1999年全国高中数学联赛一试试卷

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1999年全国高中数学联合竞赛试题
第一试

一．选择题（满分36分，每小题6分）

  1．给定公比为q(q≠1)的等比数列{an}，设b1＝a1＋a2＋a3,b2＝a4＋a5＋a6,…,bn＝a3n-2＋a3n-1＋a3n,…，则数列{bn}( )
  (A)是等差数列　(B)是公比为q的等比数列　(C)是公比为q3的等比数列　(D)既非等差数列也非等比数列
  2．平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么，满足不等式 (|x|－1)2＋(|y|-1)2＜2的整点(x，y)的个数是( )
  (A)16 　　　(B)17 　　　(C)18 　　(D)25
  3．若(log23)x - (log53)x  ≥ (log23)-y - (log53)-y，则( )
  (A)x-y≥0 　　　(B)x＋y≥0 　　　(C)x-y≤0 　　　(D)x＋y≤0
  4．给定下列两个关于异面直线的命题：
  命题Ⅰ：若平面a上的直线a与平面b上的直线b为异面直线，直线c是a与b的交线，那么c至多与a,b中的一条相交；
  命题Ⅱ：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线。
  那么，( )
  (A)命题Ⅰ正确，命题Ⅱ不正确　　(B)命题Ⅱ正确，命题Ⅰ不正确　　(C)两个命题都正确　　(D)两个命题都不正确
  5．在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。那么，在上述3名选手之间比赛的场数是( )
  (A)0　　　 (B)1 　　　(C)2 　　　(D)3
  6．已知点A(1,2)，过点(5,-2)的直线与抛物线y2＝4x交于另外两点B,C，那么，△ABC是( )
  (A)锐角三角形　　　(B)钝角三角形　　　(C)直角三角形　　　(D)答案不确定

二．填空题（满分54分，每小题9分）

  1．已知正整数n不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样的n的个数是___________．
  2．已知θ＝arctg(5/12)，那么复数z=(cos2θ+isin2θ)/(239+i)的辐角主值是__________．
  3．在△ABC中，记BC＝a，CA＝b，AB＝c，若9a2＋9b2-19c2＝0，则ctgC/(ctgA+ctgB)＝__________．
  4．已知点P在双曲线x2/16-y2/9上，并且P到这条双曲线的右准线的距离恰是P到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项，那么，P的横坐标是_____．
  5．已知直线ax＋by＋c＝0中的a，b，c是取自集合{-3，-2，-1，0，1，2，,3}中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是_______．
  6．已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形，A点在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心，二面角H-AB-C的平面角等于30°, SA＝2√3。那么三棱锥S-ABC的体积为__________．[注：√表示根号]

三、(满分20分)已知当x∈[0,1]时，不等式x2cosθ-x(1-x)+(1-x)2sinθ > 0恒成立，试求θ的取值范围．