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[建模教程] 灰色系统理论及其应用 (七) ：道路交通事故灰色 Verhulst 预测模型

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发表于 2020-5-28 10:03 |显示全部楼层

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灰色预测是通过原始数据的处理和灰色模型的建立，发现和掌握系统发展规律，对系统的未来状态作出科学的定量预测。目前应用较多的灰色预测模型是 GM(1,1)模型、灰色马尔可夫预测模型等，可用于预测交通事故发生次数、死亡人数、受伤人数和财产损失等指标。GM(1,1)模型适用于具有较强指数规律的序列，只能描述单调的变化过程。但是道路交通系统是一个动态的时变系统，道路交通事故作为道路系统的行为特征量，具有一定的随机波动性，它的发展呈现某种变化趋势的非平稳随机过程，因此可建立交通事故灰色马尔可夫预测模型，以提高预测精度。但灰色马尔可夫预测模型的应用难点是如何进行状态划分，故对于非单调的摆动发展序列或具有饱和状态的 S 形序列， Verhulst 模型，GM(2,1)模型等更适用。

Verhulst 模型主要用来描述具有饱和状态的过程，即 S 形过程，常用于人口预测、生物生长、繁殖预测及产品经济寿命预测等。今年来中国道路交通事故表现为具有饱和状态的 S 形过程，故可采用 Verhulst 模型对其进行预测。

1 Verhulst 模型简介
Verhulst 模型的基本原理和计算方法简介图下

参数列的最小二乘估计

定理 2 设灰色 Verhulst 模型如上所述，则白化方程的解（时间响应函数）为

灰色 Verhulst 模型的时间响应序列为

累减还原式为

2 道路交通事故 Verhulst 预测模型

1990～2003 年中国道路交通事故死亡人数曲线见图 2，可见曲线呈 S 形，故可建立 Verhulst 模型进行预测，其建模过程如下。

（7）模型精度检验。

一个灰色模型要经过检验才能判定其是否合理。只有通过检验的模型才能用来进行预测。检验方法有以下几种。

① 残差合格模型

② 关联度合格模型

③ 均方差比合格模型

④ 小误差概率合格模型

由上可知，给定一组取值，就确定了检验模型精度的一个等级。常用的精度等级见表 15，可供检验模型参考。一般情况下，最常用的是相对误差检验指标。

由以上检验方法，可得 1990～2003 年中国道路交通事故死亡人数 Verhulst 模型误差检验值见表 16。

计算的 MATLAB 程序如下：

clc,clear
x1=[4.93 5.33 5.87 6.35 6.63 7.15 7.37 7.39 7.81 8.35
9.39 10.59 10.94 10.44];
n=length(x1);
nian=1990:2003;
plot(nian,x1,'o-');
x0=diff(x1);
x0=[x1(1),x0]
for i=2:n
z1(i)=0.5*(x1(i)+x1(i-1));
end
z1
B=[-z1(2:end)',z1(2:end)'.^2]
Y=x0(2:end)'
abhat=B\Y %估计参数 a,b 的值
x=dsolve('Dx+a*x=b*x^2','x(0)=x0'); %求解常微分方程
x=subs(x,{'a','b','x0'},{abhat(1),abhat(2),x1(1)}); %代入参数值
yuce=subs(x,'t',0:14) %计算预测值
digits(6); x=vpa(x) %显示微分方程的解，为了提高计算精度，把该语句放在计算预测值之后，或者不使用该语句
yuce(16)=yuce(15);
x1_all=[x1,9.92,10.71];
epsilon=x1_all-yuce %计算残差
delta=abs(epsilon./x1_all) %计算相对误差
delta_mean=mean(delta) %计算平均相对误差
x1_all_0=x1_all-x1_all(1); %数据列的始点零化像
yuce_0=yuce-yuce(1); %数据列的始点零化像
s0=abs(sum(x1_all_0(1:end-1))+0.5*x1_all_0(end));
s1=abs(sum(yuce_0(1:end-1))+0.5*yuce_0(end));
tt=yuce_0-x1_all_0;
s1_s0=abs(sum(tt(1:end-1))+0.5*tt(end));
absdegree=(1+s0+s1)/(1+s0+s1+s1_s0) %计算灰色绝对关联度
c=std(epsilon,1)/std(x1_all,1) %计算标准差比值

3 预测结果比较

比较表 16 和表 17 可知，Verhulst 模型预测精度与 GM(1,1)模型几乎没有差别。计算的 MATLAB 程序如下：

clc,clear
x1=[4.93 5.33 5.87 6.35 6.63 7.15 7.37 7.39 7.81 8.35
9.39 10.59 10.94 10.44];
n=length(x1);
x0=diff(x1);
x0=[x1(1),x0]
for i=2:n
z1(i)=0.5*(x1(i)+x1(i-1));
end
B=[-z1(2:end)',ones(n-1,1)];
Y=x0(2:end)';
abhat=B\Y %估计参数 a,b 的值
x=dsolve('Dx+a*x=b','x(0)=x0');
x=subs(x,{'a','b','x0'},{abhat(1),abhat(2),x1(1)});
yuce=subs(x,'t',0:14) %计算预测值
digits(6); x=vpa(x) %显示微分方程的解，为了提高计算精度，把该语句放在计算预测
值之后，或者不使用该语句
yuce(16)=yuce(15);
x1_all=[x1,9.92,10.71];
epsilon=x1_all-yuce %计算残差
delta=abs(epsilon./x1_all) %计算相对误差
delta_mean=mean(delta) %计算平均相对误差
x1_all_0=x1_all-x1_all(1); %数据列的始点零化像
yuce_0=yuce-yuce(1); %数据列的始点零化像
s0=abs(sum(x1_all_0(1:end-1))+0.5*x1_all_0(end));
s1=abs(sum(yuce_0(1:end-1))+0.5*yuce_0(end));
tt=yuce_0-x1_all_0;
s1_s0=abs(sum(tt(1:end-1))+0.5*tt(end));
absdegree=(1+s0+s1)/(1+s0+s1+s1_s0) %计算灰色绝对关联度
c=std(epsilon,1)/std(x1_all,1) %计算标准差比值

4 结语
道路交通安全系统是一个灰色系统，可以应用灰色系统理论进行研究和分析，其中灰色预测模型和方法简便易用，在交通事故预测中得到了较多应用。GM(1,1)模型适用于具有较强指数规律的序列，只能描述单调的变化过程，而 Verhulst 模型则适用于非单调的摆动发展序列或具有饱和状态的 S 形序列。
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