数。; [* _) a& ~. U+ o

    : z3 [; O& g9 f' l5 @+ f/ s9 D
    0 \  z; b  A$ b0 r
    & m* L6 z  s% I( R解 这是单服务台的排队系统,可验证到达车数不服从泊松分布,服务时间也不服 从指数分布(这是定长服务时间)。 随机模拟法首先要求事件能按历史的概率分布规律出现。模拟时产生的随机数与事 件的对应关系如表 4。" y  n4 V; ^) a$ J6 F$ j6 f
    . [2 `, X; b; G5 z6 Q/ o% N

    ' P! H& @9 u9 n. B3 Z% p! m) t) z# ?
    我们用 a1 表示产生的随机数,a2 表示到达的车数,a3 表示需要卸货车数,a4 表 示实际卸货车数,a5 表示推迟卸货车数。编写程序如下:6 ?7 ], C  n' O  l2 y
    ( X" b. H, [) |& y, v
    clear7 v: ]4 u8 ]( _" B
    rand('state',sum(100*clock));% }2 H: h& t! g9 j! Z
    n=50000;
    / r! f+ v# E, x. v3 J, A( cm=2( ?* {$ d" J; ]( ~; d! S
    a1=rand(n,1);
    ' v1 ]1 U) {2 G; O) [a2=a1; %a2初始化
    . y, T  k# F- E' s8 ja2(find(a1<0.23))=0;9 ]# f3 C, u: z+ R& b
    a2(find(0.23<=a1&a1<0.53))=1;2 c1 @( x: p" S' J' ^, ^" |5 r. u
    a2(find(0.53<=a1&a1<0.83))=2;0 a/ \6 R8 i. V7 p1 ]4 K' l$ K
    a2(find(0.83<=a1&a1<0.93),1)=3;4 @% D; W, Q9 M' ^
    a2(find(0.93<=a1&a1<0.98),1)=4;
    : c4 @' h7 P; i3 @% _! y4 qa2(find(a1>=0.98))=5;
    3 z' x$ Z4 W4 t" C' Ya3=zeros(n,1);a4=zeros(n,1);a5=zeros(n,1); %a2初始化
    ; S: ?+ K3 L( r* R' ha3(1)=a2(1);
    6 G) n, e2 Q7 A% g- M. Yif a3(1)<=m& {, q9 X/ y8 \- h" _9 n- H" D; U+ s
        a4(1)=a3(1);a5(1)=0;: B4 E" P. E7 [  W# b/ }
    else+ v( V5 F8 D7 W( Q& X- R' R' u5 v
         a4(1)=m;a5(1)=a2(1)-m;3 X* N! K" Y0 N2 h& I7 e/ U
    end; ]- j. X  O1 }
    for i=2:n
    + J4 i, j! |" |7 d) w& P5 w    a3(i)=a2(i)+a5(i-1);( y  m& _' n- y; K
        if a3(i)<=m' K0 q' s2 i( H& }# f9 T8 `
            a4(i)=a3(i);a5(i)=0;
    9 K' }  X; w: C% \4 C2 H    else  p1 }+ ?* P/ l! @3 L
            a4(i)=m;a5(i)=a3(i)-m;
    $ L1 ]7 q  \1 W, z    end
    2 Y+ \* u' _8 x: Jend! Z. Y2 a; j& i# B4 w' v
    a=[a1,a2,a3,a4,a5];
    - z& s  L# l% Z# Vsum(a)/n
    6 O! G& ~; [. C8 Y( ?$ k例 15 银行计划安置自动取款机,已知 A 型机的价格是 B 型机的 2 倍,而 A 型机 的性能—平均服务率也是 B 型机的 2 倍,问应该购置 1 台 A 型机还是 2 台 B 型机。 为了通过模拟回答这类问题,作如下具体假设,顾客平均每分钟到达 1 位, A 型 机的平均服务时间为 0.9 分钟, B 型机为 1.8 分钟,顾客到达间隔和服务时间都服从 指数分布,2 台 B 型机采取 M / M / 2 模型(排一队),用前 100 名顾客(第 1 位顾客到 达时取款机前为空)的平均等待时间为指标,对 A 型机和 B 型机分别作 1000 次模拟, 进行比较。
    ) Q  M' z4 Z) F1 B! u3 _, A
    8 i3 v% r/ A# H3 B; e7 ?
    0 q0 l5 C2 g- U5 R4 s
    3 [5 x: ^- O( _7 {3 W0 V在模拟 A 型机时,我们用cspan表示到达间隔时间,sspan表示服务时间,ctime 表示到达时间,gtime表示离开时间,wtime表示等待时间。我们总共模拟了m 次, 每次n 个顾客。程序如下:
    , b  {3 m8 R, T
    $ T9 X: B8 K- L6 Ttic- x! o$ f$ r+ [$ @% K* y
    rand('state',sum(100*clock));
    " H4 O* T! G- o. S- N, T  n$ fn=100;m=1000;mu1=1;mu2=0.9;
    3 L& r7 H$ I8 e1 x0 I! _5 Z8 afor j=1:m
    9 Y: j0 Z5 C9 \* }1 t; @! S+ B9 R    cspan=exprnd(mu1,1,n);sspan=exprnd(mu2,1,n);" ?$ `* f! i1 G8 P
        ctime(1)=cspan(1);1 {6 ^) U1 x0 I) t+ d# V
        gtime(1)=ctime(1)+sspan(1);
    " Q5 l0 T8 K, U    wtime(1)=0;
    % |: p$ m# H/ _2 y! H    for i=2:n
    * v% N2 g3 p5 t5 X8 X6 [6 F        ctime(i)=ctime(i-1)+cspan(i);
    9 j8 D# p) B( I5 L9 ~8 U        gtime(i)=max(ctime(i),gtime(i-1))+sspan(i);
    : d( s: \. `; _6 k8 }4 v3 t" U        wtime(i)=max(0,gtime(i-1)-ctime(i));
      Z! u: ~3 i9 \, ]    end
    3 W; ]; I" H  K8 N7 j: v    result1(j)=sum(wtime)/n;* ~0 w7 F& ^5 u
    end
    ( B& t& C4 Y! g/ b5 U5 S0 cresult_1=sum(result1)/m
    $ ~( U( V! l2 Y  m) f: [* e* E# Itoc/ w1 W7 S% ~1 H6 T! m
    类似地,模拟 B 型机的程序如下:6 F# n' d8 W1 n$ X( A
    ' H. f) P( U5 X5 h) u# ?' S% e# Y; l" M
    tic
    . S( Q! d) w! \9 Orand('state',sum(100*clock));/ \7 h2 J- R5 m, I) _. U
    n=100;m=1000;mu1=1;mu2=1.8;* D  T' t% s( K+ }5 x' _2 g
    for j=1:m# l4 P: i/ K* ^) ~
        cspan=exprnd(mu1,1,n);sspan=exprnd(mu2,1,n);$ w( ^* U* P7 K' F* z& N% L: Y
        ctime(1)=cspan(1);ctime(2)=ctime(1)+cspan(2);
    , H- q; s! q$ G+ i    gtime(1:2)=ctime(1:2)+sspan(1:2);/ Y9 |  C% h; q% M; L! G4 s
        wtime(1:2)=0;flag=gtime(1:2);
    ) H7 i' j9 n7 o  ^  T    for i=3:n. ]  {5 S" {- ?5 x# \
            ctime(i)=ctime(i-1)+cspan(i);
    ' E) p, d+ b& J: Y& @! g        gtime(i)=max(ctime(i),min(flag))+sspan(i);% M( O  ~( P* P) D( _9 r, g# i
            wtime(i)=max(0,min(flag)-ctime(i));& Y' Q$ X& {4 n" r, {+ t5 H
            flag=[max(flag),gtime(i)];
    % ^  U/ x6 v. O4 z3 O    end: u# o1 d6 f1 r+ s1 H
        result2(j)=sum(wtime)/n;
    : \# U7 d( r# H$ Oend
      q. |. x; l/ ^5 g& _result_2=sum(result2)/m
    * j3 J- X* V: q) Stoc 4 w, z& Y3 s8 R% k! U  A
    读者可以用下面的程序与上面的程序比较了解编程的效率问题。
    % |$ z6 g# P) h% V' l8 J3 U2 n5 x8 l, L8 k+ F' h: Z+ @9 H- D8 [
    tic
    " d; O0 Y# F& U+ V. Zclear8 \8 Q2 J: x4 ?1 J0 e
    rand('state',sum(100*clock));
    4 n$ L2 i  D& j9 U5 B  Q3 _n=100;m=1000;mu1=1;mu2=0.9;! S+ l( Q5 B9 @  H
    for j=1:m
    3 `* a5 p! s  r& s8 t    ctime(1)=exprnd(mu1);
      G* H- r/ A  c5 g8 ]9 k: U- S    gtime(1)=ctime(1)+exprnd(mu2);/ b6 p3 Y4 S  X2 V
        wtime(1)=0;
    6 y6 j7 N8 Z' g$ E4 j    for i=2:n3 B- n7 a! V2 `# r1 S& s) G$ K
            ctime(i)=ctime(i-1)+exprnd(mu1);
    # {* u& A% m% V' c2 A        gtime(i)=max(ctime(i),gtime(i-1))+exprnd(mu2);! [7 o6 E7 J, I8 H, g- D
            wtime(i)=max(0,gtime(i-1)-ctime(i));' w1 U! b* Z9 G( J
        end
    ) z6 O7 j1 c! p* G    result(j)=sum(wtime)/n;; K$ U) A, J; g1 u  i
    end
    ! N5 @4 e6 y* K; Uresult=sum(result)/m8 N' t  e6 C, ~0 e9 `- X
    toc# s/ ~; F$ e3 y! V( n
    1. 一个车间内有10台相同的机器,每台机器运行时每小时能创造4元的利润,且平 均每小时损坏一次。而一个修理工修复一台机器平均需4小时。以上时间均服从指数分 布。设一名修理工一小时工资为6元,试求:; ~; l- j: m9 I5 k
    4 d2 l( B; b$ b  x- i% o0 t- t  @0 p7 h
    (i)该车间应设多少名修理工,使总费用为最小;
    ) N+ i. \. W  I  M5 s  s
    , A7 F; ^  n6 a% U(ii)若要求不能运转的机器的期望数小于4台,则应设多少名修理工;! k0 J3 s$ |+ f- m( p+ ~8 z
    " B- g, l+ Q8 G
    (iii)若要求损坏机器等待修理的时间少于4小时,又应设多少名修理工。* H9 M$ j/ t3 J4 z) f& o

    5 f, ^- M$ }" l: Y' V: }- `2. 到达某铁路售票处顾客分两类:一类买南方线路票,到达率为λ1 /小时,另一 类买北方线路票,到达率为λ2 /小时,以上均服从泊松分布。该售票处设两个窗口,各窗口服务一名顾客时间均服从参数 μ = 10 的指数分布。试比较下列情况时顾客分别等 待时间Wq :
    ! s2 E6 L3 g$ G, n# ~7 L+ Q, U* L1 x
    (i)两个窗口分别售南方票和北方票;
    : C. j1 H5 r% G3 o# ?
    8 {" [' D  i- u7 m  u# h3 a(ii)每个窗口两种票均出售。(分别比较 λ1 = λ2 = 2,4,6,8 时的情形)
    ( ?& [, ?9 D" S7 c* D  A  ^' q7 B9 x  j, }
    3. 一名修理工负责5台机器的维修,每台机器平均每2h损坏一次,又修理工修复一 台机器平均需时18.75min,以上时间均服从负指数分布。试求:
    9 W8 O% d' [  [4 y, z! g& y- a
    ' ^1 c9 h3 R+ i(1)所有机器均正常运转的概率;8 L- K! o; e9 ]6 m! d5 z
    ! m3 ~+ O4 J/ l+ i: L
    (2)等待维修的机器的期望数;  j3 t% e9 B- C+ V2 C
    ) U: A/ W8 b/ Y) E, v# X+ Y! x( i7 x
    (3)假如希望做到有一半时间所有机器都正常运转,则该修理工最多看管多少台 机器。
    2 y3 o! j( N: y2 [2 F0 N! \6 c( \; V9 P7 g" A% `. }% J) H# T
    (4)假如维修工工资为8元/h,机器不能正常运转时的损失为40元/h,则该修理工 看管多少台机器较为经济合理。/ r9 J' d# a* Y
    ————————————————" x4 S  O- {# ?6 ?
    版权声明:本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。0 p  U+ }2 @9 }# x# d% i
    原文链接:https://blog.csdn.net/qq_29831163/java/article/details/89738145/ r7 c8 x: _9 ]$ x- O2 Y* H

    * V/ D$ \4 [: t  p1 f4 X
    + j! g+ x1 p. A- h; q, v9 q9 d
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