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TA的每日心情 | 奋斗 2014-11-17 17:39 |
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本帖最后由 彭小玉 于 2014-10-11 21:29 编辑 ' Q- V4 f2 B8 r5 E, J; d1 O
- J: ~+ b" ]. [+ Q9 `( l1 E5 i公元1858年,德国数学家莫比乌斯(Mobius,1790~1868)和约翰·李斯丁发现:把一根纸条扭转180°后,两头再粘接起来做成的纸带圈,具有魔术般的性质。普通纸带具有两个面(即双侧曲面),一个正面,一个反面,两个面可以涂成不同的颜色;而这样的纸带只有一个面(即单侧曲面),一只小虫可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘。这种纸带被称为“莫比乌斯带”。
5 C$ d1 ~5 E, k6 _8 R拿一张白的长纸条,把一面涂成黑色,然后把其中一端翻一个身,粘成一个莫比乌斯带。用剪刀沿纸带的中央把它剪开。纸带不仅没有一分为二,反而剪出一个两倍长的纸圈。' C# ]# T' n0 G/ d) U
3 E4 K7 b( A& X. g' Y4 |, [- E; V新得到的这个较长的纸圈,本身却是一个双侧曲面,它的两条边界自身虽不打结,但却相互套在一起。把上述纸圈,再一次沿中线剪开,这回可真的一分为二了,得到的是两条互相套着的纸圈,而原先的两条边界,则分别包含于两条纸圈之中,只是每条纸圈本身并不打结罢了。
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0 S; O! h7 M# [" p2 ~莫比乌斯带还有更为奇异的特性。一些在平面上无法解决的问题,却不可思议地在莫比乌斯带上获得了解决。& n; D7 j- L T ^8 ]! r
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比如在普通空间无法实现的"手套易位"问题:人左右两手的手套虽然极为相像,但却有着本质的不同。我们不可能把左手的手套贴切地戴到右手上去;也不能把右手的手套贴切地戴到左手上来。无论你怎么扭来转去,左手套永远是左手套,右手套也永远是右手套!不过,倘若你把它搬到莫比乌斯带上来,那么解决起来就易如反掌了。* }! f3 _) @1 a- @3 H
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在自然界有许多物体也类似于手套那样,它们本身具备完全相像的对称部分,但一个是左手系的,另一个是右手系的,它们之间有着极大的不同。这个方程组可以创造一个边长为1半径为1的莫比乌斯带,所处位置为x-y面,中心为(0,0,0)。参数u在v从一个边移动到另一边的时候环绕整个带子。2 \* c1 X4 L: y# s; i+ @
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从拓扑学上来讲,莫比乌斯带可以定义为矩阵[0,1]×[0,1],边由在0≤x≤1的时候(x,0)~(1-x,1)决定。. Q( w% Z" d# k( ^8 _
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莫比乌斯带是一个二维的紧致流形(即一个有边界的面),可以嵌入到三维或更高维的流形中。它是一个不可定向的的标准范例,可以看作RP#RP。同时也是数学上描绘纤维丛的例子之一。特别地,它是一个有一纤维单位区间,I= [0,1]的圆S上的非平凡丛。仅从莫比乌斯带的边缘看去给出S上一个非平凡的两个点(或Z2)的从。
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“莫比乌斯带”在生活和生产中已经有了一些用途。例如,用皮带传送的动力机械的皮带就可以做成“莫比乌斯带”状,这样皮带可以磨损的面积就变大了。如果把录音机的磁带做成“莫比乌斯带”状,就不存在正反两面的问题了,磁带就只有一个面了。它还能平坦的嵌入四维空间
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) X0 G% y) N: H! b9 @. f莫比乌斯带是一种拓展图形,它们在图形被弯曲、拉大、缩小或任意的变形下保持不变,只要在变形过程中不使原来不同的点重合为同一个点,又不产生新点。换句话说,这种变换的条件是:在原来图形的点与变换了图形的点之间存在着一一对应的关系,并且邻近的点还是邻近的点。这样的变换叫做拓扑变换。拓扑有一个形象说法——橡皮几何学。因为如果图形都是用橡皮做成的,就能把许多图形进行拓扑变换。例如一个橡皮圈能变形成一个圆圈或一个方圈。但是一个橡皮圈不能由拓扑变换成为一个阿拉伯数字8。因为不把圈上的两个点重合在一起,圈就不会变成8,“莫比乌斯带”正好满足了上述要求。
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