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绝对人性化的等周定理

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junawat        

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    开心
    2014-8-7 19:28
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    [LV.2]偶尔看看I

    自我介绍
    inuoguahlb
    发表于 2014-3-23 18:38 |显示全部楼层
    |招呼Ta 关注Ta
    任选一个平面图形,把图形用直线填平(方法简单,见cut-the-knot org do_you_know isoperimetric shtmlorg的如何证明fig 1。或者搜索维基百科的等周定理的初级证明,他不是全对,但直线填平是对的。把曲线拉起来可能形成新的凹陷,要回溯填平). T! T% N1 G) b% G

    ; g- Z5 `$ }. q. ~% s' M9 O) x4 Y5 `把新得到图形的周长平分为四段,连接分段时不相邻的两个点,形成线段f,然后连接另外两点分别和线段相连,所形成的两条线段分别垂直于f(有可能这两条线段垂直于f的同一点,有可能不) 999.JPG
    。那么图形就被这些线段分为四块,每块的内角相等,都是九十度。取这些块面积最大的块取代其他三块,拼起来的时候内角还是内角。
    7 X+ U1 e1 r+ d" T. A
    0 t% D: \3 U; d' p这样得到一个新图形他的四部分对称。把图形四块的对称线的相交点当成直角坐标系的o点,对称线放在横轴和竖轴上(这是为了指明某些方向)3 O& f) z% |# V+ v
    (1,2象限对称,2,4不对称,1,4对称,2,3对称,2,4不对称,1,3不对称。。。)
    " c9 j1 o9 @* F* Z! H! v
    5 y5 _) c9 e9 l6 Z( Q7 E, g因为四个象限的图形对称,都可以跟着第一象限变(在我下面证明里可以这样),所以大部分时候我只谈论第一象限。: |' W' J& s. u0 {9 j
    9 ^- h5 d1 \/ L- R# }$ g( p
    我所说的周长都是围着整个图形的。
    / ?% c$ ~5 o$ P! o$ B: U3 e9 E% I: E
    第一象的周长被一个点分为相等的两段,点和o连接成线段,其他象限也这么画。。。。
    $ e4 N0 A; F4 g2 n
    999.JPG
    999.JPG
    zan
    junawat        

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    [LV.2]偶尔看看I

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    inuoguahlb
    mnilofb.JPG

    * K6 k. y5 b0 P2 z+ D( e我的思路是调整任意一个平面图形的面积变得更大,周长变得更小,不过也有可能不变,但是最后必须是是平面圆,即任意图形不大于圆。- M  K% M! m/ `6 _7 H% x8 Q) Y

    8 @( m' h* Y/ W6 v/ }1 \3 r, l6 z图1一根线段1穿过图形内部,另一根线段2在图形的周长上(可能存在无数根),两直线都要相互平行,记录下两根垂直距离最长的线段,该线段碰到周长两个点以上都要以该线段取代该部分的周长,然后画另外的线段但是和线段1的夹角不为0,因为两个缺口的角度不同。这样下去遍历了图形的一周后(图形的周长不是无限的),得到的图形没有凹陷。称这个过程叫填平。; u' @% N1 {& Z2 _
    * ~$ w3 p  a* _* @
    图2和图3显示如何将图形转化成四面对称,没有多余解释。
    2 H# X. T" n# N) r/ s+ y( M: u$ J) F, t! i5 G0 w
    把对称线对准直角坐标系的横轴和竖轴。一个平分点在图形的第一象限的周长上,因为对称,所以其它象限也可以这么做。四个平分点和o点(直角坐标系的中心点)相连。那些线段把图形分成8个部分,就像图4,还要把它们分别标记成红色和灰色。让红色部分和灰色部分分开,红色部分合起来,灰色部分也可以这么做,但是红色和灰色边界上的两条线段必须相同。4 X" t# W5 x0 S1 @" L

    3 a7 K9 z7 v6 P将图形在第一象限的周长的中点与直角坐标系的O点相连,其他三个象限也这么做,结果类似图4。图4被横轴枢轴平分线分为8个小扇形,将红色扇形的4个扇形拼一起(类似图5),将灰色拼一起(类似图6),我要将红色和灰色两大部分重新拼起来,为了不增加周长,小扇形拼起来时候红灰交界的腰必须相等,类似图7., I, l% F6 V7 t4 r! g9 X
    & V1 C( z; a: Z! |
    将图7红灰两大块在周长上的交界处的两点连接起来,然后比较左右的面积,较大或相等的一块取代另一侧,使得虚线两侧的区域对称。; M# F" [1 R9 O% Z) t3 C5 I% K

    ( z# ?, S4 [3 f2 O; H' d注意我这次得到的可能只是两侧对称而已,但所有小扇形的暴露在外的周长都对称。
    8 {9 J" q2 v' G9 ?  P$ H) G3 B5 f! @8 J8 _& f! R
    图9证明:扇形的两周长相对于虚线(本来是蓝色的,压缩后有点黑了)对称,连接周长的起点和终点,偏转连线,连线对两腰的角度如果相等(如图11),那么这个扇形的面积起码不可能缩小。扇形的弧线仍然保留在两腰的延长线之内,并且两个小的扇形对称了。
    # O. Y' i$ Q) s$ o) C4 ~. K
    ' A0 }1 d  [# s之后,我就讨论单个小扇形了。见图13在左腰上画垂线(很多很多),红色的指代其中之一的垂线,和弧线(弧线指周长好像更明确)有接触点(可能有很多个接触点)。记录下红色的垂线使得腰最长的那一根,用该红线取代被其包住的那一段弧线,这样便使得面积更大,新的弧线更短。另一条腰也可以这么做。至此得到任意两点之间的弧线不内凹(内陷)。
    . a6 u7 k, q; C) a6 O: f4 {6 j9 |; j: G; T5 |9 M3 I6 n
    图12中,如果图8的虚线左侧替换了右侧,他左侧的点分别是13579(无2468),先让1o线和2o线相等,然后让13o线相等,35o线相等。15o线相等了自然也让9o线相等……顺序就像前序遍历二叉树。
    / m1 n3 @8 G' w. ^# x# \1 s
    + s# N7 T) C3 g" E* B至此一个8块对称的图形生成了,只要照上面的步骤做,o点辐射出来的两线之间的夹角越来越小,夹角之间都没有凹下去,弧线突起越来越小,起码最大的平面图形之一就是圆形。5 M$ `+ _3 a$ W) h0 L7 ?
    ) [7 O! k* s7 W, |" d" n3 F0 o
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