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全主元Gauss-Jordan消元法
! h$ _4 i1 R/ t) Q0 n8 c( k' j - r$ W1 i, F" s6 H* o: c1 c2 J) g
9 c7 c# E1 W+ J+ ~6 B$ E3 L
& ~2 I. ]" @; K1 S5 H ! \# [- Y# j7 c# p; r
1 X$ |% `/ w! q D1 a5 L ! n z# H9 ^3 b; W% Z, x! e* x/ [
Q7 Z$ i ?0 |, U
5 r+ E( p: e& Q: p/ B/ L0 R
4 S, W$ E. b: t: T0 E1 T7 c O% _( y + Q8 E8 ~. W6 w7 M7 Z
Gauss-Jordan消元法是经典的线性方程组A·X=b求解方法，该方法的优点是稳定，而全主元[1]法可能更加稳定，同时，它也存在着弱点——求解速度可能较慢。
e5 Z" s9 s$ V4 K8 t- u + ^" l! p6 h. v M3 `. C
! L2 ]4 ?- b6 e2 h+ |, U4 }- ~3 l& Y
% e' `2 ]' |2 u+ [+ Y2 |
% d/ _* v+ X4 N9 w) T. X9 M/ T- M Gauss-Jordan消元法主要特点是通过交换任意的行列，把矩阵A约化为单位矩阵，约化完成后，方程组右端项向量b即为解向量。我们知道，选择绝对值最大的元素作为主元是很好的办法，所以，全主元法目的就是在一个大的范围里面寻找主元，以达到比较高的精度。 V* b( _: Q/ ^ H! t
! T, k; T0 K; R; b' G
2 n) {1 f, _" d8 O" \+ {
% w1 c1 y4 g) C. \6 y0 z ! s- A8 {( ]. t5 d$ E! i
9 R: R! w6 F: u g. H, U* \
下面，我使用Blitz++的Array库，编写全主元Gauss-Jordan消元法。
6 H0 R Q: E8 O8 J3 F $ A; z% D1 F; g, q7 e3 H0 y
4 Y3 A$ _, [3 c1 b* F. f8 `
% u8 z: j: F" L5 E( B2 l # t v! |3 V: l' v9 Y- e, i4 D
! n* m# L$ _9 r$ q8 I; g' g1 ]
Code：6 t" d7 ?% D+ s, J. a* Y" b
$ E y4 p' j7 y2 S$ _* Q2 S
; [5 B% T: o( V' u. C 9 P3 n( N) N4 X
- R; B: G/ C) O+ g% L1 ^ 1 O5 x% N! |- }0 [; A1 i ]( p
4 s& F/ \+ ^- T & E& S/ J; i8 }8 _' n4 Q/ e
#include <blitz/array.h>
' ^9 M' T- u% k
) Z8 i0 l7 Z! @* z, ]
0 T# j4 v% ]$ B: [. C( k7 m0 F # K3 U8 c0 ~. ]( m4 _' H. V
( H/ i! y7 F) B4 x* G" N
#include <cstdlib>
- s$ h$ x& B. w! U
. f* N4 D, ?/ L* Q6 f
7 t8 X' w9 F! s$ v+ d7 M( _ " n( `& Q3 L, G1 K2 g: K. N
6 @* M2 L/ {6 o, ^2 z# p #include <algorithm># {9 I; E2 q8 R2 R# u9 a
0 i9 V# b! h- ?5 y
% c& n! H) i8 l: N2 M* a2 X
# I+ b7 w! x8 }( }1 `: f, x
) u+ F* }9 y5 U) X, ] #include <vector>$ o9 a5 Q5 _7 k5 F% S4 k2 j& X
# l5 d8 m; r6 Y* o
! l( u2 o; O" ]6 \
: C" d8 y. h' U5 c0 n& z
n5 ]' `3 X G$ d9 W using namespace blitz;7 m* A7 V5 t7 T( l
& P, J+ \+ Q" `/ b( }! ]2 U% f5 ]7 I- v& X" R( _
0 d7 m$ [4 ^$ ^; a' f ; u+ J2 `: S4 F
4 e3 ~. Z m+ t, o9 R * Q) }# ?/ y5 Y& m
3 }- b' g) l0 P3 S
void Gauss_Jordan (Array<double, 2>& A, Array<double, 2>& b)
" e a4 {/ p! x
# K, E; q8 [3 ?) I- B# Z/ y9 v9 o$ X+ k- u# v- I+ M* k
8 W% @0 o5 M. f+ Z7 p
; x! X: d( k* ?9 S1 M { {6 v2 R2 z: G4 `8 V" U$ F( S5 Q
9 {+ p/ s; y8 D$ G$ t/ U& z. M9 ^2 Y0 d& Q
( H; Z! C! Y; d+ _# y' ? ) T+ A* T, B7 f! b/ p
int n = A.rows(), m = b.cols();/ F# b# b- w. a8 i9 h+ M' E' ?" s- x
3 a B/ l4 H( `$ M' S. v3 s
; h# M9 |# N( j; ?: r2 e
% `$ X; X: ]& f1 E+ ?
/ [1 q' C5 e3 n# H- m; l int irow, icol;' f# z/ G% c2 E1 |4 @
0 u2 E7 B# W1 W7 y: g; d m5 U
3 u) b4 q" K5 B5 d# N - W% f- u) ^5 |; j) P
2 B" `2 D, K B: c vector<int> indexcol(n), indexrow(n), piv(n);
# d$ O$ e* P3 t" {; _" z& e) P" I& k0 Z7 l
) i3 }" ?: ^, R* G) U + O; @5 B! ?9 v8 R
0 K$ Y. J1 ^4 }9 r' b - w# _7 r/ e8 j7 N
1 F$ }3 b& O4 E6 B' L6 V! z# m % K. L6 L3 Z4 g# _, K* u
for (int j=0; j<n; ++j)' t+ w6 W2 m5 U7 l: l* L) {
2 [( W( c9 b. s. w9 d( L, N) h
# |3 o! h1 k0 ^+ F: A6 \9 C7 M " G+ _8 g5 I$ D+ M
/ y( }4 R3 p( b$ _# [5 I2 }% T0 R
piv.at(j) = 0;
, F$ I8 `2 d, x! ^9 I& a
$ ^0 ^1 k+ R3 I$ U7 h6 M% K+ e! P1 L @2 N2 F
9 {4 y6 A7 g! k }' j
7 E. I6 Y2 O( M
2 D+ F3 S) q, ?1 D) u
3 N. N9 f3 H% l/ o. P
* p$ O; r* D* l6 h! Q: `- o
& i; l7 L z8 O. b5 m
! h8 T9 O. l9 ?: g( C4 C5 V( q# _( ~1 t //寻找绝对值最大的元素作为主元
7 o- ^" F5 J' `( q$ e- U1 B- S# C
) l" v6 s& Q. u
) V" o' H" K# Z) C$ p0 m
6 \- h4 H$ U# z* J4 x" T, @ 3 Z8 ^" }& f7 |* V
for (int i=0; i<n; ++i) {' v4 b" K- B6 q; V6 A0 d
! @. X& K& }' m& J/ Z
9 f4 @8 L, H6 {/ A- R 5 \( S/ U/ x8 Z
7 q; H) }( L( E: n double big = 0.0;
4 D {: F1 R/ W' W' T# K; ]6 b$ v y/ I5 S( j
; f9 {- D, B8 Y/ f' N+ b3 {3 x
. {. k8 ~, Q. p4 L/ u
( A! N( c- P" w0 z& [) H& h" d
& S& y* X; N# J, j+ w C3 g
! s' q2 `/ Y& w$ G 3 ^; Z K e! O$ I0 C& ]" P& }, U6 u
for (int j=0; j<n; ++j)
+ |& j0 S5 ?9 {' p, {+ t9 t1 E( c5 ~5 {( k" {$ p. M1 u
) D; K; q2 `: d Y5 `" J9 e3 U* S
. y1 n4 J: S$ w- E
9 v' s1 `. s& i9 X: l+ Y if (piv.at(j) != 1)
# E7 F0 t+ a; u2 W, u
; z5 K0 M' ^% I
: V ?$ m" U3 q5 ~ ) c* e+ P3 T7 B7 ~1 y
. A% p; H( O3 _/ H) `
for (int k=0; k<n; ++k) {3 C8 ~+ \. u: a o; V
; |9 V `% l( g( J8 n! k! r t" y
% }/ f5 O; p" y% r6 j ' K) y2 N; K4 _9 E# C$ v
if (piv.at(k) == 0) {3 f) l( A$ |+ l; }6 Z' r+ N; h
/ P: g! ^" `! S3 w% L; q$ a8 N9 Z+ W& i
s7 B, M( Q1 f$ Q3 g
5 ]! r' M5 g" z, [! Y if (abs(A(j, k)) >= big) {/ ~' p7 ?/ F Z4 T. y2 N
, U4 \5 |8 B* n% i/ ]( K" Y
( a$ H/ Y3 ` L/ z5 o' C3 L
, F% Y# a* _8 \- a' \
+ w6 t/ N' j8 O2 c+ g9 l big = abs(A(j, k));7 p5 [# j& e! O+ {/ I% I. d
6 y- H* E& u. j8 b ?: T
; k! s) ^ L9 V! Z/ n, L" o 1 l- U7 D' d, b
' j6 |/ K D$ p8 P' q0 G irow = j;
. e3 }/ ?( A! r, V; g: [) j6 m2 i F4 m& q# }! p& C8 O/ u1 {) }
: D7 A |- x- J4 v8 B$ v3 _
3 ~2 g$ A. L" ]% o) [3 @ ( }7 U% K0 i1 H1 E: j" z- V
icol = k;
, P6 C: }$ \: A; O+ T3 ~
' ?% }& k2 x9 c; Z/ b; p
5 o- k% N: g% u( }& B 6 b( R2 J! x$ y$ O: j" `# V
( |: K- Y! p) h) l3 c+ _- M2 d
if (irow == icol) break;
- O) o- y' X S4 U3 q5 r* g) f% X7 k
/ N+ b5 K% `7 }( b
( I8 D0 c# {0 H0 e: w. v& ]
/ q# `! V% R0 g1 h' R+ | z }
4 Z& R/ [3 S, C& ^' a/ L" y8 P- L' S. K& Q T
$ |7 z( K2 h! B2 t1 c* G
+ r) A1 T# S: q$ t
5 y: N7 ?; G5 k
}+ @! q1 |. J7 b) E' [! Q! B% Q
6 e" t6 H* _$ D# l* u. Z/ `+ x
" ]% y( T) P/ k( {# v' }& } ( j0 A3 x7 F. \2 o* q0 Q7 L* j
}
: @! j& [3 ~' C6 T4 ~& [) Z$ d
3 X1 s8 f" A% v) V1 K$ M# N a; G5 L* v" E, l' e
/ o* ?1 W( E% W3 f+ ]' |
* a) c2 ~" ]# d6 ^/ A" o% g
' w* F' X+ D( W. n4 v; X 8 N* {7 U5 b4 ?3 I
9 @! p7 v* K1 ?- M# |7 C" n
++piv.at(icol);
, S' B) s' C8 I$ \3 A6 e% _1 ^0 ?' i+ n& @$ K+ d3 ? O: l' D
/ X& B2 D5 R+ K$ I F
. s6 D' [ t, f8 i* P' `- N/ w1 ^ 4 Q' _) l! V% A: H" K+ F/ z/ @0 a
$ z! V8 h8 G! |. v/ T
7 A% N6 y# K. w; l% T! F6 D0 a% g/ c* W; _; Y; E. C5 v d, r
5 \. F) p, A7 J; ?+ Q0 @ P) _2 A
9 W5 m2 m* w u6 a% V2 ` _: `
//进行行交换，把主元放在对角线位置上，列进行假交换，
" I/ w6 T& x) f# F% ]4 n2 W( k" D, c, g D1 {- e8 ~% @
" Y0 k5 t: ?8 n4 [" g B
) i& Q1 s5 G- |, }- @ ' L' T3 Z# J$ u1 Y- N5 Z2 R
//使用向量indexrow和indexcol记录主元位置， 8 ?& i% O3 r# Z; r' [3 C' Y9 e
" r+ Z L: C! g' I# M" R
0 y# a3 ?( N" l
9 Q3 E' H" l% q, t# y ! ]3 v- q& R( f+ D
//这样就可以得到最终次序是正确的解向量。+ Z/ ^4 d# ~& ]7 H
: ~" y' `1 y% R- r6 q( `: ^+ h/ Q$ A; v; E$ s) b/ {
* ~2 n) N' Y& k) [$ G
1 v$ X3 Y2 w% y1 I. p* ? if (irow != icol) {" `9 d6 s6 e$ h. z y, [) R
4 a# q- H; C# _5 X; F% @7 b
# h! E+ x/ x' A! J7 x1 G) F
1 n" I- M, b" v1 A
' l u) q3 j$ f+ ~- k, G% Y for (int l=0; l<n; ++l)2 ]2 J/ ]: e- ]
+ A U G- Y9 L! z' r: H( Z$ m& Q* [
2 X2 b9 d0 Y' V
0 I+ z, B, M2 W& }# [, t( ^! c5 E# A swap(A(irow, l), A(icol, l));
. |! f3 @# O* r2 i5 n0 {' G: |) x; \( J8 z
- ]3 ^. X5 H7 M4 n6 T' }
* w. N- m9 g$ s d- q5 A/ Q" l" C 6 R" E0 V0 Z6 _; E z w0 ~; @% n' R
' z2 d6 u! g% f( ^) ~( P- V# _; O
}6 d' b4 ~# Y' G: O* c
" E4 P) n. D M) z: X8 T for (int l=0; l<m; ++l)
! h$ C r( V; D ~' z- s: {1 \( W, h# Q& G( z
3 k* d! f6 i9 D7 x" u/ H + Q4 S6 t7 e7 \: v6 h
! ^ u7 w1 l- m# [8 q" s
swap(b(irow, l), b(icol, l));
% a$ [# e- A. a% t7 R: }* H6 W: E, g$ R; ?$ n0 O& Y
& N) H+ J" i3 I% r$ o( c8 e# U
6 `- t& S" J2 `6 e% f8 x
5 x6 b- f0 n. [( Z9 q6 n. i }
! y0 [) s. c5 {# ?% B4 }
; q$ C0 Z& t7 ^; y8 Q: u8 I7 T! o2 Y% [4 `
6 k! Y$ s- B0 y! L8 r1 K
; D4 Y7 ^' U% X; A " F, A5 v0 P1 H" m3 w: ?, y: g8 ?
! @9 S) v0 y1 w# v: |8 @( Q# W
' g+ }, ^+ R% Z8 A9 T2 x indexrow.at(i) = irow;
h2 B0 i% d7 K. b, ~+ S; k; D J( Z" W0 U+ v8 f. c" e
7 x( l( d5 C6 T) s9 n1 f
$ v* ^; G2 U8 u- Y$ B
1 r3 w+ _$ ^8 p3 S% c- `/ y indexcol.at(i) = icol; d1 L; l8 i5 H' B4 L
2 w. A+ y7 u9 ~# v! p4 r
, v. d2 x: B( J4 j% L
3 b7 N* \2 _/ K i( k3 A
3 c1 j- E* s9 \8 P' ]+ L
" n- y& W# M2 V" v% ]: F$ F( T( f$ P7 v! m
# [2 j# M4 j. p$ y6 ^+ ^
z1 [0 G5 o- a! U1 o
7 J5 \2 U( \& W
try {
3 k6 l. z4 d5 S5 U
, X9 ^3 b# Z! k2 Q$ p; P- `6 `7 [) k3 S1 f
! X) y9 w3 l9 Y ( {& g+ v2 E/ ^
double pivinv = 1.0 / A(icol, icol);+ L3 P" ?, @/ D( ^) Q
; V; M/ G1 V( E2 O
8 {! z* Z9 k" S* h) S, M
6 C0 x0 s* c5 K x# m% H, \
3 K( @& J8 ~; l, I" T # M+ x5 f" T' b! z' H- F
. X& M I$ C/ W' i( z' M0 v
7 l) j' |) h# f9 ~: r for (int l=0; l<n; ++l)& G0 t, C0 r' k) A* V
# j5 e5 }8 c* w* S* b( H2 [. |/ Y5 b
" Z0 G! _7 s& h$ {0 o% k) `. | 5 J, B5 [+ ]8 E# `. o
A(icol, l) *= pivinv;
8 h& v; r# F" W! _; c( C6 D
$ P4 h$ m4 y$ E+ p% e% u1 o6 n
4 G- `1 x$ E, Z C/ k0 B# \% E5 m
% I% |. t" [+ X" _) |* b* S+ ~5 Z
7 c% |) L2 f' ]- { for (int l=0; l<m; ++l)
1 n6 ]3 B; c/ d! y6 L8 Q @, G8 R7 I% S4 q+ d: R. P% H( G
, t# K- b! }1 i. @! S; D2 n+ p: |) H
% m2 e! P+ I7 ^# {* i2 c3 _ 6 k. f2 j& v: [3 t3 O- \, l
b(icol, l) *= pivinv;
" l; y9 R2 L) Z' z6 n+ F4 _
& q0 W% l$ W) B, R. P6 e& l$ l0 u" a5 Y* z% F. g8 u1 H" `: ?
" q! D, F" l; x! U* Q# {
, q& C( V( Z5 P5 y) I. {- J( x ? 8 {; t2 K8 u; L6 k% l" U
! A e* S% K" j+ O# o
1 F, c8 D6 S+ C+ \# H, r3 O0 ? //进行行约化
# T( `4 J0 P# O9 V
# X* \& c% `: o. q: R/ U$ B' y
+ [7 h+ Q/ l( ~9 g' d/ m6 T
: K4 g, L, _/ u: S) ? & [9 j9 d/ h2 ~
for (int ll=0; ll<n; ++ll)9 |0 O' Y! C% c! i
5 [7 ~% H* g/ T( F8 n/ l3 b
8 A' F3 Q2 G# M- P5 u
2 i$ i' A2 R# x) B& K" F
0 x4 ~" n/ K. G* m( t% M if (ll != icol) {1 c: L+ n1 |5 w& f1 f3 c+ }9 e4 I
2 b9 X, F/ Y ?) G2 `3 q
/ m. X8 {* P0 W( \: H! Q6 j$ s" j" ~
' {0 t7 C3 [9 ]" U/ y# {* }1 ] ) Z% w- }- z |: F6 |4 ~
double dum = A(ll, icol);! W7 R1 K/ S) F9 c5 S
$ K% ?: B8 ]6 r7 j
% J' I3 p6 H, h' @0 A
$ `! c, F; d3 f! i 8 l8 O, h6 {" s7 [& C9 \$ I
+ Q, @* Q* V1 _8 G ( V% D& e0 S( J) C) z" \+ ?( }
% W4 G; n8 @8 B J& |- v for (int l=0; l<n; ++l)8 U9 w0 i+ a$ J* T. u: C/ ^+ x
* E. T5 Q9 S6 U; J5 ?" l* `( U7 k' S
& H9 g. H- `- {8 q% { + Y7 \7 `1 j6 f; H* W+ H" r
A(ll, l) -= A(icol, l)*dum;" V8 m' ?1 g0 Q w, D: T H
A u" _7 K; U; m( N& C
' J: G( ` X- K2 B+ U: [ 9 u! q2 G; |" P6 w
4 A) D% ? V2 S* F& t$ f9 B8 o
for (int l=0; l<m; ++l)
# l; X X* T% v7 T$ N S4 E, k/ @7 b* ~
* E* u/ m9 d% {2 P n1 ~. s
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b(ll, l) -= b(icol, l)*dum;6 R8 `; M' m5 ^5 W. c8 w
# S& s, p# {. L, z* R% q' x
% m* e: Y1 V- |8 ?; _% c ! l: [: Z% n! h& Q$ y
8 G5 v" q6 j" D9 D! b }2 X \/ _) R, ~6 m- @( @9 A
0 y/ F6 a+ o" s5 ^0 y/ H4 S
) i# [2 }" N% P, q) Z5 w
. n9 a- Z# I! C6 a8 Z 7 [+ p! B. L7 l3 _+ [+ k
}" p- J7 n( P9 p4 e/ V( V
; ~( x! ]: u8 L: Q# D& q+ t) W" a. b z, y* Z1 P
" f. {" V8 u# h5 w
- b: |4 Z$ l. h catch (...) {% d9 g' e0 S- N
! x* X1 d( j. D+ }( A
( j/ O- x0 [6 V+ y: t 6 Z, G4 r$ H) Z- s
' V% C7 D8 H( S" ~ L# v5 ] cerr << "Singular Matrix";
\% h) B1 h4 _) R1 [0 z
5 J( t, B" O- N5 g, Z
& b) V# t9 N) A# P" [& e; U
& y/ X% t1 I) d 4 k; x N& N& l
}% N9 e, g) [7 k$ @, q4 q" }( w
9 y/ f4 }. O8 c7 n3 n0 i# w' V
2 K. k! ]; X. g2 d0 N3 B
( j8 k6 [6 S# u
; J4 P) K* G5 R- C% x
}. I7 A5 C& f* O/ k
1 q( p" b3 p `5 b4 I6 ~
' j4 q5 _- x- x4 G% I
+ G/ b3 g- r% c$ |6 N' _! y
' h0 g4 w. E+ d3 y4 a8 U }, o3 J8 t2 g+ j
# a- C9 A( y: W
3 f5 b5 ~' Z9 q1 u7 Y o* G( d . K8 i6 c4 ~( ? n. p. c
. Y$ M( H, R3 `5 F! J; ^' q
8 r$ T! E7 [& j& n
9 N) G# U+ J, e# k . P" x q4 l3 R3 x# L O
int main()& l2 o# O6 R7 U7 o9 o# x
" F: A' F; z0 O$ ^& K8 `+ h; ~9 A+ x8 m8 a
6 l0 Q# L9 T! y( F
) @) H- C8 Y' T# @ {4 O3 a1 |; r6 M* U
) B" _' \( U, l: v2 O3 C& f, j- x* [4 W G' w" `4 W
/ C- @- i/ L* I/ O) V
- l" T4 z+ G8 B$ [
//测试矩阵& {! e& G Q d3 O' y
( l1 R S- l$ e4 v5 H
8 ` X* ~5 n& S3 O5 j
( j; D- a) K, f
6 d2 w4 L4 C! k4 a9 Y. M Array<double, 2> A(3,3), b(3,1);% q! x% R9 u3 B( X$ w. {5 N
$ f: d" q: o, r! Q p8 t ]+ C8 {0 E+ e) a: m ^
# Z4 T6 @' A4 s4 {5 H
7 u x& _) f7 d/ I4 n
A = 10,-19,-2,7 B% _& K, T- b% k# N: W
" i% f, J9 H% [9 m% C
9 `* S# C, ]5 Q' a* l
& P6 _2 L9 m( r, [3 ?3 ` N
M( g. B' w ~; C+ ^1 ? -20, 40, 1,
% v- V; n0 R) F
A- q7 q4 }( [
0 R# y7 ?1 c* w5 x$ b' c X" u! E- m 7 y7 y' u% }/ a' ?) n
5 K( b% V( K" P8 u B# ~% X" \ 1, 4, 5;5 ~) _" R* ?& w, T( j& V5 ^- `3 D2 H
; c* c- z8 P* a. V. `: m3 V( L, @% B. W. L+ i
: T, w1 a# |) _4 d" s2 ~* t5 v
0 W2 C Q* z3 p! o( W+ s
9 u! O! X, S4 D- t" H- ]
% \% b2 S2 h$ I7 |' E1 c" \ 3 ^( @6 y% b' S0 ?: p+ i! o
b = 3,) Z+ W5 [6 l1 M: y! k
+ c8 t1 ]2 j- h" w4 P9 `
/ u, I5 Z+ E- ]" \/ G$ d/ E8 X! I
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4,
8 l. X' V& `2 j- w& C" k& K. @9 y, A, V# I7 ]* ^
4 Z3 l$ W, Z8 ?/ E9 P* s' n
5 ^; k7 \4 X: N, {& `" @2 ` % n- v4 _ L; k1 R8 x4 ?* e
5;
8 y" F6 _$ f4 H8 P8 ~
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# ?3 n6 ~/ v7 f: x3 |, g2 e9 y 3 j8 o& D+ s. g6 h) P$ Y2 G+ B
; W& ^; [& x, t" p b6 F 从代码的过程可以看出，矩阵A的逆在A中逐步构造，最终矩阵A演变成单位矩阵，解向量X也逐步替代右端项向量，且使用同一存储空间。7 v" q: v% ?2 d# I" ]& u" l
) w7 J9 [5 k4 A* K& v
% X9 L( N1 n+ ^0 ^, U! \
9 {8 }+ j4 s' \1 j
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1 U0 u1 A1 E" }" d- G ; ^8 [# x! H, v O6 y( \
) c+ p7 o' _ F1 C5 _' o
注释：[1]主元，又叫主元素，指用作除数的元素
# p) d- Q _, q; x
* N# t% K' y. a8 i$ E9 \) i; g) r9 ~, h
5 E6 N( P4 I6 H3 y2 c5 z# B: ~- N[此贴子已经被作者于2004-6-3 22:15:49编辑过] | 
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