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【讨论】一个老师也说不清楚的实变函数问题

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    发表于 2009-11-30 10:44 |只看该作者 |倒序浏览
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    本帖最后由 厚积薄发 于 2010-1-26 21:14 编辑 ) w, U% e0 L* s1 V! _3 h

    0 E6 `0 n3 {0 g在实变函数中，在讲勒贝哥积分时，L积分有一个性质是：设f（x）在E上L可积，则mE[|f|=无穷大]=0，即f（x）在E上a.e有界；+ o# _% w' k; E+ b( a1 j+ l

    * G3 u; w# Z: p5 }这里有个实例，自己觉得它和该性质矛盾，所以上课也问了老师，但老师也没咋说就过去了，所以只能放在网上，和大家讨论一下4 Q( V8 i1 [- w& F

      ^: Y& _1 H9 F" L* {/ u9 a- m/ l" I实例：设f(x)=x  x属于整个实数轴，对于该函数来说就要满足这个条件  mE[|f|=无穷大]=0，就没有什么依据了1 m4 s4 Q* s0 u- @; |, [
    所以我觉得该性质有问题，希望能解决的这个问题的老师或者同学给点建议。
    & ^. Z- J4 E, O$ F  r2 J' ~3 j0 s# P; e0 d  T4 w# i
    （如果真的有问题，绝对禁止将该问题私自提升成自己的一个课题，希望大家理解）
    zan
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    发表于 2009-11-30 13:01 |只看该作者 |招呼Ta 关注Ta
    呵呵，以前学数分的时候搞清楚了的
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    发表于 2009-11-30 15:46 |只看该作者 |招呼Ta 关注Ta |邮箱已经成功绑定
    那个是无穷区间积分，在L意义下不可积···在数学分析意义下 是反常积分~L积分首先是定义在有限集再推广的，我记得在一个反常积分在L意义下可积当且仅当该积分绝对收敛~
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    发表于 2009-11-30 16:38 |只看该作者 |招呼Ta 关注Ta |邮箱已经成功绑定
    你给出的例子不满足定理条件。f在整个实数轴上不是l可积。呵呵，你看看l可积的定义就知道了。。。
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    发表于 2009-11-30 18:01 |只看该作者 |招呼Ta 关注Ta |邮箱已经成功绑定
    是奥                 对于f=x在R上的积分显然是0，由奇函数的性质可知0  q$ {. U+ X6 w0 N2 G- r
    但是它既然在通常意义下积分，那为什么在L积分的意义下没有意义3 `% h4 S8 ?$ z
    这与L积分是R积分的推广有点矛盾啊
    & N7 d) c; s9 F; D- K' ~. Q  D希望能做出进一步解释！/ f9 [* }2 l2 a. G( |" Q
    谢谢
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    发表于 2009-11-30 18:16 |只看该作者 |招呼Ta 关注Ta |邮箱已经成功绑定
    表面上是可积。但是这个应该是反常积分，不叫R可积吧。
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    发表于 2009-11-30 19:38 |只看该作者 |招呼Ta 关注Ta |邮箱已经成功绑定
    大多数数学分析书上都有介绍。! H2 n) L% S0 A5 ?( d# C
    我用的是高等教育出版社，陈纪修等人的那本，封面为蓝色。
    ; z1 i/ p$ ~" p" X: K在网上我不会输符号，你看附件吧。 反常积分.pdf (223.59 KB, 下载次数: 10)
    为你奋斗！为你奋斗！
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    发表于 2009-11-30 19:41 |只看该作者 |招呼Ta 关注Ta |邮箱已经成功绑定
    反常积分与L积分的区别与联系要看实变函数。我写的是反常积分与R积分的区别。。。不好意思看错题了。
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    发表于 2009-11-30 21:16 |只看该作者 |招呼Ta 关注Ta
    f(x)=x，x属于实数，显然不是r可积，狭义r可积前提是有限区间的有界函数；显然也不是广义r可积（即不是无穷积分或是瑕积分）。不是瑕积分就不用说了。无穷积分显然不满足定义，就是说从0到u的f(x)积分令u趋向正无穷大，显然不收敛。因此不是广义r可积。最后，显然不是L可积。可以使用上述必要性得到。或者有广义R可积与L可积的关系：L可积当且仅当广义R绝对可积。立刻可以得到。; |. @, d9 o9 J
    实变函数是相当成熟的，相信不会有大问题。
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    发表于 2009-12-2 21:01 |只看该作者 |招呼Ta 关注Ta
    本帖最后由 funintears 于 2009-12-2 21:25 编辑 $ q1 C, p: v& f* W2 j8 ^
    2 j7 t" O9 ^# P3 X0 V2 c- I- s
    请仔细阅读上贴的内容，上贴已经证明：该函数在该定义域不是R可积，不是广义R可积，也不是L可积（在证明不是L可积的时候可能不是上面写的不很清楚，就是说已经证明了函数在该定义域中已经不是广义R可积（或者说收敛），自然不是广义R绝对可积（或者说绝对收敛），根据定理（f(x)在a
    * S4 n4 Z" H! _到正无穷上L可积当且仅当f(x)在a到正无穷上广义R绝对可积），得到f(x)在该定义域上不是L可积）。
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