- 在线时间
- 409 小时
- 最后登录
- 2024-4-15
- 注册时间
- 2009-6-12
- 听众数
- 14
- 收听数
- 0
- 能力
- 0 分
- 体力
- 6192 点
- 威望
- 16 点
- 阅读权限
- 100
- 积分
- 2507
- 相册
- 1
- 日志
- 0
- 记录
- 0
- 帖子
- 936
- 主题
- 22
- 精华
- 1
- 分享
- 0
- 好友
- 114
升级 16.9% TA的每日心情 | 开心 2024-4-15 10:34 |
---|
签到天数: 830 天 [LV.10]以坛为家III
|
尺规三等分任意角的证明(轨迹)
% V! K. a5 h9 ]1 S2 L 苏小光1 A4 R* h% U8 Y R
2011年2月22日
3 q4 h% Z6 V ^8 N5 [* ~9 W B% ^9 ` 我本无意研究尺规三等分任意角,一旦研究,又收不住手,现对三等分角又给出新的证明.; H7 m6 `# J3 b8 O1 `
公式1:设N为圆心角,R为半径,l_{1}为扇形弧长,则有+ O9 m5 r# I2 H' r
l_{1}=(NR\pi )/180 .
* _' \/ c' H3 h9 n) [- @ 公式2:设l_{2}为圆周长,r为半径,则4 I) V _% L! Y* N* k3 i9 D
l_{2}=2r\pi .* t& P1 Q9 K. ~4 K9 c! o% _* K
定理1 若0<∠BAC<(或等于)360度,则尺规作图可得. f0 y# D x+ N" x
∠BAG=1/3 ∠BAC+ A e- [9 l5 S- l
证明 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=N,则
p4 A5 Q7 V9 P# j根据公式1 有7 ]6 u7 a7 U! D7 k; X6 z
l_{1}=(NAB\pi )/180
4 Z4 ?4 ?% |+ O4 H: S$ a# A& C 设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有* A0 U# H' }% U% w' P! [
2r\pi=(NAB\pi )/180
/ Y3 [* d7 J# R. i( }( l 所以圆半径
6 ^; s; d: @+ O r=NAB/360,
C- n" w( o) m/ I6 x% b8 ? 在AB的延长线上取点D,使) k+ F6 f5 n8 g
r=BD,' h# N" o3 m3 f1 C$ t; j
以点D为圆心,以r为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG所以/ f3 O8 ~/ n' M% c1 C4 e# g
∠BAG=1/3 ∠BAC
/ D( W5 [1 m, u8 I* t' t. b4 L证毕.
& v( W$ ~- ?9 \, m+ q | 例:∠BAC=60(度),尺规作图,使∠BAG=20(度)." m% g4 G. @0 Q/ `* `( J
解 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=60(度),, {" j0 g' A) t4 y
根据公式1 有
! }4 M) i. B ^ l_{1}=(60AB\pi )/180
& s1 j; _ j. p" A2 c( g! \ 设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有: k6 r! ]8 s2 h3 H
2r\pi=(60AB\pi )/180
3 K# E7 a9 X# \- H9 e 所以圆半径1 d4 n3 z7 l2 {5 ]) j% n" y
r=AB/6,
3 l% ]3 [9 r- Q4 z$ L* q# Q: y 在AB的延长线上取点D,使
. T/ Z- N3 c, {( T+ [; ^4 Y! Y$ N7 ~* ] BD=AB/6
; q3 x* @. K$ }- o0 }: F& v 以点D为圆心,以AB/6为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG.所以) o1 X& s6 J4 Z7 m
∠BAG=20(度).
' ?0 g4 Z P! o5 p (附图) |
zan
|