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勾股定理的美妙证法【梁卷明】

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梁卷明        

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发表于 2009-4-18 17:05 |显示全部楼层
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2009年3月28日下午,梁卷明老师在研究中发现了证明勾股定理的一个奇妙证法,如下图所示:
4 s6 H$ F% K2 K% `0 _" x8 W
0 [/ S& ]. J6 P9 q
+ u0 q: j4 }$ n$ K1 e3 c$ c- a, K& _" b& |% h! }4 T

( M2 t: c, ^+ z+ q9 u8 s2 e, h: X* ^' R
zan
qiannuo        

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勾股定理的奇妙证明【梁卷明】
% w+ ]9 Q. f2 P4 F% a* g" t7 V/ b' M9 t" R( K& E
  勾股定理:如图,直角三角形ACB中,∠BCA=90°,! D/ a- R2 F, b' X8 y
则有:AC2+BC2=AB2.
0 m- v7 Q; ^* X1 W# H* ]9 }2 Z0 ]' x" T$ J4 ^( A7 L

! {5 n3 [: X2 h: K9 a$ T; L) w  d+ O) Q4 W2 D6 p+ Q$ Y* J

6 R& o5 x" D( w$ n. o+ o% J- X  [% y% i( B9 F
梁卷明证明:分别以ACCBBA为边作正方形ACNM、正方形CBSQ、正方形BAPR,又过点PPT垂直AC于点T,连结SR, AB=PA, ACB=PTA=90°, CBA=TAP=90°-CAB6 z6 J, |2 O# ]0 M1 P! C8 v
ABC≌⊿PATAAS.AT=BC=BS,ATBS,故得ABST, ABTS,ABPR,ABTSPR,从而可将△BSR沿BA方向平移到△ATP的位置.- Y2 T3 m( B3 d6 V' v" b

& r. P6 W: X' S& H显然PT∥AM,PT=AC=AM,故得PTMA, APMT ,又MN=AC=AT+TC=BC+TC =CQ+TC=TQ,MN∥TQ, 故得 MNQT,MTNQ ,又APBR,  APMTNQBR, 梯形ABNM沿BR方向平移至梯形PRQT的位置! 此时梯形PRQT中的△KQR位于正方形ABRP的外部,又由NQBRNQRB, QRNB∥BC,又QSBC, ∴点Q必在SR上!从而△KQR与梯形KQSB恰好合成一个△BSR!再把△BSR平移到△ATP的位置即可.
* M% y+ }6 A$ Y; _

/ C! W# S  q, i* I. s故有:S正方形ACNM+S正方形CBSQ=S正方形BAPR .    即:AC2+BC2=AB2. 证毕!
, Q& G" l  R. U. j3 p  i! \( W% A, @, C
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