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TA的每日心情 | 开心 2021-8-11 17:59 |
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签到天数: 17 天 [LV.4]偶尔看看III 网络挑战赛参赛者 网络挑战赛参赛者 - 自我介绍
- 本人女,毕业于内蒙古科技大学,担任文职专业,毕业专业英语。
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数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值(笔记)8 Y/ a8 s; J4 i# K
8 ^8 ^, y2 ^5 H0 u g9 z/ t今天学习了插值法的matlab实现。 d- g& z& L9 A
我们接触过五种基本的插值方法,有拉格朗日插值、牛顿插值、分段线性插值、分段三次Hermite插值和样条插值(三次)。
5 m$ S; o4 }1 j* Z/ {7 `* h. o" v( n. h$ m0 Q4 Z: _4 [# q
插值法在数学建模中的应用:数模比赛中,常常需要根据已知的函数点进行数据、模型的处理和分析,而有时候现有的数据是极少的,不足以支撑分析的进行,这时就需要使用一些数学的方法,“模拟产生”一些新的但又比较靠谱的值来满足需求,这就是插值的作用。
5 L2 ^" _" N& u8 \7 `" G; _. t" O3 M. d, E3 b1 @
一般来讲,数学建模中主要用到的是 分段三次Hermite插值和三次样条插值8 z$ J/ z: Y* }; V; v+ w
而matlab中都有对应的函数(感慨一下:matlab真强大!)# S6 m# o* I$ h. L) r
这两种插值的matlab实现也是本文的重点。
5 P4 n- U: G$ i1 j- Y+ A
1 {& I9 j; t0 H* k接下来先来用数学定义简单解释一下 分段三次Hermite插值和三次样条插值给有需要的人(便于理解)2 ^0 v: J. i& `, ?' X7 l
1)分段三次Hermite插值
7 g: o4 l; }9 y- d7 U9 Y: y① 埃尔米特插值多项式:插值多项式要求在插值节点上函数值相等,有的实际问题还要求在节点上的导数值相等,甚至高阶导数值也相等,满足这种要求的插值多项式成为埃尔米特插值多项式。 @! S5 T: m; Y) M# p8 O) C6 W3 n
(直接使用埃尔米特插值得到的多项式次数较高,也存在龙格现象,因此在实际应用中,往往使用分段三次埃尔米特插值多项式)0 Y2 B2 @: l; I
② 分段三次埃尔米特插值:. W2 b9 M$ P4 w ^+ G2 i
c5 _& x% c$ u; d2 u Y1 m3 [1 e) P5 o1 m2 i; e0 N" `
2)三次样条插值函数8 i% v! e+ k# h- V
$ J- u0 i) U! H& ? v
其次,再用matlab分别实现两种插值法' h7 `7 ?$ A, k, U0 z
这里应用背景是:MathorCup第六届A题 淡水养殖池塘水华发生及池水净化处理
z, Y/ u, H$ f$ X8 B这道题中,附件2中COD、溶氧、PH值等数据均是隔两周采样一次,数据量不足以用于建立合理的模型,因此要考虑现有数据进行插值以补充数据。具体附件截图如下:- I2 O3 C0 D, z3 y0 s' x0 R9 J
$ E+ a6 y9 v ]% T0 |' N0 p
接下来用matlab进行数据补充实现(注:叶绿素A、B、C以及CA2+、MG+等数据不做插值 )3 e) j$ B# r2 a4 s0 s4 o H
5 ~! ^7 N% D2 Q' B! I
这是我写的代码:
& k9 T- P" }7 Y$ S1、三次埃尔米特插值(spline函数):
3 U8 u4 F/ }) J4 U7 V/ S) a6 m(1)代码部分:8 ]$ L4 M2 H% X0 z# ^
! b& C- `- B7 r2 Q( l- g' u(2)运行结果:' H0 R% P( G0 n/ _
$ z* W, w" u, W# y: A4 H& c7 r! V3 @6 b0 b! g
2、三次样条插值/ ^' l. {6 Z8 O, |$ n& A7 t4 `' A) F
(1)代码部分(pchip函数):) h4 d' T0 H* ]& k1 b; ]' k
0 ?0 B" O, m7 n8 r* { Z: ?
6 \7 x/ B- C' ?/ U* y(2)运行结果:; d9 ?/ r1 \/ ^7 n
7 Y/ G! ~, o: j7 g) @6 ?0 r3 W8 v
$ Y; g/ y( x. s经过两次试验发现,大体上三段埃尔米特插值和三次样条插值插值效果相似,三次样条插值生成的曲线更加平滑。由于我们不知道数据的生成过程,因此这两种插值都可以使用。
1 ?! k6 V/ f2 |0 m# x1 W8 R* d
注:以上内容均参考清风老师的数学建模视频讲解' h) Z! U5 e/ w1 L% A
原文链接:https://blog.csdn.net/weixin_43793141/article/details/105176616
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& O# l( F4 ?( ` @% l2 A5 X6 g& t$ I5 J: V) k/ S/ o3 _
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