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TA的每日心情 | 开心 2020-11-14 17:15 |
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发表于 2020-6-15 11:39
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某公司开发了一种新产品,打算与目前市场上已有的三种同类产品竞争。 为了了解这种新产品在市场上的竞争力,在大规模投放市场 前,公司营销部门进行了广 泛的市场调查,得到了表8。四种产品分别记为 A 、B 、C、D ,其中 A为新产品,表 中的数据的含义是:近购买某种产品(用行表示)的顾客下次购买四种产品的机会(概 率)。例如:表中第一行数据表示当前购买产品 A的顾客,下次购买产品 A 、B 、C、D 的概率分别为75%,10%,5%,10%。请你根据这个调查结果,分析新产品 A未来 的市场份额大概是多少?, w) k) L: j$ m j
) M n+ k2 K+ d" D, y0 r: i0 G7 X
6 I8 o5 v( @* }) U( W B
6 T0 E3 s: v1 ^% ^* ^
: i _, Z, a' z2 j _# s3 q6 }+ p o
5 e' ]' ?# ]0 o7 A (1)问题分析
6 U( v; ~( b6 z2 C8 w
$ C) x: t8 A) k+ [/ X: v( D新产品进入市场后,初期的市场份额将会不断发生变化,因此,本例中的问题是一 个离散动态随机过程,也就是马氏链(Markov chain)。很显然,上面给出的表实 际上是转移概率矩阵(注意每行元素的和肯定为1)。要分析新产品 A未来的市场份额, 就是要计算稳定状态下每种产品的概率。
, G0 L# @: S3 J* }! E3 R, { D4 ~9 @% G9 V/ u7 ~6 |5 ^
(2)模型的建立
' C3 B$ C# Q( O# x: c; O1 x% g5 K: w- r, @2 ^
记 N 为产品种数。产品编号为i( N i =1, 2,...1 L= ),转移概率矩阵的元素记为,稳定状态下产品i的市场份额记为 . 因为是稳定状态,所以应该有 6 h3 z( C6 R+ F- P4 H( }
. l! l! q* o+ `
(1)
" ^6 t- o/ p- z" l
! ^* z1 R5 g- Q, d5 M* c8 _不过,这N 个方程实际上并不独立,至少有一个是冗余的。好在我们还有另一个 约束,即 N 种产品的市场份额之和等于1 8 u8 d2 f. B5 @9 B8 a$ X/ {
4 F1 G: ]4 I5 q+ j$ ^- C, R
% L9 \# R; @. t
(2)
" L; m1 ?" i1 J2 {9 B; g
7 p2 D6 c# e- q: g( m0 b$ i( N可见,这个问题的模型实际上是一个非常简单的方程组(当然,还应该增加概率 非负的约束)。如果把这些看成约束条件,那就是一个特殊的优化模型(没有目标函数)。
1 q2 ]9 B3 ?2 z% }% M9 } K& |6 s: n* k" W; O
(3)模型的求解
" ]2 q% r% ]; A, F
7 N1 b9 N% `& c) r( g2 q: ELINGO程序如下:
5 ]; m% d7 c, R; M/ A
- x- L( i$ Y- x4 W6 y# CMODEL: : S, y, X1 V6 E9 ]5 o
TITLE 新产品的市场预测; % {/ x8 I: c ?6 k
SETS: 3 h) u4 P0 @3 n7 h \7 K
PROD/ A B C D/: P;
% ~) E% M' K' x+ z$ W+ v5 [6 o LINK(PROD, PROD): T; 1 T9 P: J! y5 R7 L" g
ENDSETS
4 v& g+ }+ D9 L& k& ~9 p3 u. zDATA: ! 转移概率矩阵;
3 n1 `+ t2 ?2 n1 p. |# t2 m T = .75 .1 .05 .1
6 b" h3 i! { ]- V# J" D2 ] .4 .2 .1 .3
& P' U' J! U- }2 b1 \6 l: J" A& U9 b' \ .1 .2 .4 .3 0 ~2 T; S/ j8 D1 B' G, {
.2 .2 .3 .3; ) i# j T( p9 L$ Q! u1 [) ^
ENDDATA 3 h; S' k5 G/ m
@FOR(PROD(I): P(I)=@SUM(LINK(J,I): P(J)* T(J,I)) );
& {% `* g. @7 P: F7 Z@SUM(PROD: P) = 1; ; }! i m, [6 m
@FOR(PROD(I): @WARN( '输入矩阵的每行之和必须是1', @ABS( 1 - @SUM(LINK(I,J): T(I,J)))#GT# .000001));
& g- L7 s9 B g6 G0 ^3 X* wEND
) y" k: R# x6 X3 i可以指出的是,上面LINGO模型中后的语句@WARN只是为了验证输入矩阵的每行 之和必须是1,而且我们看到为了比较两个实数(如X和1)是否相等,一般不能直接用 “X#NE#1”,因为受计算机字长(精度)的限制,实数在计算机内存存储是有误差的。所 以,通常的方法是比较这两个实数之差的绝对值是否足够小。 求解结果为 A ,B ,C, D的市场份额分别是47.5%,15.25%,16.75%,20.5%。 3 S6 q! u! E! N* ~3 }
3 }! e. l3 \& |. w: q; A; V
) D1 u5 F) p3 [( A7 `& W
& m* a9 R0 N5 ]$ e6 S8 `习题:假设某公司在银行有一个现金帐户和一个长期投资帐户,现金帐户利息很低, 而长期投资帐户利息较高。所有业务往来(收入和支出)只能通过现金帐户进行,如果 现金帐户中钱很多,就可能需要将一部分钱转入长期投资帐户;反之,需要将一部分钱从长期投资帐户转入现金帐户。为简单起见,假设以万元为单位,现金帐户的钱数只能 是-20,-10,0,…,40,50(万元)之一,分别记为状态1,2,…,7,8,它们 每个月分别导致的费用如表12所示。此外,根据统计,如果当月现金帐户的状态位于i ( 2 ≤i ≤7 ),下个月现金帐户的状态只可能位于 i-1,i,i+1 三者之一,并且概率分别为0.4,0.1,0.5;如果当月现金帐户的状态位于1,则下个月现金帐户的状态只可 能位于1和2,并且概率分别为0.5,0.5;如果当月现金帐户的状态位于8,则下个月 现金帐户的状态只可能位于7和8,并且概率分别为0.4,0.6。
* R5 Z* }3 Y7 \( L0 D+ D8 Q
6 t/ J8 B9 w* R1 [/ @3 w6 w7 v7 P+ I [& i
) D+ T. }% m& T, X; o* r, Y2 |4 Q8 x
每月初你可以改变当前状态(即从长期投资帐户转入现金帐户,或从现金帐户转入 长期投资帐户),但假设每次状态的改变银行收取0.3万元的固定费用,此外还要收取 转帐金额5%的转帐手续费。请你建立优化模型,确定如果当月现金帐户的状态位于i, 是否应该改变当前状态,如何改变状态?
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4 N: Q; b7 B ~' k" _: }3 s' _0 Y: m8 T+ T) z, m5 @; A+ O# n5 c
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