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发表于 2017-4-14 07:43
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2017第十届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛第一阶段赛题发布：无体力赛题下载地址：www.tzmcm.cn
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' o4 I8 o6 L6 E- }: F' b
6 }6 ~4 A; R |# a
A题 安全的后视镜$ V+ L$ q( X* {0 p$ j
汽车后视镜的视野对行车安全非常重要. 一般来说, 汽车的后视镜需要有
* i4 }2 C9 J# H) W# r良好的视野范围, 以便驾驶员能够全面地了解车后方的道路情况. 同时, 后视1 ]. c" y/ S- O: X
镜也要使图像的畸变尽可能小, 以使驾驶员能够准确地判断距离.
6 N. J# F1 w9 W如果汽车的后视镜使用平面镜, 图像没有畸变, 对距离的判断十分准确.: L/ u, d, a( a# X) ]
但是当镜面大小受限时, 视野相对较小. 如果使用凸面镜, 可以以较小的镜面2 r6 I5 N& g5 `6 h! q/ H
获得更加宽广的视野, 但是图像存在畸变, 很难准确判断镜中物体与自己的3 m1 l+ L- c B4 m7 |
距离. 有的镜面是由平面镜和凸面镜拼合在一起组成, 意图兼顾两者的优点.. J8 v7 t+ s: l) T, L
但事实上, 驾驶员在观察后视镜时, 两者很难同时看清. 较受欢迎的做法是构* |( ~: D* |8 z( d+ l5 v; Z2 s4 k
造一个变曲率的后视镜, 使后视镜可以兼顾两者的优点, 也降低了观察和距
- I1 d! e* B/ f6 f离判断上的难度. 目前市场上有售不同设计的变曲率后视镜. 最常见的是一$ s2 _- U- a( q/ w
种双曲率后视镜, 内侧接近平面镜, 外侧则是一个凸面镜, 在它们之间进行了: {/ U1 o6 Q, Q; k7 w
平滑的过渡. 图 1 是两个例子, 为了便于驾驶员对距离进行判断, 镜中由虚线
2 V9 M. X9 d, {或细实线示意了不同曲率的镜面间的分界线. 它们的具体设计有所区别, 性; }7 R* x2 Y8 W9 }! ]
能也会有所不同. y& x* p: i F' T) {' J3 O
第一阶段问题： 对典型的小型家用轿车而言, 共有三面后视镜, 左右车门的
- `( o! w+ [0 g5 j' R外侧各装一面外后视镜, 车内正中还有一面内后视镜. 假设两面外后视镜都
) V/ D% d, L4 q/ w4 z设计成如图 1 所示的双曲率后视镜, 请你建立相应的数学模型, 对外后视镜
$ u! W$ \8 m8 W& J, Y8 h给出优化的设计方案, 包括镜面的曲面外形以及分界示意线的位置. 并以一 T+ }( m, W% x5 W
种现有的轿车为例 (可自选), 给出具体的计算结果, 镜面的轮廓可以沿用现有
2 V- c# F' X( M( c3 U的设计. 由于我们只做理论上的研究, 所以在设计时暂不需要考虑和遵循相% H( d/ G* w9 G3 I( K7 p5 t$ B
应的国家标准.+ f3 N7 f7 y7 I2 T9 q5 m# f+ P
1
! B; r$ g+ K8 Y( J图 1: 变曲率后视镜的例子
' r4 I6 d3 t8 q' H+ O& N. J4 V9 J* V) v+ G' B# l
1 c a' U/ g/ H/ M5 [+ ?2 a2 L3 i# R
B题 岁月的印记
9 G- }2 f; I$ w+ P& r对同一个人来说, 如果没有过改变面容的疾病、面部外伤或外科手术等经+ u0 b3 n- z: y5 W. [
历, 年轻和年老时的面容总有很大的相似性. 人们在生活中也往往能够分辨
1 y$ ]1 Q2 Z8 s) Y( s出来两张不同年龄段的照片是不是同一个人. 当然, 年龄段相差越大, 识别起
$ I2 X' p' z, d' y5 h" B来也就越困难.& ?4 f# ]2 D, G, `! f+ e5 u
第一阶段问题： 请你建立合理的数学模型, 当我们给出两张不同年龄段的面 a" W$ f/ n @3 M
部照片时, 可以通过算法来自动识别是不是同一个人. 为简单起见, 我们可以/ x8 w' J3 [+ h; L: T5 h- o, S5 K; `
假设两张照片都是标准位置和标准光线下拍摄的, 例如都是一寸证件照.
& w: p; q5 l/ z6 u7 U9 J, H9 m
% v& T3 N0 z: t3 C
1 ], r t, d1 ~" n. i/ tC题 移动端考研产品的春天真的到来了吗？4 j: C+ w; D2 W1 f; f" p, V
2017 年的全国硕士研究生招生考试共有 201 万人报名参加，比去年增加 e j+ E8 V, l4 ]9 X* } Y& Y
了 24 万名考生，增加 13.56%。看起来新一轮的考研热潮即将到来，而考研教1 q2 o. M) v+ _
学和培训的市场也发生了巨大的变化。移动互联网时代的到来，使得许多考 N) G" ]' K: s+ F) [! Q$ Z) `
研教学活动转移到了手机等移动互联网平台。现在的线上学习市场中，纷纷% C# R9 b' h3 V$ a8 H1 F
涌现了依托于移动互联网的产品，如教学 app，手机题库，单词本，错题本或 H( F+ G0 R/ a+ ]# G6 C9 Y9 \* ^
依托于现有移动端视频平台的直播课程等。移动端产品的使用人数较 PC 端; s$ _% B% Q# `" u( R: u
更高，使用时长更长。国内某知名考研网站为了深入了解移动端考研产品的
" I% M9 \) Q$ I/ E: P4 e* J# R市场占有率和发展趋势，开展了网上问卷调查，问卷格式如附件 1 所示。共收
x, e- D0 c! n$ y) z2 ]& E' K集有效问卷 38182 份，我们从中随机抽取出 10000 份样本形成了附件 2。请' V- t7 y+ f5 w( W& I% ^) _
你建立合理的数学模型解决如下问题。' H+ p5 v+ \9 \$ A2 P7 \
第一阶段问题：
) o( A' M, c5 v1 f5 |: @3 P1. 请依据附件 2 中的数据进行数据挖掘，找出影响移动端考研产品发展
! l! E0 y. o. m" c' V! f0 r, C) t的主要因素。% l$ h$ ?0 a/ r: ~8 U: J8 X
2. 请估计移动端考研产品的合理价格区间，预测移动端考研产品的潜在
, W& Z/ M3 A9 F8 {4 `市场占有率。) C1 @1 e c3 D% ?& F d
3. 请选择一个高校相对较多的城市作为研究对象，充分考虑经济、社会0 R4 h! Y+ L& @6 Y$ ?7 o
情况和考研教育的特点，评价移动端考研产品投放的可行性。( ^9 q5 O) N) q7 _& D& P+ E# [
& k4 c# k8 C* q0 o4 p
D题 教室的合理设计
* k) _5 c0 e0 p! x4 s& v/ d（本题仅限中学组和专科组选用）
8 }; W G* V7 N5 A& c N7 d+ I某培训机构租用了一块如图一所示的场地，由于该机构开设了多种门类
8 Q& B5 G g* ?4 F1 H4 s的课程，所以需要将这块场地通过加入一些隔墙来分割为多个独立的教室和6 p) _" {+ z `. V! T" n7 l
活动区。请你建立有效的数学模型，为该机构完成合理的教室设计。对设计: `. g2 N) i# @) R/ H
分别提出了三项要求，分列在下面的问题中。 ( C. `0 A# Y" x; g- j4 g
第一阶段问题：
) r! m+ I+ ?* }1. 需要分割出 4 个能容纳至少 30 个座位的教室，2 个能容纳至少 4 个( q# e4 P# D' l8 c
座位的接待室，不少于 10 平方米的储物空间，不少于 10 平方米的休息区，不# A' j2 r7 A2 W; Q( j
少于 5 平方米的前台接待区。教室之间，教室与接待室之间的出入不能相互
4 I# b4 K/ {- K! f4 B* I影响。假定每个座位占用的空间为 0.8 平方米，每个教室的第一排和黑板之
2 w8 V# U/ k: a1 L间的距离不能小于 1.5 米。门的开关需要占用 0.6 平方米。为了简单起见，在. w! I6 Y7 ^0 d& g* k Q
设计中可以忽略墙占用的面积。% {: k$ Q+ ~4 Q4 t$ l) U
2. 在要求 1 的基础之上，考虑让教室能容纳的座位数尽可能的多。7 G5 [; v; U7 ~
3. 在要求 1 的基础之上，考虑分割出尽可能多的能容纳 30 个座位的教2 U9 Q* w6 c x. A# K4 o
室。
! w5 C7 z; U# `- X, l! I+ ]! N" n3 G1 ^- U% @( ]- ]9 ^
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