实现Logistic回归模型学习的梯度下降法

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在实现Logistic回归模型的学习过程中，梯度下降法是一种常用的优化算法。Logistic回归用于二分类问题，通过使用sigmoid函数来预测样本属于某一类的概率。以下是如何用Python实现Logistic回归，并使用梯度下降法来学习模型参数
, E' c2 }8 S$ n3 D2 `  L- @
### Logistic 回归原理

1. **Sigmoid 函数**：
   \[
0 K4 O+ n6 h5 X% y7 C1 b- f   \sigma(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}}
   \]
   这个函数将任何实数映射到(0, 1)区间，用于计算预测概率。
. `, Q0 B+ M( }* o0 J
/ v- e" J: @+ Y! \2. **损失函数**：
& y! Y, q  ~/ S5 \   Logistic回归的损失函数是对数损失函数（Log Loss）：
9 v9 |; d# F# ]% j) f3 T4 \5 [   \[
   J(\theta) = -\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} [y^{(i)} \log(h_\theta(x^{(i)})) + (1 - y^{(i)}) \log(1 - h_\theta(x^{(i)}))]
   \]
   其中 \( h_\theta(x) = \sigma(\theta^T x) \)。

7 L7 l9 \2 U) Z3. **梯度下降法**：
   梯度下降更新参数的公式为：
   \[
2 i2 w1 g$ m! Q. g( G   \theta := \theta - \alpha \nabla J(\theta)
* ~* u% p; `* M+ s$ X5 v$ y& O& v   \]
   其中，\(\alpha\)是学习率，\(\nabla J(\theta)\)是损失函数的梯度。
8 I* _3 a8 {- m' I  y: u( H

, A" P8 t( h' |) t
5 Y$ K& c0 c$ X' h  ~( p& A5 l/ i& I
, Z" o+ ]+ M+ I4 d% \