四色证明

雪菲

一个常数的发现，三邻国定理的证明及四色大定理一个非计算机数学上

证明的给出

2 }7 ]8 Z" d, \7 T9 H. o四川省绵阳监狱服刑人员
涂建国

7 A  a% L2 g& H& _$ M! Z; t2010年1月29日

[简目]

1、
一个猜想（30年前自己提出的三邻国猜想）

2、
2 p" y0 r. b: r/ @% D一点说明
( g: }. e& h- j- M( a挑出毛病奖万元

3、
1 W9 Y7 q0 z  v. _; M# }6 F8 ^一个非计算机方法证明四色大定理

（1）己知数学基础知识的梳理和关注

涂楠原理；可平面化图的根；不可四色图的底。

（2）未知常数的发现及三邻国猜想（现为定理）的证明

（3）导出简法绝妙的捷径，证明四色定理。

数学前辈问、寻的也许只是一叶新绿，我们走进了却发现整个科学的春天！

4、一点小结和预告
% m; P) ?$ M2 `3 R3 N8 T; n  |问题越难越好，答案越简单越美妙。

1、
一个猜想

30年前，笔者还只是一个高中学生。数学考试、竞赛成绩均名列前茅。理想当数学家，课余攻读“世界数学未解难题”的许多小册子，以至常有通霄达旦却乐不知疲的事-----因为数学问题是如此地充满魅力，看似简单却神奇地难，一个问题未解自己冒出新的问题。接触四色猜想时，笔者又大胆设想了一个必然：给您一张足够大的纸，不论您是狂舞乱画，或者用心良苦、精工细作，随您画多少个国家，如一万亿个，随您作主解决边界争端，随您让一国**几次或者合并M次，您交给我们的地图中至少有一个国家，它只有最多不超过3的邻国，不妨试试或者看一下任意一张地图。

目前，您不能从任何一本教科书上看到这一神奇的猜想或绝妙的解证，因为提出它并证明之的笔者还未公之于众。笔者甚至知道这种邻国不超过3的国家的个数 ， 为地图上国家的总数， =1，2，3，…， ，以至您能想到的任意整数，如 。

三邻国猜想当然有关四色大定理。现在看来，因为有3才有5。30年前笔者大体找到了证明四色大定理的方向、思路。不过，表述将比目前这个冗长许多。因为当时还未能充分证明自己提出的三邻国猜想，不得不以置换群、Kempe链，三色圈等工具，将所有可平面图分3种情形一一进行分析。

+ N1 v$ E* |4 \  ~% D( h9 ]) V点定数的发现、最小化，象一座金桥，事情从复杂一下子简单，象一道金光，灵感由曲拉直——灵感，只给有准备的头脑。

7 B' ~" N- K5 @5 U$ J30年期间，笔者曾给中科院数学所华罗庚、陈景润，以及写了一本《图论》教材的长沙铁道学院数学系李蔚萱教授去信（也要感谢一位高中同学、好友、同是数学爱好者，现为数学老师的曾正平，曾经常充当顶牛、挑刺者和第一读者，但未挑出毛病）。华罗庚、陈景润及李教授都给笔者回了信，归纳起来说3点：一是鼓励钻研精神，也发现有数学头脑；二是他们对四色问题缺乏深入研究，该问题被解答太重大了，不妄加评论；三是证明的表述要进一步数学化。

5 M1 R$ f3 v! r9 j: G6 ^1 w后来笔者当律师，忙于工作。现入狱服刑，以本文给出更简明的表达。人类面对未知世界，有很多境界、阶段：从疑惑到连猜想也没有，到有了猜想束手无策，难解，眼前无路想回头，有解，穷尽所有的解，从迎刃而解更到游刃有余，从复杂到有“简”，看到进一步简化的空间，约去尽可避免的工具，让人脑空灵，更空灵，让人感到万事有“序”，万物可“数”。完善到象德国数学家希尔伯特（Hilbert）援引法国数学家名言，参见《难题》P8，对数学发展提出的要求，完善到竟然可以向大街上迎面而来的第一个普通人去说明。面“图”百年终破解。

2、一点说明
  p% n: {" B" b挑出本文证明中有错者奖万元！

著名四色大定理的非计算机证明存在吗，如何证明的？问题意义重大，自1840年提出，是人类数学史上170年来悬而未决的大难题。难倒了无数最聪明的人，有的数学家为此奉献了毕生的精力也未得解，如弗兰克林（Franklin），参见《难题》P86。

& u" I9 h3 E: n; T笔者表一个态度，以示诚恳、善意。如您找出本文证明中任何细节上有任何“洞”（漏洞）或“圈”（专业错误，语义悖论或逻辑悖论），而这点洞或圈对证明的正确性、严谨性有丝毫影响，笔者愿奖给万元并示感谢。但，笔者确信证明无疑简明、正确。

我发现了，我们征服了前人悬而未决170年之久的这块**地。

3、一个非计算机方法证明四色大定理。

7 x& h- ]! q( v5 @( f& z①己知数学基础知识的梳理和关注。

0 r3 d& y# q# n5 ~" q为便于大家理解，沿用2009年4月出版（福建科学技术出版社）的，胡作玄老师编著的，《数学上未解的难题》（本文简记为《难题》）的用语和符号习惯，并向胡作玄老师鸣谢。

9 J1 b  b6 ?7 h6 S数学史上，当人类陷入未知，天才型或大器晚成型数学家们破解曾经一筹莫展的大难题，发现未知数其实简单、绝妙-----总之，万事有序，万物可数，这一点必须大彻大悟。可数则有序，反之亦然，有序即可数。排队点数，自然数1，2，3，……，N，N+1，……无穷无尽时，但每一个数都既是基数又是序数，有大小，有顺序。由此，可以十分平凡地已知如下命题（等式或不等式）的正确性。

a、0=0，1=1，2=2，…，n=n，…；

2 z# I4 K1 @! U1 I/ {7 b7 l$ hb、 ；

: R* T, x: i$ @c、 ；

d、 ；

8 I$ q, ]6 s) b& |; f; U! K8 _已知正确性，但未必充分已知其含义重大程度、基础地位或能进行应用及含金量估价。相反，由于平凡外表，又得来容易，人们一般淡忘了，冷淡了她——笔者称以上a、b、c、d四个数式为涂楠原理。

例如，根据涂楠原理a、d，可得n+1>n，这就是著名的抽屉原理，参见《难题》P80，著名的拉姆齐（Ramsey）理论不过是抽屉原理的大规模的推广、应用。而笔者已证，抽屉原理自己显然也需要一点证明，自己也有一定内在“结构”。抽屉原理显然也漂亮、易懂，但不是最简单、基本的“因子”，还可以进行因子分解，寻根，可从更简单明了的涂楠原理a、d得证。

/ o, B/ ?3 _" }2 V: p: V2 v由涂楠原理c，O＜1，不等式两边同时除以n，易得 ，n为任意足够大的数时，可使 再小于任意足够小的小数，如量子论的普朗克常数。但，再小的交互作用、影响也是存在的，是一种不可忽视的误差，这就是物理学观测中，十分著名的“测不准原理”。

  i. P. K; y0 J# @$ s2 I区别于物理观测手段依靠物质作用、反馈，数学上在“纸上谈兵”，正整数（自然数）个数的数字统计、编码、着色、排序及点数，都可精确到数学上也没有丝毫误差或任何错误，为什么呢？根据涂楠原理a、c，我们马上找出如下定理（笔者称之为没误差原理）：

， …，则 ，且 ， …

图的根，如可平面图的根。图的根是指图中必然有至少一点，记作 点，使得 点的阶最小，小于特定的常数。参见《难题》P.88第5行,人们现在已知可平面图有根,根的阶≤5。这个常数，可以从任何一本关于图论的教科书中得到证明。

问题出来了，这个5可以改进不，是否5就是“天数”，是客观世界存在呢？根的阶=4或5的图是否可平面化？没有根的图是否可平面化？待定，后文将证明， 存在且阶≤3.

着色图的“底”，如不可4色图的底。研究所有不可4色图是充分的，是可以做到无任何遗漏的最“笨”的方法之一，不是必要的，也不是经济的，不是节约的，而是“可约的”——因为已知：将所有顶点数为1，2，3，n,n+1,…的图 也排好，即 , , ,… , …若存在任一 不可4色，则以 为子图的原图也不可4色，如 中一定有以不可4色图 为子图的原图，依此往后 ， ，…都是这样，是数不清的。我们不必去追问无穷无尽的无穷序列。让我们往前看， 中是否一定存在不可4色图呢，显然未必，否则会荒唐到以为连 也说“不可4色”的地步。这就说明，一定存在不可 色图的底，当 ，这个底也是一个图，记作 ，是不可 色图与可 色图， 是最小的、不可约的一个不可 色的子图，它本身也不可 色，但往前看 的任一子图（除了它本身）都是可 色的。显然，不可 色图 存在的必要条件之一是 （包括它本身）中有一个子图 ，如 使得 满足如下条件

Ⅰ、 的每个顶点与四种颜色的顶点相连：

Ⅱ、 有根，根的阶≥4；

Ⅲ、 的每一个顶点都不可约。

因为在某一层面、某一集合中，如有不可4色图，则必需在那儿有 。请记住 的以上必然要求、特征，十分重要。

②关于未知常数的发现及三邻国定理（30年前为猜想）的证明。

[三邻国定理]

对任一可平面化图 中至少有一个顶点（这样的顶点本文叫可平面图的根，记作T1点），满足T1点的阶≤3。

证明

对平凡情形，即当n=1，2，3，4；列 ， ， ， 的所有情形或者从数上考虑：总的顶点数目才4个，相连的“邻国”数≤3，定理显然真实、正确。对平凡图，定理不证自明，只要着眼一个连通图。

1 E5 W* z" M5 S# G那么，设M为任一自然数，对 ，根据没误差原理，进行 到 的缩成，如此不断缩成 的缩图，根据著名的库拉托夫斯基定理[顶点个数为m的图 可平面化当且仅当 没有 或 的子图或者缩图。详情参阅 详述]或者只根据显而易见并易于检验的“以 为子图的图不可平面化”；同时注意到 缩成 而产生的点，都不算在“ 点”（可平面图的根）之列。因为“缩成”之路上经过 型的都不是可平面化的。可没误差地（即在T1点只减不增，不无中生有的前提下）得到一个 ， ， 乃至 ，可见， 点的存在不以人的意志为转移，不论 多复杂，迷人，不论连通图如何“连通”。

证完。三邻国定理有了一个如此简明的发现和证明。

关于可平面图的根 点，笔者还发现计算 点个数 的公式

, [4 N, Q/ X* D! t3 O可见， 点不仅存在，个数还必然很多，远不止一个，还随着顶点总数 的增大而必然增加，关系表示如上公式。因为本文证明不必依据这一公式，只要一个 点存在的必然性就足够了，因此，这一公式的证明在本文中从略。

) C/ u' M9 J# q0 {6 W) T2 E③可平面化图中常数的发现、注意及从 点的存在的必然性（即三邻国定理）给出4色大定理的最简短的一个证法。

[四色定理]

不可4色图都不可平面化。

证明

# G0 R  f3 l! A) s对任一不可4色图 ，其在平面上存在的必要条件是平面上须存在 ，即使 的任一顶点的阶 。根据三邻国定理，这在平面图中不可能发生，即不可能实现。

证完。

不可4色属性与可平面属性，是“根”上排斥的，放不到一个“抽屉”里。不可4色与可平面，二者不相“兼容”。

7 V+ s2 _+ Q' }  V  [. k④一点小结和预告

未知数还无穷无尽，可以列出人们应接不暇的无穷序列。但万事有序，万物可数，大自然是可知的。

; P# ]4 x4 L# b: i+ e* Y0 o零枝一叶是您我他这样的笨人纠缠复杂化的，只有上帝先行，她始终抓的是根本所系，她只管总体所在，她比我还先掌握了这一点。

在消化本文给出东西的正确性、重大性之前，请君勿往下读了，有理由怕您给噎住了。

本文公布的 点、常数的发现，三邻国定理及证明，以及顺手拈来四色大定理简明、绝妙的证明，这一切还远远并不是笔者研究成果金山的全部。

7 K8 o# c7 T" m接下来安排 ， 即哈德维格（Hadwiger）猜想证明。

/ p- ]) b) n+ J- N  M6 R( V) F; |，哥德**猜想的彻底解决。

3 _8 @+ r: p3 [) _，3n+1问题，角谷猜想，即乌兰姆（Ulan）问题。乌兰姆是当代公认的大科学家，参与了美国原了弹特别是氢弹的设计和制造。参见《难题》P26，乌兰姆问题现在仍困扰着世人。当代最知名的数学家，经过长期努力未能解决，大数学家爱多什（Erdos）不无悲观地认为：“当代数学还没有发展到解决这个问题的水平。”研究者都是有大体相近感触的，问题归于沉寂。当然，还有人在沉思，但我们公布结果时，又会有人发出另一种惊叹！

( r% {# V! N. H/ s/ ~， ， ，…，不是发现的顺序，只是拟公布的先后安排。