线性规划——运输问题（产销平衡）

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运输问题（产销平衡）
  某商品有m 个产地、n 个销地，各产地的产量分别为a1,a2,…am ，各销地的 需求量分别为b,…bn , , 1 L 。若该商品由i 产地运到 j 销地的单位运价为 cij ，问应该如何调 运才能使总运费最省？
* A( [2 O7 t: V6 y
  解：引入变量 xij ，其取值为由i 产地运往 j 销地的该商品数量，数学模型为
: v, j1 P: `9 M2 T/ ~. e3 f
                                         
          显然是一个线性规划问题，当然可以用单纯形法求解。

  对产销平衡的运输问题，由于有以下关系式存在：

其约束条件的系数矩阵相当特殊，可用比较简单的计算方法，习惯上称为表上作业法（由 康托洛维奇和希奇柯克两人独立地提出，简称康—希表上作业法）

: Y* ]: u' ]$ B3 J: ~例题：

/ A7 h. q3 L! X, v) U" m( ~( V6 Z) ^  某公司有三个加工厂A1，A2.A3生产某产品，每日的产量分别为：7吨、4吨、9吨；该公司把这些产品分别运往四个销售点B1，B2、B3、B4，各销售点每日销量分别为：3吨、6吨、5吨、6吨；从各工厂到各销售点的单位产品运价如表4-1所示。问该公司应如何调运这些产品，在满足各销售点的需要量的前提下，使总运费最少？

解析： 典型的产销平衡问题，将已知数据做成表格如下：
9 t7 u1 n5 a* Q# {! k
9 ]+ w! U) n8 N% y
5 o+ S% k1 C# S9 q/ w, u4 ?将所有数据列成表格会更加清晰，根据题意可以得到目标函数的表达式如下：
6 y0 ]8 O) o0 e
8 I. d0 x/ V- @5 ]$ M1 R/ f然后将已知约束关系整理如下：

可见题目中并没有不等式约束关系，同时也没有约束上界ub。
$ U4 d6 c5 o; f! o, o! UMatlab 程序实现
clc;clear                                %清空数据防止干扰
% K! \8 V- l9 l+ X% Sf=[3;11;3;10;1;9;2;8;7;4;10;5];        %价值向量
aeq=[ones(1,4),zeros(1,8);                %线性等式约束        构造矩阵
    zeros(1,4),ones(1,4),zeros(1,4);
/ ?/ c; p3 d% K' q  o9 z; h: h0 Y    zeros(1,8),ones(1,4);
+ Y2 r/ ^( p+ i, B  G- E; |6 P    1,zeros(1,3),1,zeros(1,3),1,zeros(1,3);
    0,1,zeros(1,2), 0,1,zeros(1,2), 0,1,zeros(1,2);
) F5 y1 X. K2 @" C    zeros(1,2),1,0, zeros(1,2),1,0, zeros(1,2),1,0;
3 u( v, ]9 I4 ~7 A    zeros(1,3),1,zeros(1,3),1,zeros(1,3),1];
beq=[7;4;9;3;6;5;6];                        %线性等式约束
- P3 B. X4 A3 T# o: F1 W. y3 A9 w[x,y]=linprog(f,[],[],aeq,beq,zeros(12,1))        %求解
/ a# i$ e, i: H2 c5 l题目答案：
x=[0;0;5;2;3;0;0;1;0;6;0;3]
# n) M8 `* \% h( I* O" \y=85


& a  v- P( S( ]  [
3 b$ i/ ~/ M9 [