二次剩余值的关联计算(上)

songls

        二次剩余值的关联计算(上)
3 J5 F% O; P, N# K  ^7 T$ T# J1 G
一、 二次剩余中\frac{1}{2} 相关值的计算：
4 E; F) a+ }: q$ O4 q, L2 p, V   对于完全平方公式：
   (1/2 -m)^2  = 1/4 -m+m^2 = 1/4 +m(m-1)   (m≥1)  (1-1)
) g' V' y( N( c$ p: V: i
; b% O- r9 `$ d$ X# z- L    在n为奇数时, 上式的同余可以分为:
    ① 当n=4k-1时，对(1-1)求同余得:
    (1/2-m)^2  ≡ (2k-m)^2 ≡ k+m(m-1) (mod n)    (1-2)
% W  N! f; D6 W    ② 当n=4k+1时, 对(1-1)求同余得:
    (1/2 -m)^2  ≡ (2k+1-m)^2 ≡ -k+m(m-1) ≡ n-k+m(m-1) (mod n)    (1-3)
! ^1 t* \1 a* ?8 B  k  h
  为以后叙述方便，我们对 1/2-1  1/2-2  ...  1/2-m (m >=1)  这类数称为二次剩余的后序序列, 即1/2  减小的方向的数列.
$ j9 |* d( t0 K" `" v! k" {0 j" V
% Z9 s4 q( A) v  q% a/ r  二次剩余后序序列的二次剩余值有个特点, 与k(k>0)值相关, 是k值与两个连续整数积的和，与k值同奇同偶。
9 k  Z& p( z- {  如n=299=4*75-1    k=75    2k=150 , 二次剩余后序序列为:
' ?5 B% o+ H8 U1 t3 o* }4 v   (150-1)^2 ≡ 75+1*(1-1) ≡ 75 +0 ≡ 75 (mod 299)  =>  149^2 ≡ 75 (mod 299)  
   (150-2)^2 ≡ 75+2*(2-1) ≡ 75 +2 ≡ 77 (mod 299)  =>  148^2 ≡ 77 (mod 299)  
4 c/ ^. a; M% i( h   (150-3)^2 ≡ 75+3*(3-1) ≡ 75 +6 ≡ 81 (mod 299)  =>  147^2 ≡ 81 (mod 299)

. ]  I$ m+ Q- X$ q4 D  .
  .
' e: O" o- p) Y; Z  ~- V   根据后序序列，可以得到一个分解整数的方法:
   设n为奇合数, 如果 c^2-k=m(m-1)  m>0  => (2k-m)^2 ≡ c^2 (mod n)  , 或者
9 b' S" @( Y; N" X# D$ E    c^2-k=m(m-1) => 4c^2-4k+1=4m(m-1)+1 => (2c)^2 ≡ (2m-1)^2 (mod n)  
   上述等式，由费马分解即可得到n的因子, 不过效率较低.
    例1: n=299-4*75-1 ,  k=75
# O$ ^, J+ O. Z, _1 s% V+ s8 b3 C      根据后序序列，大于75且与75同奇同偶的完全平方：9^2-81
/ l" b" p8 E  z- A7 e& W$ K      81-75=6=2*3 为连续两个整数积，在后序序列上
      ∴ (150-3)^2≡81 (mod 299)  => 147^2≡81 (mod 299)
  A4 R1 }2 _* Q' l, t      或者 (2*9)^2≡(2*2+1)^2 (mod 299) => 18^2≡5^2(mod 299)
, v' k0 q) H& G1 U1 [! }6 r
二、连续两个整数积的分解方法
+ {9 X& o7 M0 H7 _6 i: z+ V   1、分解方法介绍
( X6 V8 F3 X+ z# `3 E; \, r, ?5 R   例2: n=299=4*75-1
0 r* s) e( A  Y( ]- [# ?, t! P4 F1 Y      25^2 ≡ 27 (mod 299)   =>
; r4 i) {! {+ t; H     25^2 ≡ 25+2 (mod 299)  =>  
/ I, I2 a+ O& }% f     25^2-25-2 ≡ 0 (mod 299) =>  
     (25-2)(25+1) ≡ 0 (mod 299) =>
8 i3 E9 L/ u. T     23*26 ≡ 0 (mod 299)   
     (23,299)=23   (26,299)=13      299=13*23
7 p$ m9 S8 S2 m
& y3 p# }( G7 [' a% j   分解方法:  设n为奇合数,  a^2 ≡ b (mod n)  , 如果 b=a+i(i+1) (i ≥ 0 )  , 则可得到:
, L7 ^2 _& A4 k+ }) M" c' ~      a^2 ≡ b (mod n)  =>
     a^2-b-i(i+1) ≡ 0 (mod n)  =>
     (a-(i+1))(a+i) ≡ 0 (mod n)
/ l0 L$ I4 i1 B2 P$ w  V: @5 k- k     (a-(i+1),n)>1   (a+i , n)>1    即可分解n
6 g$ F7 x) m7 P
6 A3 d6 K4 \5 S" q" @   2、分解方法的另一个解释
7 b, m3 D7 X; s  q9 K3 f8 u8 I2 X    设n为奇数, a^2 ≡ b(mod n),  如果m=a, 则由(1-1)公式得:
     (1/2 -a)^2  ≡ 1/4 +a^2-a (mod n)   =>
       (1/2 -a)^2  ≡ 1/4 +b-a (mod n)    (2-1)
     
- u, m2 ~% N1 u0 t/ {" g. G     ① n=4k-1 , 2-1式得：
     (2k-a)^2 ≡ k+b-a(mod n)     (2-2)
     ① n=4k+1 , 2-1式得：
1 ]! t6 Z3 }+ s2 b     (2k+1-a)^2 ≡ n-k+b-a (mod n)   (2-3)
; i+ G3 i6 G) @* q2 B/ u
! b( Y/ m0 D; U1 I: k% q. G% E   从(2-1(式, 可知二次剩余的计算,  在[1,1/4]范围内, 计算出[1,n-1]的二次剩余值.
   在例2中, 按(2-2)式的计算, 可得:
$ M7 w7 g( v  k& G% V& `    (150-25)^2 ≡ 75+27-25 (mod 299) =>  125^2 ≡ 77 (mod 299)  
3 r  Z5 ^2 z3 [3 o% \  n; r    所以, a^2 ≡ b (mod n)  ，如果b=a+i(i+1) ,其相对1/2的剩余值在后序序列上.
9 y. a# ]  a- U+ r( C& Z* M6 J
7 p) O( f1 g; W1 U 三、1/j (j >=3)的计算方法
  上面的是计算 1/2， 即j=2, 如果j>2时,  有如下的1/j计算方法:
   (1/j ± ij)^2 = (ij)^2 ± 2i + (1/j)^2 (i >= 1 ) (j ≥3)   (3-1)
5 M, V$ H4 K7 Z9 v5 @' F
) G$ }" i7 B" f* N  E* L   而对于\frac{1}{j}相邻, 有两种计算,
8 E  k& J6 v* c4 W! e, F    1)  1/j    1+1/j  2+1/j ... t+1/j    (t<j)  
6 P9 o2 R0 ~2 h6 A  h    2) t-1/j ... 1-1/j  1/j  1+1/j ...  t+1/j   (t < j/2)  
% H: e, {+ L" |, u- F    t+1/j= (1+tj)/j = m/j ,  m=1+tj

    按m/j , (3-1)式变成:
    (m/j± ij )^2 = (ij)^2 ± 2mi + (m/j )^2  (i≥ 1 ) (j ≥ 3)   (3-2)
) H; E9 M! v& y: K
   例3: n=299    \frac{1}{3} ≡ 100 (mod 299)   100^2 ≡ 133 (mod 299)  
% d. Y5 ~& ^6 J% J! S: r   (100-3)^2 ≡ 3^2-2+133  (mod 299)    =>  97^2 ≡ 140  (mod 299)
9 C! m+ @& S0 i. h0 Y' r   (100+3)^2 ≡ 3^2+2+133  (mod 299)    =>  103^2 ≡ 144  (mod 299)
  E8 Q0 ^2 M8 ~7 [   1+1/3=4/3 ≡ 1+100=101 (mod 299)     101^2 ≡ 35 (mod 299)
   (101-3)^2 ≡ 3^2-2*4+35  (mod 299)    =>  98^2 ≡ 36  (mod 299)
# X6 K( z  f5 d   (101+3)^2 ≡ 3^2+2*4+35  (mod 299)    =>  104^2 ≡ 52  (mod 299)
   1-1/3=-2/3 ≡ 1-100=-99 (mod 299)     99^2 ≡ 233 (mod 299)  
   (99-3)^2 ≡ 3^2-2*(-2)+233  (mod 299)    =>  96^2 ≡ 246  (mod 299)
* v7 r: |; t7 B1 F7 I* Y  v1 W   (101+3)^2 ≡ 3^2+2*(-2)+233  (mod 299)    =>  102^2 ≡ 238  (mod 299)   
   按2+1/3也能得到相同结果，这里不在验证.

   当然如果j=2s, 即为偶数, 可以计算一半的值, (3-2)式得  :
; h  W( n. j  T1 V3 ^4 J    (m/j ± i*s)^2=(is)^2±mi+(m/j)^2   (i ≥ 1)   (j ≥ 3)   (3-3)
  更一般的公式: 当为 g/j    g <j/2  , (g, j)=1, 这里就不再给出.