动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分

浅夏110

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。
7 ~/ U8 A! Y: @% H7 k$ m2 b
  @5 J8 [% Q) u; h( g/ U变分法简介
  X0 p0 j( l1 y/ q  c. j. A) l; P- v' K, t
7 `! f& u6 z5 a变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。
! q5 m1 _5 y4 V/ K
3 L6 ^' A- {! p* w8 P1 变分法的基本概念
7 Z  L3 r7 P5 s  w: w. U1.1 泛函
) s3 `" K$ P7 T5 W9 c
! L. L" L0 e# O
8 K4 ~& O( ~$ K; R' e. M
+ K: F1 ?6 d+ ^% U 1.2 泛函的极值
- T; Y) F  o5 [) |
/ G3 H4 r6 z5 p' W) {

1.3 泛函的变分

" V" ?4 {/ ~' V7 `  i: m8 P6 n
% r# g4 s3 B; D

4 t4 B. U6 B- _* M8 Z1.4 极值与变分
5 E5 e( W; p% B5 v7 d利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：
9 @; o; N6 y6 A

5 l- l  ^7 v& L* a* y7 L1 D
1.5. 变分法的基本引理



2 无约束条件的泛函极值
$ _; O7 }. G* x( k* y9 H- Y


" r' h+ a0 B  M$ D5 Z0 X0 @2.1 端点固定的情况
) `/ J0 H0 w( G7 I

% x( E- O, [6 r, a& x9 W
6 R: y( {6 F; M7 n
2.2 最简泛函的几种特殊情形
% D) |& _. A; P! y. j
; P  N4 N9 ?; E/ N0 ]
; E6 s2 f1 W; Z

  T+ Q2 |2 [" d& z2 X
% Q' u/ J* w# ?+ y/ I例 1 (最速降线问题)  
最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。
4 y$ ?6 |; @! X- M! ]' r7 n, I
  X4 L- n- V! T! a6 O



; a; E7 g. W6 G2 g+ a; D例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程
8 z1 C& h, ~8 }4 ~) b. H$ r2 G


2.3 最简泛函的推广
最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。
; o6 |1 l, N8 n2 ]
（ⅰ）含多个函数的泛函



! h6 b2 i5 x2 m4 p2 ?( _( X（ii）含高阶导数的泛函

  E  v" }7 U7 l* m

（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程
, n8 ?3 H6 u6 J( O5 k  A
' Y0 `" ]7 q% r4 b

" `& Y+ A4 u4 z. \( s" c7 _* p2.4 端点变动的情况（横截条件）
+ l; ?% |( D3 e0 a# b2 z. [  ^1 z

! ]+ }3 M$ t5 v( y4 b- W8 q" s

, p7 F! [* G7 r, `9 t横截条件有两种常见的特殊情况：
& R6 y- s) [; j2 h" X& Q

, |) M) [) x" x$ b; n/ e* g
0 I& M, c% Y: S4 x4 o+ _注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。
4 j- _% \( H' W
3 有约束条件的泛函极值
在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统



2 `; _. I! r2 W2 J2 N3 ^# S



0 B2 d) {! T. H0 R- e4 F

4 最大（小）值原理
( M+ v+ w  P) B; e

# I$ P, w2 W4 y7 q% N" i
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