重庆大学2010年数学建模校内选拔试题【独家上传】

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tony91

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发表于 2010-5-19 14:55 |只看该作者 |正序浏览

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A题：自然进化与气候影响

# i' W7 P% R0 E! S昆虫学家在对某种昆虫的研究发现，昆虫身体颜色特征由常染色体基因决定；决定该颜色的基因有三种：记为A，B和C，A和B均为显性基因，C为隐性基因。具有AA和AC基因的昆虫表现为白色，BB和BC基因的表现为灰色，CC表现为透明，而AB表现为黑白相间。

* Q8 O5 W% @; u1 b- b' w% D
在正常的年份时（年平均气温正常），具有不同基因的子代个体成活率有一些差异，比如AA基因的子代个体有63%的个体能成年并繁殖后代，对于BB基因这一数据为65.3%，CC为68.6%，AC为73.5%，BC为71.6%，AB为74.2%。

( B0 O! l1 Z1 r! N7 }（1）
4 d7 C! X( _ [. A; W建立适当的数学模型，研究在正常的天气情况下，各种颜色的昆虫所占的比例能否到达稳定的比例状态，给出该理论结果。

# Z; b% F& Z$ T2 n0 Q1 l8 B
（2）/ F# R6 |, {# Z: _4 r
由于全球气温的升高，研究者发现各种颜色的昆虫比例发生了一些变化，白色昆虫数量增加而灰色昆虫在减少。通过仔细的研究发现，含有A基因的个体易于在高温环境下存活，含有B基因的个体适合在较低的温度下存活。平均气温增加0.5度时含有一个A基因的个体存活率增加0.8%，含有一个B基因的个体存活率减少0.6%，含有的C基因没有观察到明显的变化。分析如果该地区在年平均气温增加0.5度时导致各种颜色昆虫比例发生的变化。

B题：卫星通信调度问题

4 \2 c$ M% ^& o8 M* A8 y$ I
卫星数字通信系统由一颗卫星和一组地面站组成。地面站即扮演与地基通信网络之间的接口角色。通过SS-TDMA（卫星转发，时分复用）技术，卫星可以为每个地面站发配连接时间。考虑这样的例子，在A地有4个发射站，在B地有4个接收站，表1给出了一个的数据传输矩阵。TRAFij是在发射站i和接收站j之间传输的数据量。由于所有线路的传输速率都相同，因此数据量可以以单位为秒的传输时间计。

表1. 数据传输矩阵TRAF及传输时间的下界

TRAF	1	2	3	4	rowt
1	0	7	11	15	33
2	15	8	13	9	45
3	17	12	6	10	45
4	6	13	15	4	38
colr	38	40	45	38	LB=45

c7 @6 G& B _& a" q1 Y
在此卫星上有一个转发器，允许在四个发射器和四个接收器之间进行任意的排列组合。表2给出了一种排列组合方式，将发射站1到4分别连接到接收站3，4，1，2。这些连接即对数据传输矩阵中某个元素的一部分进行路由安排，称为一个工作模式。在一个模式中传输矩阵中某个元素的一部分就称为一个数据包。

$ n+ H* \0 W- J7 d" l工作模式也是一个的矩阵M，其中每一行每一列都至多有一个非零的数据包。

表2. 工作模式实例与对应调度方案

	1	2	3	4		站点	数据包
1	0	0	11	0		1到3	11
2	0	0	0	9		2到4	9
3	15	0	0	0		3到1	15
4	0	13	0	0		4到2	13
col	38	40	45	38	LB=45

+ y7 n9 j( s& C5 Z% d
正确的传输调度方案为星载转发器定义了一系列传输排列组合方式，以为矩阵TRAF中的通信量设计路由。也就是说，需要将TRAF分解为一系列的工作模式矩阵。可以将TRAF中的元素拆解开，例如在表2所示的模式中只传输了TRAF31的部分内容。一个被分解的元素将分布于多个数据包和多个传输模式中进行发送。一个工作模式的长度即其中最长的数据包的长度。那么：

1. 请找出此问题的具有最短传输时间的调度方案；

2. 给出一个一般情况下的具有最短传输时间调度方案或者求解具有最短传输时间的调度方案的一般方法（或算法）；

3. 如果传输时会以概率发生错误，此时传输的数据包中的数据有丢失（即没有传输完），且传输的丢失量服从中心为5，标准差为1的正态分布，则情况如何。

zan