尺规三等分任意角的证明(轨迹)

数学1+1

                     尺规三等分任意角的证明(轨迹)
% V! K. a5 h9 ]1 S2 L                             苏小光
                          2011年2月22日
3 q4 h% Z6 V  ^8 N5 [* ~9 W  B% ^9 `     我本无意研究尺规三等分任意角,一旦研究,又收不住手,现对三等分角又给出新的证明.
    公式1:设N为圆心角,R为半径,l_{1}为扇形弧长,则有
           l_{1}=(NR\pi )/180 .
* _' \/ c' H3 h9 n) [- @    公式2:设l_{2}为圆周长,r为半径,则
           l_{2}=2r\pi .
    定理1 若0<∠BAC<(或等于)360度,则尺规作图可得
            ∠BAG=1/3 ∠BAC
    证明 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=N,则
  p4 A5 Q7 V9 P# j根据公式1 有
           l_{1}=(NAB\pi )/180
4 Z4 ?4 ?% |+ O4 H: S$ a# A& C   设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
           2r\pi=(NAB\pi )/180
/ Y3 [* d7 J# R. i( }( l   所以圆半径
6 ^; s; d: @+ O          r=NAB/360,
  C- n" w( o) m/ I6 x% b8 ?   在AB的延长线上取点D,使
         r=BD,
   以点D为圆心,以r为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG所以
           ∠BAG=1/3 ∠BAC
/ D( W5 [1 m, u8 I* t' t. b4 L证毕.
& v( W$ ~- ?9 \, m+ q  |    例:∠BAC=60(度),尺规作图,使∠BAG=20(度).
解 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=60(度),
根据公式1 有
! }4 M) i. B  ^           l_{1}=(60AB\pi )/180
& s1 j; _  j. p" A2 c( g! \    设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
          2r\pi=(60AB\pi )/180
3 K# E7 a9 X# \- H9 e     所以圆半径
         r=AB/6,
3 l% ]3 [9 r- Q4 z$ L* q# Q: y    在AB的延长线上取点D,使
. T/ Z- N3 c, {( T+ [; ^4 Y! Y$ N7 ~* ]        BD=AB/6
; q3 x* @. K$ }- o0 }: F& v    以点D为圆心,以AB/6为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG.所以
       ∠BAG=20(度).
' ?0 g4 Z  P! o5 p   (附图)

数学1+1

尺规三等分任意角的证明

数学1+1

已知 AB=a,求作 x=(1/6)a.
作图:   作AB=a,在AB的延长线上作BC=6a,作AC的垂线CD=a,连接DB,延长DB交CA的垂线于点E,AE=x,显然
: F6 @  @( b7 `8 E) k0 p               AE/AB=CD/BC
9 C* H' M: G! D! G  Z             x=(a/6a)a=(1/6)a
尺规三等分任意角.

gaoshanliu水

强悍。。。。

六棵槐树

没细看，曾经我也是痴迷于推翻不能三等分的论断，但是失败了～

inRm

做梦都想一鸣惊人，可以理解

羅雲琦

楼主可以写篇论文发表啊，尺规三等分角可是世界难题

yinbaoli

楼主热于思考数学历史中的难题，精神可贵！但是……
: e4 \5 Q- v: w7 u尺规作图要求直尺没有刻度，那么请问该怎样做出BD=r呢？
另外，倍立方体、化圆为方、三等分角这三大几何作图难题在近世数学中已被解决，结论是：不可能！
我记得曾经读到过这样一句话，大概说，在群论中，这三大问题已经被作为普通的习题解决掉了……

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