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助力国赛 | 第3弹 规划问题(Lingo版)
5 l5 ?2 X2 G; B u9 t" p( y$ ~- F% V
' B0 U( _/ b' x; b( V( w3 g3 |
3 M, X$ i4 S" K w! J C前言上次介绍了用MATLAB来求解规划问题,功能强大是强大,但总觉得有点不爽,函数里面的参数有点难记,万一输错了岂不玩完了。的确在可读性这方面,MATLAB做的差一点。正是基于此在此向各位推荐另一款软件——Lingo。Lingo在数学规划上也是大名鼎鼎的。本次首先会简单介绍下Lingo和其基本操作,齐次介绍些高级操作,最后还是回到实际问题中,在具体问题中一睹Lingo的强大。 - 基本操作
- 高级操作
- 实际应用6 ?. F/ T$ p2 ^5 p5 f
0 A& a9 V4 H0 g; I% R% s, M
基本操作简介Lingo是美国Lindo系统公司开发的一套专业的求解最优化问题的软件包,可以求解线性规划、二次规划、非线性规划、线性方程组、非线性方程组和整数规划等。LINGO软件有多种版本,如LINDO,GINO 和LINGO(包括LINGO NL)软件。在这些软件中关系最让人“头痛”的恐怕就时Lingo与Lindo的关系,其实可以这样简单的理解:Lindo是可以是这些软件集合的代名词,Lingo只是其中一种具体的软件而已。管他们什么关系,知道现在被广泛使用的是Lingo就行了。
u6 R2 s+ L, R9 v7 v+ R; Y9 d5 bLingo是一款商业软件,使用是需要付费的,可以登录他们的官网:http://www.lindo.com 进行查看,但在天国获取的方法就不仅限于此了,具体可以访问某度,在此就不细说了。
4 w7 }6 _' B6 J8 g& _, L* M ! Q. u$ {9 F! `0 n
下面“吹一吹”Lingo。 强大的求解整数规划功能是Lingo软件的最大特色,且求解速度非常快。Lingo还是最优化问题的一种数学建模语言,它包括许多常用的数学函数,这些函数可供使用者在建立最优化模型时调用。此外,Lingo提供与文本文件、Excel文件和数据库文件的接口,便于输入、求解和分析大规模最优化问题。 6 a6 M9 n; Y! R6 `
初印象第一眼还是很重要的,下面就看一看Lingo。" ^; `( u" Q+ A& U2 B
建面如下:% k# W$ N8 X V
" N4 X4 \' V1 c7 {) ?常用工具栏:
8 n) ], |- b2 Y) MLingo文件类型: 文件后缀名为“.lg4”保存了模型窗口中所能够看到的所有文本和其他对象及其格式信息。 运算符算数运算符: 用于数与数之间的数学运算。, u1 N. t2 [5 Q. A4 k" s! M/ R# v% ]
LINGO中的算术运算符有以下5种:
4 z8 Z* I: y- ?1 N+ n T& j7 ]+(加法)* a$ a( n T+ y7 h0 Y
-(减法或负号)" }0 z+ B9 C, |
*(乘法)
8 ~) s; H$ N' m% G3 C& q; k- a/(除法)
9 C; w5 h& ^5 T. @* X^ (求幂) 关系运算符:表示“数与数之间”的大小关系。
% S* d5 u A3 {7 `. x9 B- m8 tLINGO中关系运算符有3种:
( n9 t# z* Y0 b( i< (即<=,小于等于)
1 t; ^/ X% x; Z2 Z7 F( i' U= (等于): c; L! ]; A6 T
> (即>=,大于等于) 简单程序编写求解如下问题:. M) a7 W- ^" y8 t# w) V: N
+ v" k3 y) s. Q3 V; c4 ^编写程序:
. Y9 h$ T# F0 P% |* K2 M点击求解按钮:
( V) V4 R# X+ Q分析结果: & g# P! F1 ]5 x* o5 T/ r. J8 |
所以当x1 = 0,x2 = 5时,取得目标函数的最优值15。 高级操作下面详细介绍Lingo的用法。 基本语法在LINGO语句中通常以MODEL开始,END结束(MODEL和END行也可以删除),目标函数表达式前需要加“MAX=”或“MIN=”. 在写LINGO模型中,注意: - LINGO模型已假设各个决策变量非负. 若变量无非负约束或有上下界,则可以考虑用@free、@sub、@slb或@bnd来定义.
- 变量名不能超过32个字符,且必须以字母(A-Z)开头,其后可以是字母、数字(0-9)和下划线(_)的任意组合.
- 变量名不区分大小写.
- 在约束中“>=”与“>”等同,“<=”与“<”等同.
- 在目标函数或约束条件中需要以“;”结束.
- 标点符号等要在英文状态下输入.
- “!”为注释符号,其后为注释内容,注释以“;”结束.
- 逻辑运算主要包括:#EQ#(等于),#NE#(不等于),#GE#(大于等于),#LT#(小于),#LE#(小于等于).
- f/ ~ R4 G+ f5 i; l" W9 h 段LINGO中建立的优化模型可以由六个部分组成,或称为六“段”。 - 集合段:用于定义数组型性变量SETS: ……ENDSETS
- 数据段:用于变量赋值与数据传递DATA: ……ENDDATA
- 目标与约束段:用于列出目标与约束唯一一个没有段的开始和结束标记
- 计算段:用于数据初始整理计算CALC: ……ENDCALC
- 初始段:用于变量赋初值迭代寻优INIT: ……ENDINIT
- 子模型段:用于表达子模型进行调用@SUBMODEL mymodel:可执行语句(约束+目标)ENDSUBMODEL' ~) O( \* I# L$ D D
有了这些我们就可以,不必把表达式全都列举出来了,下面这个表达方式:
. T Q; ^4 @( a9 P, G x! o& U 8 x( C5 Z, e" W9 |+ L# K
code: sets:!集合段;s/1..100/:x;!基本集合, 集合名与属性变量;endsets!目标与约束段;@sum(s(i):x(i))<90;!循环求和函数;
$ S1 S. {% H! u" |/ ~% {& ~6 e- H% k$ w# E: c
code: sets:!集合段;ss/1..10/:b;endsetsdata:! 数据段;b=1 0 1 2 3 5 2 6 1 2;enddata
" j- y/ y* Q* Y. u; s5 E3 g5 l5 e3 i
code: sets:!集合段;a/1..100/:x;b/1..200/:y;Endsets!目标与约束段;@for(b(j):@gin(y(j)));@for(a(i):@bin(x(i));! O2 q7 ^ n9 A4 n
派生集合派生集合就是派生出来的集合,看几个例子就懂了。
4 D7 B/ @0 T E5 z1 w2 Q
0 d2 U/ |2 N3 x* L5 |code: sets:a/1..100/:;b/1..200/:;C(a,b):x;!派生集合;Endsets!目标与约束段;@sum(c(i,j):x(i,j))=280;' Q/ W1 u. m S3 d; Z' H
4 I l3 M( }& }6 x1 x8 _code: sets:a/1..100/:;b/1..200/:;C(a,b):x;Endsets!目标与约束段;@for(b(j):@sum(a(i):x(i,j))>150.001);!集合元素的循环函数;+ i# w) N/ U5 F2 ^5 ~ J
: K, Y5 f! u8 u; Q7 m7 c. Hcode: sets:a/1..100/:;b/1..200/:y;C(a,b):x;Endsets!目标与约束段;@for(b(j):@gin(y(j)));@for(c(i,j):@bin(x(i,j));. p# B, M/ m y: N: U5 d' b
逻辑运算符与过滤条件这个前面提到过,再罗列一次:& {8 G& s' _9 S# ^, h% b' ~5 D
LINGO逻辑运算符有9种:) ?, n% {: ~& l9 m! }
#AND#(与),#OR#(或),#NOT#(非):1 {" k8 b' W5 X% G' X- m' w- ?
#EQ#(等于),#NE#(不等于),
, O* ?3 {8 q( V& \2 O#GT#(大于),#GE#(大于等于),) j( J5 S [# e0 b- K. f
#LT#(小于),#LE#(小于等于)1 n+ y2 ^2 |" p4 z t" p
看下面一个例子:
' r2 n8 l3 O5 [" ]
8 N/ |: X+ [8 l; ucode: sets:a/1..20/:;b/1..30/:;C/1..40/:;d(a,b,c):x;Endsets!目标与约束段;@for(a(i):@for(b(j):@sum(c(i,j,k)|k#gt#1#and#k#ne#10:x(i,j,k))=100));!过滤条件;
3 {/ M1 Z/ [: I如果我们表示一个分段函数时,就可以是if函数 @IF(logical_condition, true_result, false_result)5 u# ?0 g. k0 u1 H, @8 A+ q( J
当逻辑表达式logical_condition的结果为真时,返回true_result,否则返回false_result。 : C0 h {' g e
code: f=@IF(X#LE#500,4*X,@IF(X#LE#1000,500+3*X,1500+2*X));
, g: {. H1 `5 g& c# K掌握上述方法,可以解决掉大部分规划问题,如果还想进一步了解,可以去查阅相关书籍。 实际应用线性规划7 w+ X0 W P* R
原运输问题变量更换为:
" ^: U4 m5 ?2 `建立模型为: " w/ U" ]3 t6 d7 J: h& t8 J8 g
模型进一步转化为:
: G$ o6 g# h5 @) ^程序编写: MODEL:TITLE 调运大米的运输问题程序3;!定义集合段;SETSIANGKU/1..2/:A;!定义粮库的集合;LIANGZHAN/1..3/:B;!定义粮站的集合;YULIANG(LIANGKU,LIANGZHAN):X,C;!定义运量和距离;ENDSETSDATA:!粮库到粮站的距离;C=12 24 830 12 24;!粮库的限量;A=4 8 ;!粮站的限量;B=2 4 5;ENDDATAMIN=@SUM(YULIANG:C*X);!粮库上限的约束;@FOR(LIANGKU(I):@SUM(LIANGZHAN(J):X(I,J))<A(I));!粮站下限的约束;@FOR(LIANGZHAN(J):@SUM(LIANGKU(I):X(I,J))>B(J));END
8 n$ D( x6 H* L# J运行程序即可得到结果。 非线性规划CUMCM2004C请你参考下面给出的数据(或自己收集资料)建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型,并讨论以下问题: - 对大李碰到的情况做出解释;
- 。。。
; ` y* A: g4 i+ c+ w5 c
参考数据 - 。。。
- 体重约70kg的某人在短时间内喝下2瓶啤酒后,隔一定时间测量他的血液中酒精含量(毫克/百毫升),得到数据如下:7 o( O8 x, Q* Z" m- v! F
+ r) L) L! D" b4 v- {分析:把人体内酒精的吸收,代谢,排除过程分成两个“室”,胃是第一个室,血液为第二室,酒精先进入胃,然后被吸收进入血液,由循环到达体液内,再通过代谢,分解及排泄,出汗,呼气等方式排除。7 U5 y% ?, y. m) w* }: ?. ^1 m6 p7 _ _
假设胃里的酒精被吸收进入血液的速度与胃中的酒量x(t)成正比,比例常数为k1,血液中的酒被排除的速度与血液的酒量y(t)成正比,比例系数为k2,G0为短时间内喝入胃的酒精总量,则可以建立微分方程:
: D, s+ v, g" h0 Q7 a% i 求解得:- W! h( v7 I0 I& w7 I; z U- e& E+ W3 v: N
变换为:
6 k$ C& q; W3 ] v% I: ~
8 F4 Q2 G( w# s4 {因而问题就可以转化为: , ~# W0 \* o' K6 n
编写程序: MODEL:SETS:BAC/R1..R23/:T,Y;ENDSETSDATA:T=0.25 0.5 0.75 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 16;Y=30 68 75 82 82 77 68 68 58 51 50 41 38 35 28 25 18 15 12 10 77 4;ENDDATAMIN=@SUM(BACA1*(@EXP(-A2*T)-@EXP(-A3*T))-Y)^2);END9 f) i1 o1 a# d- K9 S
运行程序,即可获得结果。 整数规划:对上次最后一个题目,用Lingo进行求解。
0 Y% @! f |4 i" @6 ` 编写程序: model:sets:row/1..4/:b;col/1..5/:c1,c2,x;link(row,col):a;endsetsdata:c1=1,1,3,4,2;c2=-8,-2,-3,-1,-2;a=1 1 1 1 11 2 2 1 62 1 6 0 00 0 1 1 5;b=400,800,200,200;enddatamax=@sum(col:c1*x^2+c2*x);@for(row(i):@sum(col(j):a(i,j)*x(j))<b(i));@for(col:@gin(x));@for(col:@bnd(0,x,99));end
8 d& L" O/ s; S8 N& S8 K运行即可求出结果,还是满精确的。
8 G& F1 \+ L/ B, Z# @( A% ]# j$ ]* L% X! g9 E
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